Theorem finsschain 7614

Description: A finite subset of the union of a superset chain is a subset of some element of the chain. A useful preliminary result for alexsub 19517 and others. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finsschain	|- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( B e. Fin /\ B C_ U. A ) ) -> E. z e. A B C_ z )

Distinct variable groups:   z, A   z, B

Proof of Theorem finsschain

Dummy variables a b c u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ U. A <-> (/) C_ U. A ) )
2		sseq1 3374	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( a C_ z <-> (/) C_ z ) )
3	2	rexbidv 2734	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A (/) C_ z ) )
4	1, 3	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) ) )
5	4	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) ) ) )
6		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ U. A <-> b C_ U. A ) )
7		sseq1 3374	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( a C_ z <-> b C_ z ) )
8	7	rexbidv 2734	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A b C_ z ) )
9	6, 8	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) )
10	9	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) ) )
11		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ U. A <-> ( b u. { c } ) C_ U. A ) )
12		sseq1 3374	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ z <-> ( b u. { c } ) C_ z ) )
13	12	rexbidv 2734	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
14	11, 13	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
15	14	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) ) )
16		sseq1 3374	. . . . . 6 |- ( a = B -> ( a C_ U. A <-> B C_ U. A ) )
17		sseq1 3374	. . . . . . 7 |- ( a = B -> ( a C_ z <-> B C_ z ) )
18	17	rexbidv 2734	. . . . . 6 |- ( a = B -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A B C_ z ) )
19	16, 18	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( a = B -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
20	19	imbi2d 316	. . . 4 |- ( a = B -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) ) )
21		0ss 3663	. . . . . . . 8 |- (/) C_ z
22	21	rgenw 2781	. . . . . . 7 |- A. z e. A (/) C_ z
23		r19.2z 3766	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ A. z e. A (/) C_ z ) -> E. z e. A (/) C_ z )
24	22, 23	mpan2 666	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> E. z e. A (/) C_ z )
25	24	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> E. z e. A (/) C_ z )
26	25	a1d 25	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) )
27		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> ( b u. { c } ) C_ U. A )
28	27	unssad 3530	. . . . . . . 8 |- ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> b C_ U. A )
29	28	imim1i 58	. . . . . . 7 |- ( ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) )
30		sseq2 3375	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( b C_ z <-> b C_ w ) )
31	30	cbvrexv 2946	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A b C_ z <-> E. w e. A b C_ w )
32		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( b u. { c } ) C_ U. A )
33	32	unssbd 3531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> { c } C_ U. A )
34		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. _V
35	34	snss 3996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. U. A <-> { c } C_ U. A )
36	33, 35	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> c e. U. A )
37		eluni2 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. U. A <-> E. u e. A c e. u )
38	36, 37	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> E. u e. A c e. u )
39		reeanv 2886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. u e. A E. w e. A ( c e. u /\ b C_ w ) <-> ( E. u e. A c e. u /\ E. w e. A b C_ w ) )
40		simpllr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> [ C.] Or A )
41		simprlr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> w e. A )
42		simprll 756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> u e. A )
43		sorpssun 6366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( w e. A /\ u e. A ) ) -> ( w u. u ) e. A )
44	40, 41, 42, 43	syl12anc 1211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> ( w u. u ) e. A )
45		simprrr 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> b C_ w )
46		simprrl 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> c e. u )
47	46	snssd 4015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> { c } C_ u )
48		unss12 3525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b C_ w /\ { c } C_ u ) -> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) )
49	45, 47, 48	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) )
50		sseq2 3375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w u. u ) -> ( ( b u. { c } ) C_ z <-> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) ) )
51	50	rspcev 3070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w u. u ) e. A /\ ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z )
52	44, 49, 51	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z )
53	52	expr 612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( u e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( c e. u /\ b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
54	53	rexlimdvva 2846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. u e. A E. w e. A ( c e. u /\ b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
55	39, 54	syl5bir 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( ( E. u e. A c e. u /\ E. w e. A b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
56	38, 55	mpand 670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. w e. A b C_ w -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
57	31, 56	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. z e. A b C_ z -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
58	57	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> ( E. z e. A b C_ z -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
59	58	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
60	29, 59	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
61	60	a2i 13	. . . . 5 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
62	61	a1i 11	. . . 4 |- ( b e. Fin -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) ) )
63	5, 10, 15, 20, 26, 62	findcard2 7548	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
64	63	com12 31	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B e. Fin -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
65	64	imp32 433	1 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( B e. Fin /\ B C_ U. A ) ) -> E. z e. A B C_ z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   u. cun 3323   C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   U.cuni 4088   Or wor 4636   [ C.] crpss 6358   Fincfn 7306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-rpss 6359  df-om 6476  df-1o 6916  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310

This theorem is referenced by:  alexsubALTlem2  19520