Theorem finsschain 7371

Description: A finite subset of the union of a superset chain is a subset of some element of the chain. A useful preliminary result for alexsub 18029 and others. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finsschain	|- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( B e. Fin /\ B C_ U. A ) ) -> E. z e. A B C_ z )

Distinct variable groups:   z, A   z, B

Proof of Theorem finsschain

Dummy variables a b c u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3329	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ U. A <-> (/) C_ U. A ) )
2		sseq1 3329	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( a C_ z <-> (/) C_ z ) )
3	2	rexbidv 2687	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A (/) C_ z ) )
4	1, 3	imbi12d 312	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) ) )
5	4	imbi2d 308	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) ) ) )
6		sseq1 3329	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ U. A <-> b C_ U. A ) )
7		sseq1 3329	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( a C_ z <-> b C_ z ) )
8	7	rexbidv 2687	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A b C_ z ) )
9	6, 8	imbi12d 312	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) )
10	9	imbi2d 308	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) ) )
11		sseq1 3329	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ U. A <-> ( b u. { c } ) C_ U. A ) )
12		sseq1 3329	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ z <-> ( b u. { c } ) C_ z ) )
13	12	rexbidv 2687	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
14	11, 13	imbi12d 312	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
15	14	imbi2d 308	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) ) )
16		sseq1 3329	. . . . . 6 |- ( a = B -> ( a C_ U. A <-> B C_ U. A ) )
17		sseq1 3329	. . . . . . 7 |- ( a = B -> ( a C_ z <-> B C_ z ) )
18	17	rexbidv 2687	. . . . . 6 |- ( a = B -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A B C_ z ) )
19	16, 18	imbi12d 312	. . . . 5 |- ( a = B -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
20	19	imbi2d 308	. . . 4 |- ( a = B -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) ) )
21		0ss 3616	. . . . . . . 8 |- (/) C_ z
22	21	rgenw 2733	. . . . . . 7 |- A. z e. A (/) C_ z
23		r19.2z 3677	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ A. z e. A (/) C_ z ) -> E. z e. A (/) C_ z )
24	22, 23	mpan2 653	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> E. z e. A (/) C_ z )
25	24	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> E. z e. A (/) C_ z )
26	25	a1d 23	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) )
27		id 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> ( b u. { c } ) C_ U. A )
28	27	unssad 3484	. . . . . . . 8 |- ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> b C_ U. A )
29	28	imim1i 56	. . . . . . 7 |- ( ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) )
30		sseq2 3330	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( b C_ z <-> b C_ w ) )
31	30	cbvrexv 2893	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A b C_ z <-> E. w e. A b C_ w )
32		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( b u. { c } ) C_ U. A )
33	32	unssbd 3485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> { c } C_ U. A )
34		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. _V
35	34	snss 3886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. U. A <-> { c } C_ U. A )
36	33, 35	sylibr 204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> c e. U. A )
37		eluni2 3979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. U. A <-> E. u e. A c e. u )
38	36, 37	sylib 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> E. u e. A c e. u )
39		reeanv 2835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. u e. A E. w e. A ( c e. u /\ b C_ w ) <-> ( E. u e. A c e. u /\ E. w e. A b C_ w ) )
40		simpllr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> [ C.] Or A )
41		simprlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> w e. A )
42		simprll 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> u e. A )
43		sorpssun 6488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( w e. A /\ u e. A ) ) -> ( w u. u ) e. A )
44	40, 41, 42, 43	syl12anc 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> ( w u. u ) e. A )
45		simprrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> b C_ w )
46		simprrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> c e. u )
47	46	snssd 3903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> { c } C_ u )
48		unss12 3479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b C_ w /\ { c } C_ u ) -> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) )
49	45, 47, 48	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) )
50		sseq2 3330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w u. u ) -> ( ( b u. { c } ) C_ z <-> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) ) )
51	50	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w u. u ) e. A /\ ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z )
52	44, 49, 51	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z )
53	52	expr 599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( u e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( c e. u /\ b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
54	53	rexlimdvva 2797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. u e. A E. w e. A ( c e. u /\ b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
55	39, 54	syl5bir 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( ( E. u e. A c e. u /\ E. w e. A b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
56	38, 55	mpand 657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. w e. A b C_ w -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
57	31, 56	syl5bi 209	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. z e. A b C_ z -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
58	57	ex 424	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> ( E. z e. A b C_ z -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
59	58	a2d 24	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
60	29, 59	syl5 30	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
61	60	a2i 13	. . . . 5 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
62	61	a1i 11	. . . 4 |- ( b e. Fin -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) ) )
63	5, 10, 15, 20, 26, 62	findcard2 7307	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
64	63	com12 29	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B e. Fin -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
65	64	imp32 423	1 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( B e. Fin /\ B C_ U. A ) ) -> E. z e. A B C_ z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   u. cun 3278   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   U.cuni 3975   Or wor 4462   [ C.] crpss 6480   Fincfn 7068

This theorem is referenced by:  alexsubALTlem2  18032

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-rpss 6481  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072