Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiphp3d Unicode version

Theorem fiphp3d 26770
Description: Infinite pigeonhole principle for partitioning an infinite set between finitely many buckets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fiphp3d.a  |-  ( ph  ->  A  ~~  NN )
fiphp3d.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fiphp3d.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
Assertion
Ref Expression
fiphp3d  |-  ( ph  ->  E. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
Distinct variable groups:    x, A, y    ph, x, y    x, B, y    y, D
Allowed substitution hint:    D( x)

Proof of Theorem fiphp3d
StepHypRef Expression
1 ominf 7280 . . . . 5  |-  -.  om  e.  Fin
2 fiphp3d.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
3 risset 2713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  B  <->  E. y  e.  B  y  =  D )
4 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  D  <->  D  =  y )
54rexbii 2691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  y  =  D  <->  E. y  e.  B  D  =  y )
63, 5bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  B  <->  E. y  e.  B  D  =  y )
72, 6sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  B  D  =  y )
87ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  D  =  y )
9 rabid2 2845 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  D  =  y }  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  D  =  y )
108, 9sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  D  =  y } )
11 iunrab 4098 . . . . . . . 8  |-  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  =  { x  e.  A  |  E. y  e.  B  D  =  y }
1210, 11syl6reqr 2455 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  =  A )
1312eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  <->  A  e.  Fin ) )
14 fiphp3d.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  ~~  NN )
15 nnenom 11274 . . . . . . . 8  |-  NN  ~~  om
16 entr 7118 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
1714, 15, 16sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ~~  om )
18 enfi 7284 . . . . . . 7  |-  ( A 
~~  om  ->  ( A  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
2013, 19bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  <->  om  e.  Fin ) )
211, 20mtbiri 295 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
22 fiphp3d.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
23 iunfi 7353 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. y  e.  B  {
x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2422, 23sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2521, 24mtand 641 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
26 rexnal 2677 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  <->  -.  A. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2725, 26sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  B  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )
2817, 15jctir 525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ~~  om  /\  NN  ~~  om )
)
29 ssrab2 3388 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  D  =  y }  C_  A
3029jctl 526 . . . . 5  |-  ( -. 
{ x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  ->  ( { x  e.  A  |  D  =  y }  C_  A  /\  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin ) )
31 ctbnfien 26769 . . . . 5  |-  ( ( ( A  ~~  om  /\  NN  ~~  om )  /\  ( { x  e.  A  |  D  =  y }  C_  A  /\  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
3228, 30, 31syl2an 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin )  ->  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
3332ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN ) )
3433reximdv 2777 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  B  -.  { x  e.  A  |  D  =  y }  e.  Fin  ->  E. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN ) )
3527, 34mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. y  e.  B  { x  e.  A  |  D  =  y }  ~~  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   U_ciun 4053   class class class wbr 4172   omcom 4804    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  pellexlem5  26786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445
  Copyright terms: Public domain W3C validator