Theorem fiphp3d 35371

Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fiphp3d.a	|- ( ph -> A ~~ NN )
fiphp3d.b	|- ( ph -> B e. Fin )
fiphp3d.c	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )

Assertion

Ref	Expression
fiphp3d	|- ( ph -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN )

Distinct variable groups:   x, A, y   ph, x, y   x, B, y   y, D

Allowed substitution hint:   D( x)

Proof of Theorem fiphp3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ominf 7790	. . . . 5 |- -. om e. Fin
2		fiphp3d.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
3		risset 2960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. B <-> E. y e. B y = D )
4		eqcom 2438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = D <-> D = y )
5	4	rexbii 2934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. B y = D <-> E. y e. B D = y )
6	3, 5	bitri 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. B <-> E. y e. B D = y )
7	2, 6	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. B D = y )
8	7	ralrimiva 2846	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A E. y e. B D = y )
9		rabid2 3013	. . . . . . . . 9 |- ( A = { x e. A | E. y e. B D = y } <-> A. x e. A E. y e. B D = y )
10	8, 9	sylibr 215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A = { x e. A | E. y e. B D = y } )
11		iunrab 4349	. . . . . . . 8 |- U_ y e. B { x e. A | D = y } = { x e. A | E. y e. B D = y }
12	10, 11	syl6reqr 2489	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ y e. B { x e. A | D = y } = A )
13	12	eleq1d 2498	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin <-> A e. Fin ) )
14		fiphp3d.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A ~~ NN )
15		nnenom 12190	. . . . . . . 8 |- NN ~~ om
16		entr 7628	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> A ~~ om )
17	14, 15, 16	sylancl 666	. . . . . . 7 |- ( ph -> A ~~ om )
18		enfi 7794	. . . . . . 7 |- ( A ~~ om -> ( A e. Fin <-> om e. Fin ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. Fin <-> om e. Fin ) )
20	13, 19	bitrd 256	. . . . 5 |- ( ph -> ( U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin <-> om e. Fin ) )
21	1, 20	mtbiri 304	. . . 4 |- ( ph -> -. U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
22		fiphp3d.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
23		iunfi 7868	. . . . 5 |- ( ( B e. Fin /\ A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin ) -> U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
24	22, 23	sylan 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin ) -> U_ y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
25	21, 24	mtand 663	. . 3 |- ( ph -> -. A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
26		rexnal 2880	. . 3 |- ( E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin <-> -. A. y e. B { x e. A | D = y } e. Fin )
27	25, 26	sylibr 215	. 2 |- ( ph -> E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin )
28	17, 15	jctir 540	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ~~ om /\ NN ~~ om ) )
29		ssrab2 3552	. . . . . 6 |- { x e. A | D = y } C_ A
30	29	jctl 543	. . . . 5 |- ( -. { x e. A | D = y } e. Fin -> ( { x e. A | D = y } C_ A /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) )
31		ctbnfien 35370	. . . . 5 |- ( ( ( A ~~ om /\ NN ~~ om ) /\ ( { x e. A | D = y } C_ A /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) ) -> { x e. A | D = y } ~~ NN )
32	28, 30, 31	syl2an 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. { x e. A | D = y } e. Fin ) -> { x e. A | D = y } ~~ NN )
33	32	ex 435	. . 3 |- ( ph -> ( -. { x e. A | D = y } e. Fin -> { x e. A | D = y } ~~ NN ) )
34	33	reximdv 2906	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. B -. { x e. A | D = y } e. Fin -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN ) )
35	27, 34	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. B { x e. A | D = y } ~~ NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   C_ wss 3442   U_ciun 4302   class class class wbr 4426   omcom 6706   ~~ cen 7574   Fincfn 7577   NNcn 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160

This theorem is referenced by:  pellexlem5  35387