MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finptfin Structured version   Unicode version

Theorem finptfin 20185
Description: A finite cover is a point-finite cover. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
finptfin  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  PtFin )

Proof of Theorem finptfin
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabfi 7737 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  { y  e.  A  |  x  e.  y }  e.  Fin )
21ralrimivw 2869 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. x  e.  U. A { y  e.  A  |  x  e.  y }  e.  Fin )
3 eqid 2454 . . 3  |-  U. A  =  U. A
43isptfin 20183 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e.  PtFin  <->  A. x  e.  U. A { y  e.  A  |  x  e.  y }  e.  Fin ) )
52, 4mpbird 232 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  PtFin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   A.wral 2804   {crab 2808   U.cuni 4235   Fincfn 7509   PtFincptfin 20170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-om 6674  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-ptfin 20173
This theorem is referenced by:  comppfsc  20199
  Copyright terms: Public domain W3C validator