MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finnum Structured version   Unicode version

Theorem finnum 8346
Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
finnum  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )

Proof of Theorem finnum
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7558 . 2  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 nnon 6705 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
3 ensym 7583 . . . 4  |-  ( A 
~~  x  ->  x  ~~  A )
4 isnumi 8344 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  ~~  A )  ->  A  e.  dom  card )
52, 3, 4syl2an 477 . . 3  |-  ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  ->  A  e.  dom  card )
65rexlimiva 2945 . 2  |-  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  A  e. 
dom  card )
71, 6sylbi 195 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   Oncon0 4887   dom cdm 5008   omcom 6699    ~~ cen 7532   Fincfn 7535   cardccrd 8333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-om 6700  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-card 8337
This theorem is referenced by:  ficardom  8359  ficardid  8360  fidomtri  8391  numwdom  8457  fodomfi2  8458  dfac12k  8544  ficardun  8599  ficardun2  8600  pwsdompw  8601  ackbij2  8640  sdom2en01  8699  dfacfin7  8796  fin1a2lem9  8805  domtriomlem  8839  zornn0g  8902  canthnum  9044  pwfseqlem4  9057  uzindi  12093  hashkf  12409  hashgval  12410  hashen  12422  hashdom  12449  symggen  16621  pgpfac1lem5  17256  fiufl  20542  finixpnum  30200  ttac  31140
  Copyright terms: Public domain W3C validator