Theorem fiphp3d 29111

Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiphp3d.a	|- ( ph -> A ~~ NN )
fiphp3d.b	|- ( ph -> B e. Fin )
fiphp3d.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )

Assertion

Ref	Expression
fiphp3d	|- ( ph -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y   x, B, y   y, D

Allowed substitution hint:   D( x)

Proof of Theorem fiphp3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 7517	. . . . 5 |- -. om e. Fin
2		fiphp3d.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
3		risset 2758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. B <-> E. y e. B y = D )
4		eqcom 2440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = D <-> D = y )
5	4	rexbii 2735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. B y = D <-> E. y e. B D = y )
6	3, 5	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. B <-> E. y e. B D = y )
7	2, 6	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B D = y )
8	7	ralrimiva 2794	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A E. y e. B D = y )
9		rabid2 2893	. . . . . . . . 9 |- ( A = { x e. A | E. y e. B D = y } <-> A. x e. A E. y e. B D = y )
10	8, 9	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = { x e. A | E. y e. B D = y } )
11		iunrab 4212	. . . . . . . 8 |- U_ y e. B { x e. A | D = y } = { x e. A | E. y e. B D = y }
12	10, 11	syl6reqr 2489	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ y e. B { x e. A | D = y } = A )
13	12	eleq1d 2504	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin <-> A e. Fin ) )
14		fiphp3d.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A ~~ NN )
15		nnenom 11794	. . . . . . . 8 |- NN ~~ om
16		entr 7353	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> A ~~ om )
17	14, 15, 16	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ph -> A ~~ om )
18		enfi 7521	. . . . . . 7 |- ( A ~~ om -> ( A e. Fin <-> om e. Fin ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. Fin <-> om e. Fin ) )
20	13, 19	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin <-> om e. Fin ) )
21	1, 20	mtbiri 303	. . . 4 |- ( ph -> -. U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
22		fiphp3d.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
23		iunfi 7591	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin ) -> U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
24	22, 23	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin ) -> U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
25	21, 24	mtand 659	. . 3 |- ( ph -> -. A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
26		rexnal 2721	. . 3 |- ( E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin <-> -. A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
27	25, 26	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin )
28	17, 15	jctir 538	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ~~ om /\ NN ~~ om ) )
29		ssrab2 3432	. . . . . 6 |- { x e. A | D = y } C_ A
30	29	jctl 541	. . . . 5 |- ( -. { x e. A | D = y } e. Fin -> ( { x e. A | D = y } C_ A /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) )
31		ctbnfien 29110	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ om /\ NN ~~ om ) /\ ( { x e. A | D = y } C_ A /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) ) -> { x e. A | D = y } ~~ NN )
32	28, 30, 31	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) -> { x e. A | D = y } ~~ NN )
33	32	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( -. { x e. A | D = y } e. Fin -> { x e. A | D = y } ~~ NN ) )
34	33	reximdv 2822	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN ) )
35	27, 34	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   C_ wss 3323   U_ciun 4166   class class class wbr 4287   omcom 6471   ~~ cen 7299   Fincfn 7302   NNcn 10314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854

This theorem is referenced by:  pellexlem5  29127