Theorem finsschain 7891

Description: A finite subset of the union of a superset chain is a subset of some element of the chain. A useful preliminary result for alexsub 21059 and others. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finsschain	|- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( B e. Fin /\ B C_ U. A ) ) -> E. z e. A B C_ z )

Distinct variable groups:   z, A   z, B

Proof of Theorem finsschain

Dummy variables a b c u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ U. A <-> (/) C_ U. A ) )
2		sseq1 3485	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( a C_ z <-> (/) C_ z ) )
3	2	rexbidv 2936	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A (/) C_ z ) )
4	1, 3	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) ) )
5	4	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) ) ) )
6		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ U. A <-> b C_ U. A ) )
7		sseq1 3485	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( a C_ z <-> b C_ z ) )
8	7	rexbidv 2936	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A b C_ z ) )
9	6, 8	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) )
10	9	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) ) )
11		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ U. A <-> ( b u. { c } ) C_ U. A ) )
12		sseq1 3485	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ z <-> ( b u. { c } ) C_ z ) )
13	12	rexbidv 2936	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
14	11, 13	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
15	14	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) ) )
16		sseq1 3485	. . . . . 6 |- ( a = B -> ( a C_ U. A <-> B C_ U. A ) )
17		sseq1 3485	. . . . . . 7 |- ( a = B -> ( a C_ z <-> B C_ z ) )
18	17	rexbidv 2936	. . . . . 6 |- ( a = B -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A B C_ z ) )
19	16, 18	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = B -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
20	19	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = B -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) ) )
21		0ss 3793	. . . . . . . 8 |- (/) C_ z
22	21	rgenw 2783	. . . . . . 7 |- A. z e. A (/) C_ z
23		r19.2z 3888	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ A. z e. A (/) C_ z ) -> E. z e. A (/) C_ z )
24	22, 23	mpan2 675	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> E. z e. A (/) C_ z )
25	24	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> E. z e. A (/) C_ z )
26	25	a1d 26	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) )
27		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> ( b u. { c } ) C_ U. A )
28	27	unssad 3643	. . . . . . . 8 |- ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> b C_ U. A )
29	28	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) )
30		sseq2 3486	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( b C_ z <-> b C_ w ) )
31	30	cbvrexv 3055	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A b C_ z <-> E. w e. A b C_ w )
32		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( b u. { c } ) C_ U. A )
33	32	unssbd 3644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> { c } C_ U. A )
34		vex 3083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. _V
35	34	snss 4124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. U. A <-> { c } C_ U. A )
36	33, 35	sylibr 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> c e. U. A )
37		eluni2 4223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. U. A <-> E. u e. A c e. u )
38	36, 37	sylib 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> E. u e. A c e. u )
39		reeanv 2993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. u e. A E. w e. A ( c e. u /\ b C_ w ) <-> ( E. u e. A c e. u /\ E. w e. A b C_ w ) )
40		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> [ C.] Or A )
41		simprlr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> w e. A )
42		simprll 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> u e. A )
43		sorpssun 6593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( w e. A /\ u e. A ) ) -> ( w u. u ) e. A )
44	40, 41, 42, 43	syl12anc 1262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> ( w u. u ) e. A )
45		simprrr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> b C_ w )
46		simprrl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> c e. u )
47	46	snssd 4145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> { c } C_ u )
48		unss12 3638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b C_ w /\ { c } C_ u ) -> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) )
49	45, 47, 48	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) )
50		sseq2 3486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w u. u ) -> ( ( b u. { c } ) C_ z <-> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) ) )
51	50	rspcev 3182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w u. u ) e. A /\ ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z )
52	44, 49, 51	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z )
53	52	expr 618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( u e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( c e. u /\ b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
54	53	rexlimdvva 2921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. u e. A E. w e. A ( c e. u /\ b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
55	39, 54	syl5bir 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( ( E. u e. A c e. u /\ E. w e. A b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
56	38, 55	mpand 679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. w e. A b C_ w -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
57	31, 56	syl5bi 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. z e. A b C_ z -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
58	57	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> ( E. z e. A b C_ z -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
59	58	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
60	29, 59	syl5 33	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
61	60	a2i 14	. . . . 5 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
62	61	a1i 11	. . . 4 |- ( b e. Fin -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) ) )
63	5, 10, 15, 20, 26, 62	findcard2 7821	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
64	63	com12 32	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B e. Fin -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
65	64	imp32 434	1 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( B e. Fin /\ B C_ U. A ) ) -> E. z e. A B C_ z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   u. cun 3434   C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   U.cuni 4219   Or wor 4773   [ C.] crpss 6585   Fincfn 7581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-rpss 6586  df-om 6708  df-1o 7194  df-er 7375  df-en 7582  df-fin 7585

This theorem is referenced by:  alexsubALTlem2  21062