MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finnum Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem finnum 8400
Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
finnum  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )

Proof of Theorem finnum
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7611 . 2  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 nnon 6717 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
3 ensym 7636 . . . 4  |-  ( A 
~~  x  ->  x  ~~  A )
4 isnumi 8398 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  ~~  A )  ->  A  e.  dom  card )
52, 3, 4syl2an 485 . . 3  |-  ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  ->  A  e.  dom  card )
65rexlimiva 2868 . 2  |-  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  A  e. 
dom  card )
71, 6sylbi 200 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1904   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   Oncon0 5430   omcom 6711    ~~ cen 7584   Fincfn 7587   cardccrd 8387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-om 6712  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-card 8391
This theorem is referenced by:  ficardom  8413  ficardid  8414  fidomtri  8445  numwdom  8508  fodomfi2  8509  dfac12k  8595  ficardun  8650  ficardun2  8651  pwsdompw  8652  ackbij2  8691  sdom2en01  8750  dfacfin7  8847  fin1a2lem9  8856  domtriomlem  8890  zornn0g  8953  canthnum  9092  pwfseqlem4  9105  uzindi  12232  hashkf  12555  hashgval  12556  hashen  12568  hashdom  12596  symggen  17189  pgpfac1lem5  17790  fiufl  21009  finixpnum  31994  poimirlem32  32036  ttac  35962
  Copyright terms: Public domain W3C validator