Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiphp3d Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fiphp3d 35662
Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fiphp3d.a  |-  ( ph  ->  A  ~~  NN )
fiphp3d.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fiphp3d.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
Assertion
Ref Expression
fiphp3d  |-  ( ph  ->  E. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, x, y    x, B, y    y, D
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem fiphp3d
StepHypRef Expression
1 ominf 7784 . . . . 5  |-  -.  om  e.  Fin
2 fiphp3d.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
3 risset 2915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  B  <->  E. y  e.  B  y  =  D )
4 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  D  <->  D  =  y )
54rexbii 2889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  y  =  D  <->  E. y  e.  B  D  =  y )
63, 5bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  B  <->  E. y  e.  B  D  =  y )
72, 6sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  D  =  y )
87ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  D  =  y )
9 rabid2 2968 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  D  =  y }  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  D  =  y )
108, 9sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  D  =  y } )
11 iunrab 4325 . . . . . . . 8  |-  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  D  =  y }
1210, 11syl6reqr 2504 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  =  A )
1312eleq1d 2513 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  <->  A  e.  Fin ) )
14 fiphp3d.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  ~~  NN )
15 nnenom 12193 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
16 entr 7621 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
1714, 15, 16sylancl 668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ~~  om )
18 enfi 7788 . . . . . . 7  |-  ( A 
~~  om  ->  ( A  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
1917, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
2013, 19bitrd 257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
211, 20mtbiri 305 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
22 fiphp3d.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
23 iunfi 7862 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. y  e.  B  {
x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2422, 23sylan 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2521, 24mtand 665 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
26 rexnal 2836 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  <->  -.  A. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2725, 26sylibr 216 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  B  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2817, 15jctir 541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ~~  om  /\  NN  ~~  om )
)
29 ssrab2 3514 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  D  =  y }  C_  A
3029jctl 544 . . . . 5  |-  ( -. 
{ x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  ->  ( { x  e.  A  |  D  =  y }  C_  A  /\  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin ) )
31 ctbnfien 35661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~~  om  /\  NN  ~~  om )  /\  ( { x  e.  A  |  D  =  y }  C_  A  /\  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
3228, 30, 31syl2an 480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
3332ex 436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN ) )
3433reximdv 2861 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  B  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  ->  E. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN ) )
3527, 34mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    C_ wss 3404   U_ciun 4278   class class class wbr 4402   omcom 6692    ~~ cen 7566   Fincfn 7569   NNcn 10609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160
This theorem is referenced by:  pellexlem5  35677
  Copyright terms: Public domain W3C validator