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Theorem finsschain 7618
Description: A finite subset of the union of a superset chain is a subset of some element of the chain. A useful preliminary result for alexsub 19617 and others. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
finsschain  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  C_ 
U. A ) )  ->  E. z  e.  A  B  C_  z )
Distinct variable groups:    z, A    z, B

Proof of Theorem finsschain
Dummy variables  a 
b  c  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3377 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  U. A  <->  (/)  C_  U. A
) )
2 sseq1 3377 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  z  <->  (/)  C_  z
) )
32rexbidv 2736 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  a 
C_  z  <->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
) )
41, 3imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z ) ) )
54imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <-> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z ) ) ) )
6 sseq1 3377 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  U. A  <->  b  C_  U. A ) )
7 sseq1 3377 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
a  C_  z  <->  b  C_  z ) )
87rexbidv 2736 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z  <->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )
96, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( a  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) ) ) )
11 sseq1 3377 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  U. A  <->  ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A ) )
12 sseq1 3377 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  C_  z 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
1312rexbidv 2736 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z 
<->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
1411, 13imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) )
1514imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <-> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) ) )
16 sseq1 3377 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  (
a  C_  U. A  <->  B  C_  U. A
) )
17 sseq1 3377 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  (
a  C_  z  <->  B  C_  z
) )
1817rexbidv 2736 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  ( E. z  e.  A  a  C_  z  <->  E. z  e.  A  B  C_  z
) )
1916, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  B  ->  (
( a  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z )  <->  ( B  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z
) ) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( a  =  B  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( a  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  a  C_  z ) )  <->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( B  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z
) ) ) )
21 0ss 3666 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  z
2221rgenw 2783 . . . . . . 7  |-  A. z  e.  A  (/)  C_  z
23 r19.2z 3769 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  (/)  C_  z
)  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2422, 23mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2524adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
)
2625a1d 25 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( (/)  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  (/)  C_  z
) )
27 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  ( b  u.  {
c } )  C_  U. A )
2827unssad 3533 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  b  C_  U. A )
2928imim1i 58 . . . . . . 7  |-  ( ( b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )
30 sseq2 3378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  (
b  C_  z  <->  b  C_  w ) )
3130cbvrexv 2948 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  b 
C_  z  <->  E. w  e.  A  b  C_  w )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )
3332unssbd 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  { c }  C_  U. A )
34 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e. 
_V
3534snss 3999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  U. A  <->  { c }  C_  U. A )
3633, 35sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  c  e.  U. A )
37 eluni2 4095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  U. A  <->  E. u  e.  A  c  e.  u )
3836, 37sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  E. u  e.  A  c  e.  u )
39 reeanv 2888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u  e.  A  E. w  e.  A  (
c  e.  u  /\  b  C_  w )  <->  ( E. u  e.  A  c  e.  u  /\  E. w  e.  A  b  C_  w ) )
40 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  -> [ C.]  Or  A
)
41 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  w  e.  A )
42 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  u  e.  A )
43 sorpssun 6367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( w  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  (
w  u.  u )  e.  A )
4440, 41, 42, 43syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  ( w  u.  u )  e.  A
)
45 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  b  C_  w )
46 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  c  e.  u )
4746snssd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  { c }  C_  u )
48 unss12 3528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  C_  w  /\  { c }  C_  u
)  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  ( w  u.  u ) )
4945, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  ( b  u.  { c } ) 
C_  ( w  u.  u ) )
50 sseq2 3378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  u.  u )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  z 
<->  ( b  u.  {
c } )  C_  ( w  u.  u
) ) )
5150rspcev 3073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  u.  u
)  e.  A  /\  ( b  u.  {
c } )  C_  ( w  u.  u
) )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z )
5244, 49, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( ( u  e.  A  /\  w  e.  A )  /\  (
c  e.  u  /\  b  C_  w ) ) )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z )
5352expr 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  /\  ( b  u.  { c } ) 
C_  U. A )  /\  ( u  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( c  e.  u  /\  b  C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5453rexlimdvva 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. u  e.  A  E. w  e.  A  (
c  e.  u  /\  b  C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5539, 54syl5bir 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( ( E. u  e.  A  c  e.  u  /\  E. w  e.  A  b 
C_  w )  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) )
5638, 55mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. w  e.  A  b  C_  w  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) )
5731, 56syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  (
b  u.  { c } )  C_  U. A
)  ->  ( E. z  e.  A  b  C_  z  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) )
5857ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  U. A  ->  ( E. z  e.  A  b  C_  z  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
5958a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  ->  (
( b  u.  {
c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
6029, 59syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
( b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z )  -> 
( ( b  u. 
{ c } ) 
C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  { c } ) 
C_  z ) ) )
6160a2i 13 . . . . 5  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  (
b  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) )
6261a1i 11 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( b  C_ 
U. A  ->  E. z  e.  A  b  C_  z ) )  -> 
( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  ( (
b  u.  { c } )  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  ( b  u.  {
c } )  C_  z ) ) ) )
635, 10, 15, 20, 26, 62findcard2 7552 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( B  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z ) ) )
6463com12 31 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  C_  U. A  ->  E. z  e.  A  B  C_  z ) ) )
6564imp32 433 1  |-  ( ( ( A  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  A )  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  C_ 
U. A ) )  ->  E. z  e.  A  B  C_  z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716    u. cun 3326    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   U.cuni 4091    Or wor 4640   [ C.] crpss 6359   Fincfn 7310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-rpss 6360  df-om 6477  df-1o 6920  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem2  19620
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