Theorem fintopcomp 10333

Description: A finite topology is compact. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fintopcomp	|- (J e. (Top i^i Fin) -> J e. Comp)

Proof of Theorem fintopcomp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscomp 10330	. 2 |- (J e. Comp <-> (J e. Top /\ A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z)))
2		inss1 2812	. . 3 |- (Top i^i Fin) C_ Top
3	2	sseli 2617	. 2 |- (J e. (Top i^i Fin) -> J e. Top)
4		inss2 2813	. . . 4 |- (Top i^i Fin) C_ Fin
5	4	sseli 2617	. . 3 |- (J e. (Top i^i Fin) -> J e. Fin)
6		ssfi 5630	. . . . . 6 |- ((J e. Fin /\ y C_ J) -> y e. Fin)
7		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
8	7	elpw 3037	. . . . . 6 |- (y e. ~PJ <-> y C_ J)
9	6, 8	sylan2b 501	. . . . 5 |- ((J e. Fin /\ y e. ~PJ) -> y e. Fin)
10	7	pwid 3042	. . . . . 6 |- y e. ~Py
11		elin 2786	. . . . . . 7 |- (y e. (~Py i^i Fin) <-> (y e. ~Py /\ y e. Fin))
12		unieq 3185	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> U.z = U.y)
13	12	eqeq2d 1895	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> (U.J = U.z <-> U.J = U.y))
14	13	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- ((y e. (~Py i^i Fin) /\ U.J = U.y) -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z)
15	14	ex 402	. . . . . . 7 |- (y e. (~Py i^i Fin) -> (U.J = U.y -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z))
16	11, 15	sylbir 218	. . . . . 6 |- ((y e. ~Py /\ y e. Fin) -> (U.J = U.y -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z))
17	10, 16	mpan 759	. . . . 5 |- (y e. Fin -> (U.J = U.y -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z))
18	9, 17	syl 12	. . . 4 |- ((J e. Fin /\ y e. ~PJ) -> (U.J = U.y -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z))
19	18	r19.21aiva 2176	. . 3 |- (J e. Fin -> A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z))
20	5, 19	syl 12	. 2 |- (J e. (Top i^i Fin) -> A.y e. ~P J(U.J = U.y -> E.z e. (~Py i^i Fin)U.J = U.z))
21	1, 3, 20	sylanbrc 527	1 |- (J e. (Top i^i Fin) -> J e. Comp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  Fincfn 5426  Topctop 8857  Compccomp 10328

This theorem is referenced by:  sinempcomp 14953  indcomp 14955  topunfincomp 14957  heiborlem18 15972

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430  df-comp 10329

Copyright terms: Public domain