Theorem fiphp3d 30385

Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiphp3d.a	|- ( ph -> A ~~ NN )
fiphp3d.b	|- ( ph -> B e. Fin )
fiphp3d.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )

Assertion

Ref	Expression
fiphp3d	|- ( ph -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y   x, B, y   y, D

Allowed substitution hint:   D( x)

Proof of Theorem fiphp3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 7732	. . . . 5 |- -. om e. Fin
2		fiphp3d.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
3		risset 2987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. B <-> E. y e. B y = D )
4		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = D <-> D = y )
5	4	rexbii 2965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. B y = D <-> E. y e. B D = y )
6	3, 5	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. B <-> E. y e. B D = y )
7	2, 6	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B D = y )
8	7	ralrimiva 2878	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A E. y e. B D = y )
9		rabid2 3039	. . . . . . . . 9 |- ( A = { x e. A | E. y e. B D = y } <-> A. x e. A E. y e. B D = y )
10	8, 9	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = { x e. A | E. y e. B D = y } )
11		iunrab 4372	. . . . . . . 8 |- U_ y e. B { x e. A | D = y } = { x e. A | E. y e. B D = y }
12	10, 11	syl6reqr 2527	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ y e. B { x e. A | D = y } = A )
13	12	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin <-> A e. Fin ) )
14		fiphp3d.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A ~~ NN )
15		nnenom 12058	. . . . . . . 8 |- NN ~~ om
16		entr 7567	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> A ~~ om )
17	14, 15, 16	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> A ~~ om )
18		enfi 7736	. . . . . . 7 |- ( A ~~ om -> ( A e. Fin <-> om e. Fin ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. Fin <-> om e. Fin ) )
20	13, 19	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin <-> om e. Fin ) )
21	1, 20	mtbiri 303	. . . 4 |- ( ph -> -. U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
22		fiphp3d.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
23		iunfi 7808	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin ) -> U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
24	22, 23	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin ) -> U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
25	21, 24	mtand 659	. . 3 |- ( ph -> -. A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
26		rexnal 2912	. . 3 |- ( E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin <-> -. A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
27	25, 26	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin )
28	17, 15	jctir 538	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ~~ om /\ NN ~~ om ) )
29		ssrab2 3585	. . . . . 6 |- { x e. A | D = y } C_ A
30	29	jctl 541	. . . . 5 |- ( -. { x e. A | D = y } e. Fin -> ( { x e. A | D = y } C_ A /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) )
31		ctbnfien 30384	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ om /\ NN ~~ om ) /\ ( { x e. A | D = y } C_ A /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) ) -> { x e. A | D = y } ~~ NN )
32	28, 30, 31	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) -> { x e. A | D = y } ~~ NN )
33	32	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( -. { x e. A | D = y } e. Fin -> { x e. A | D = y } ~~ NN ) )
34	33	reximdv 2937	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN ) )
35	27, 34	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   C_ wss 3476   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   omcom 6684   ~~ cen 7513   Fincfn 7516   NNcn 10536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083

This theorem is referenced by:  pellexlem5  30401