Theorem finsschain 7887

Description: A finite subset of the union of a superset chain is a subset of some element of the chain. A useful preliminary result for alexsub 20991 and others. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finsschain	|- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( B e. Fin /\ B C_ U. A ) ) -> E. z e. A B C_ z )

Distinct variable groups:   z, A   z, B

Proof of Theorem finsschain

Dummy variables a b c u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3491	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( a C_ U. A <-> (/) C_ U. A ) )
2		sseq1 3491	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( a C_ z <-> (/) C_ z ) )
3	2	rexbidv 2946	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A (/) C_ z ) )
4	1, 3	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) ) )
5	4	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) ) ) )
6		sseq1 3491	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( a C_ U. A <-> b C_ U. A ) )
7		sseq1 3491	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( a C_ z <-> b C_ z ) )
8	7	rexbidv 2946	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A b C_ z ) )
9	6, 8	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) )
10	9	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) ) )
11		sseq1 3491	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ U. A <-> ( b u. { c } ) C_ U. A ) )
12		sseq1 3491	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ z <-> ( b u. { c } ) C_ z ) )
13	12	rexbidv 2946	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
14	11, 13	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
15	14	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) ) )
16		sseq1 3491	. . . . . 6 |- ( a = B -> ( a C_ U. A <-> B C_ U. A ) )
17		sseq1 3491	. . . . . . 7 |- ( a = B -> ( a C_ z <-> B C_ z ) )
18	17	rexbidv 2946	. . . . . 6 |- ( a = B -> ( E. z e. A a C_ z <-> E. z e. A B C_ z ) )
19	16, 18	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( a = B -> ( ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) <-> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
20	19	imbi2d 317	. . . 4 |- ( a = B -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( a C_ U. A -> E. z e. A a C_ z ) ) <-> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) ) )
21		0ss 3797	. . . . . . . 8 |- (/) C_ z
22	21	rgenw 2793	. . . . . . 7 |- A. z e. A (/) C_ z
23		r19.2z 3892	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ A. z e. A (/) C_ z ) -> E. z e. A (/) C_ z )
24	22, 23	mpan2 675	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> E. z e. A (/) C_ z )
25	24	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> E. z e. A (/) C_ z )
26	25	a1d 26	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( (/) C_ U. A -> E. z e. A (/) C_ z ) )
27		id 23	. . . . . . . . 9 |- ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> ( b u. { c } ) C_ U. A )
28	27	unssad 3649	. . . . . . . 8 |- ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> b C_ U. A )
29	28	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) )
30		sseq2 3492	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = w -> ( b C_ z <-> b C_ w ) )
31	30	cbvrexv 3063	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A b C_ z <-> E. w e. A b C_ w )
32		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( b u. { c } ) C_ U. A )
33	32	unssbd 3650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> { c } C_ U. A )
34		vex 3090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- c e. _V
35	34	snss 4127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. U. A <-> { c } C_ U. A )
36	33, 35	sylibr 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> c e. U. A )
37		eluni2 4226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. U. A <-> E. u e. A c e. u )
38	36, 37	sylib 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> E. u e. A c e. u )
39		reeanv 3003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. u e. A E. w e. A ( c e. u /\ b C_ w ) <-> ( E. u e. A c e. u /\ E. w e. A b C_ w ) )
40		simpllr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> [ C.] Or A )
41		simprlr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> w e. A )
42		simprll 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> u e. A )
43		sorpssun 6592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( w e. A /\ u e. A ) ) -> ( w u. u ) e. A )
44	40, 41, 42, 43	syl12anc 1262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> ( w u. u ) e. A )
45		simprrr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> b C_ w )
46		simprrl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> c e. u )
47	46	snssd 4148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> { c } C_ u )
48		unss12 3644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b C_ w /\ { c } C_ u ) -> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) )
49	45, 47, 48	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) )
50		sseq2 3492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( w u. u ) -> ( ( b u. { c } ) C_ z <-> ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) ) )
51	50	rspcev 3188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w u. u ) e. A /\ ( b u. { c } ) C_ ( w u. u ) ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z )
52	44, 49, 51	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( ( u e. A /\ w e. A ) /\ ( c e. u /\ b C_ w ) ) ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z )
53	52	expr 618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) /\ ( u e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( c e. u /\ b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
54	53	rexlimdvva 2931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. u e. A E. w e. A ( c e. u /\ b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
55	39, 54	syl5bir 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( ( E. u e. A c e. u /\ E. w e. A b C_ w ) -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
56	38, 55	mpand 679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. w e. A b C_ w -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
57	31, 56	syl5bi 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( b u. { c } ) C_ U. A ) -> ( E. z e. A b C_ z -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) )
58	57	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> ( E. z e. A b C_ z -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
59	58	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
60	29, 59	syl5 33	. . . . . 6 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
61	60	a2i 14	. . . . 5 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) )
62	61	a1i 11	. . . 4 |- ( b e. Fin -> ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( b C_ U. A -> E. z e. A b C_ z ) ) -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( ( b u. { c } ) C_ U. A -> E. z e. A ( b u. { c } ) C_ z ) ) ) )
63	5, 10, 15, 20, 26, 62	findcard2 7817	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
64	63	com12 32	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) -> ( B e. Fin -> ( B C_ U. A -> E. z e. A B C_ z ) ) )
65	64	imp32 434	1 |- ( ( ( A =/= (/) /\ [ C.] Or A ) /\ ( B e. Fin /\ B C_ U. A ) ) -> E. z e. A B C_ z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   u. cun 3440   C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   U.cuni 4222   Or wor 4774   [ C.] crpss 6584   Fincfn 7577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-rpss 6585  df-om 6707  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-fin 7581

This theorem is referenced by:  alexsubALTlem2  20994