MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finnum Structured version   Unicode version

Theorem finnum 8329
Description: Every finite set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
finnum  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )

Proof of Theorem finnum
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 7539 . 2  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  A  ~~  x
)
2 nnon 6690 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
3 ensym 7564 . . . 4  |-  ( A 
~~  x  ->  x  ~~  A )
4 isnumi 8327 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  ~~  A )  ->  A  e.  dom  card )
52, 3, 4syl2an 477 . . 3  |-  ( ( x  e.  om  /\  A  ~~  x )  ->  A  e.  dom  card )
65rexlimiva 2951 . 2  |-  ( E. x  e.  om  A  ~~  x  ->  A  e. 
dom  card )
71, 6sylbi 195 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   Oncon0 4878   dom cdm 4999   omcom 6684    ~~ cen 7513   Fincfn 7516   cardccrd 8316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-om 6685  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-card 8320
This theorem is referenced by:  ficardom  8342  ficardid  8343  fidomtri  8374  numwdom  8440  fodomfi2  8441  dfac12k  8527  ficardun  8582  ficardun2  8583  pwsdompw  8584  ackbij2  8623  sdom2en01  8682  dfacfin7  8779  fin1a2lem9  8788  domtriomlem  8822  zornn0g  8885  canthnum  9027  pwfseqlem4  9040  uzindi  12059  hashkf  12375  hashgval  12376  hashen  12388  hashdom  12415  symggen  16301  pgpfac1lem5  16932  fiufl  20180  finixpnum  29643  ttac  30610
  Copyright terms: Public domain W3C validator