Theorem fiphp3d 26770

Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiphp3d.a	|- ( ph -> A ~~ NN )
fiphp3d.b	|- ( ph -> B e. Fin )
fiphp3d.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )

Assertion

Ref	Expression
fiphp3d	|- ( ph -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y   x, B, y   y, D

Allowed substitution hint:   D( x)

Proof of Theorem fiphp3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 7280	. . . . 5 |- -. om e. Fin
2		fiphp3d.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
3		risset 2713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. B <-> E. y e. B y = D )
4		eqcom 2406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = D <-> D = y )
5	4	rexbii 2691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. B y = D <-> E. y e. B D = y )
6	3, 5	bitri 241	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. B <-> E. y e. B D = y )
7	2, 6	sylib 189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B D = y )
8	7	ralrimiva 2749	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A E. y e. B D = y )
9		rabid2 2845	. . . . . . . . 9 |- ( A = { x e. A | E. y e. B D = y } <-> A. x e. A E. y e. B D = y )
10	8, 9	sylibr 204	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = { x e. A | E. y e. B D = y } )
11		iunrab 4098	. . . . . . . 8 |- U_ y e. B { x e. A | D = y } = { x e. A | E. y e. B D = y }
12	10, 11	syl6reqr 2455	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ y e. B { x e. A | D = y } = A )
13	12	eleq1d 2470	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin <-> A e. Fin ) )
14		fiphp3d.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A ~~ NN )
15		nnenom 11274	. . . . . . . 8 |- NN ~~ om
16		entr 7118	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> A ~~ om )
17	14, 15, 16	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ph -> A ~~ om )
18		enfi 7284	. . . . . . 7 |- ( A ~~ om -> ( A e. Fin <-> om e. Fin ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. Fin <-> om e. Fin ) )
20	13, 19	bitrd 245	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin <-> om e. Fin ) )
21	1, 20	mtbiri 295	. . . 4 |- ( ph -> -. U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
22		fiphp3d.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
23		iunfi 7353	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin ) -> U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
24	22, 23	sylan 458	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin ) -> U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
25	21, 24	mtand 641	. . 3 |- ( ph -> -. A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
26		rexnal 2677	. . 3 |- ( E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin <-> -. A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
27	25, 26	sylibr 204	. 2 |- ( ph -> E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin )
28	17, 15	jctir 525	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ~~ om /\ NN ~~ om ) )
29		ssrab2 3388	. . . . . 6 |- { x e. A | D = y } C_ A
30	29	jctl 526	. . . . 5 |- ( -. { x e. A | D = y } e. Fin -> ( { x e. A | D = y } C_ A /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) )
31		ctbnfien 26769	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ om /\ NN ~~ om ) /\ ( { x e. A | D = y } C_ A /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) ) -> { x e. A | D = y } ~~ NN )
32	28, 30, 31	syl2an 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) -> { x e. A | D = y } ~~ NN )
33	32	ex 424	. . 3 |- ( ph -> ( -. { x e. A | D = y } e. Fin -> { x e. A | D = y } ~~ NN ) )
34	33	reximdv 2777	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN ) )
35	27, 34	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   C_ wss 3280   U_ciun 4053   class class class wbr 4172   omcom 4804   ~~ cen 7065   Fincfn 7068   NNcn 9956

This theorem is referenced by:  pellexlem5  26786

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445