MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finresfin Structured version   Unicode version

Theorem finresfin 7795
Description: The restriction of a finite set is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
finresfin  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( E  |`  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem finresfin
StepHypRef Expression
1 resss 5140 . 2  |-  ( E  |`  B )  C_  E
2 ssfi 7790 . 2  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  ( E  |`  B ) 
C_  E )  -> 
( E  |`  B )  e.  Fin )
31, 2mpan2 675 1  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( E  |`  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1867    C_ wss 3433    |` cres 4848   Fincfn 7569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4477  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-om 6699  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573
This theorem is referenced by:  fidomdm  7851  usgrafilem2  25116  cusgrasizeinds  25180
  Copyright terms: Public domain W3C validator