Theorem finsucdom 4615

Description: Strict dominance of a finite set over a natural number is the same as dominance over its successor.

Assertion

Ref	Expression
finsucdom	|- ((A e. om /\ B e. Fin) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))

Proof of Theorem finsucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsucdom 4611	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ x e. om) -> (A ~< x <-> suc A ~<_ x))
2	1	adantr 389	. . . . . 6 |- (((A e. om /\ x e. om) /\ B ~~ x) -> (A ~< x <-> suc A ~<_ x))
3		sdomen2 4569	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ B ~~ x) -> (A ~< B <-> A ~< x))
4	3	adantll 392	. . . . . 6 |- (((A e. om /\ x e. om) /\ B ~~ x) -> (A ~< B <-> A ~< x))
5		domen2 4567	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ B ~~ x) -> (suc A ~<_ B <-> suc A ~<_ x))
6	5	adantll 392	. . . . . 6 |- (((A e. om /\ x e. om) /\ B ~~ x) -> (suc A ~<_ B <-> suc A ~<_ x))
7	2, 4, 6	3bitr4d 552	. . . . 5 |- (((A e. om /\ x e. om) /\ B ~~ x) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))
8	7	exp31 376	. . . 4 |- (A e. om -> (x e. om -> (B ~~ x -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))))
9	8	r19.23adv 1784	. . 3 |- (A e. om -> (E.x e. om B ~~ x -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
10	9	imp 348	. 2 |- ((A e. om /\ E.x e. om B ~~ x) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))
11		isfi 4469	. 2 |- (B e. Fin <-> E.x e. om B ~~ x)
12	10, 11	sylan2b 454	1 |- ((A e. om /\ B e. Fin) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   e. wcel 990  E.wrex 1684   class class class wbr 2669  suc csuc 3005  omcom 3192   ~~ cen 4451   ~<_ cdom 4452   ~< csdm 4453  Fincfn 4454

This theorem is referenced by:  sucdom 4931

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-rex 1688  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-er 4345  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-fin 4458

Copyright terms: Public domain