MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finngch Structured version   Unicode version

Theorem finngch 8981
Description: The exclusion of finite sets from consideration in df-gch 8947 is necessary, because otherwise finite sets larger than a singleton would violate the GCH property. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
finngch  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  1o  ~<  A )  -> 
( A  ~<  ( A  +c  1o )  /\  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A ) )

Proof of Theorem finngch
StepHypRef Expression
1 fin12 8743 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinII
)
2 fin23 8719 . . . 4  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinIII )
3 fin34 8720 . . . 4  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )
41, 2, 33syl 20 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinIV
)
5 isfin4-3 8645 . . 3  |-  ( A  e. FinIV  <-> 
A  ~<  ( A  +c  1o ) )
64, 5sylib 196 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  ~<  ( A  +c  1o ) )
7 canthp1 8980 . 2  |-  ( 1o 
~<  A  ->  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A )
86, 7anim12i 564 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  1o  ~<  A )  -> 
( A  ~<  ( A  +c  1o )  /\  ( A  +c  1o )  ~<  ~P A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1840   ~Pcpw 3952   class class class wbr 4392  (class class class)co 6232   1oc1o 7078    ~< csdm 7471   Fincfn 7472    +c ccda 8497  FinIIcfin2 8609  FinIVcfin4 8610  FinIIIcfin3 8611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-rpss 6516  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-seqom 7068  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-oi 7887  df-wdom 7937  df-card 8270  df-cda 8498  df-fin2 8616  df-fin4 8617  df-fin3 8618
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator