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Theorem finminlem 30974
Description: A useful lemma about finite sets. If a property holds for a finite set, it holds for a minimal set. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Dec-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
finminlem.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
finminlem  |-  ( E. x  e.  Fin  ph  ->  E. x ( ph  /\  A. y ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem finminlem
Dummy variables  k  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfe1 1918 . . . . 5  |-  F/ x E. x ( x  ~~  n  /\  ph )
2 nfcv 2592 . . . . 5  |-  F/_ x om
31, 2nfrab 2972 . . . 4  |-  F/_ x { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }
4 nfcv 2592 . . . 4  |-  F/_ x (/)
53, 4nfne 2723 . . 3  |-  F/ x { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/)
6 isfi 7593 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  <->  E. m  e.  om  x  ~~  m
)
7 19.8a 1935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  ->  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) )
87anim2i 573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  (
m  e.  om  /\  E. x ( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
983impb 1204 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m  /\  ph )  ->  ( m  e. 
om  /\  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
10 breq2 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
x  ~~  n  <->  x  ~~  m ) )
1110anbi1d 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( x  ~~  n  /\  ph )  <->  ( x  ~~  m  /\  ph )
) )
1211exbidv 1768 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( E. x ( x  ~~  n  /\  ph )  <->  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
1312elrab 3196 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  <->  ( m  e.  om  /\  E. x
( x  ~~  m  /\  ph ) ) )
149, 13sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m  /\  ph )  ->  m  e.  {
n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) } )
15 ne0i 3737 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  ->  { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )
1614, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m  /\  ph )  ->  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )
17163exp 1207 . . . . 5  |-  ( m  e.  om  ->  (
x  ~~  m  ->  (
ph  ->  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) ) ) )
1817rexlimiv 2873 . . . 4  |-  ( E. m  e.  om  x  ~~  m  ->  ( ph  ->  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) ) )
196, 18sylbi 199 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( ph  ->  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) ) )
205, 19rexlimi 2869 . 2  |-  ( E. x  e.  Fin  ph  ->  { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )
21 epweon 6610 . . 3  |-  _E  We  On
22 ssrab2 3514 . . . 4  |-  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  C_  om
23 omsson 6696 . . . 4  |-  om  C_  On
2422, 23sstri 3441 . . 3  |-  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  C_  On
25 wefrc 4828 . . 3  |-  ( (  _E  We  On  /\  { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) } 
C_  On  /\  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/) )  ->  E. m  e.  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  ( {
n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )
2621, 24, 25mp3an12 1354 . 2  |-  ( { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  =/=  (/)  ->  E. m  e.  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  ( {
n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )
27 nfv 1761 . . . . . . 7  |-  F/ x  m  e.  om
28 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x m
293, 28nfin 3639 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )
3029nfeq1 2605 . . . . . . 7  |-  F/ x
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)
3127, 30nfan 2011 . . . . . 6  |-  F/ x
( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )
32 simprr 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ph )
33 sspss 3532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  x  <->  ( y  C.  x  \/  y  =  x ) )
34 rspe 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m )  ->  E. m  e.  om  x  ~~  m )
35 pssss 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y 
C.  x  ->  y  C_  x )
36 ssfi 7792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C_  x )  -> 
y  e.  Fin )
3735, 36sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C.  x )  -> 
y  e.  Fin )
3837ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
y  C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
396, 38sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( E. m  e.  om  x  ~~  m  ->  ( y 
C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
4034, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m )  -> 
( y  C.  x  ->  y  e.  Fin )
)
4140adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  (
y  C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
4241adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  C.  x  ->  y  e.  Fin ) )
43 isfi 7593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  Fin  <->  E. k  e.  om  y  ~~  k
)
44 simprll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  k  e.  om )
45 simprlr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  y  ~~  k )
46 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  ps )
47 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  y  e. 
_V
48 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  k  <->  y  ~~  k ) )
49 finminlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
5048, 49anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  ~~  k  /\  ph )  <->  ( y  ~~  k  /\  ps )
) )
5147, 50spcev 3141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  ~~  k  /\  ps )  ->  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) )
5245, 46, 51syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) )
5334, 6sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( m  e.  om  /\  x  ~~  m )  ->  x  e.  Fin )
5453adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  x  e.  Fin )
5554adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  x  e.  Fin )
5655adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  x  e.  Fin )
57 php3 7758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  C.  x )  -> 
y  ~<  x )
5857ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
y  C.  x  ->  y 
~<  x ) )
5956, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( y  C.  x  ->  y  ~<  x
) )
60 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  k  e. 
_V
61 ssdomg 7615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( k  e.  _V  ->  (
m  C_  k  ->  m  ~<_  k ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m 
C_  k  ->  m  ~<_  k )
63 endomtr 7627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  ~~  m  /\  m  ~<_  k )  ->  x  ~<_  k )
6463ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x 
~~  m  ->  (
m  ~<_  k  ->  x  ~<_  k ) )
6564ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps )  ->  ( m  ~<_  k  ->  x  ~<_  k ) )
6665ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( m  ~<_  k  ->  x  ~<_  k ) )
67 ensym 7618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( y 
~~  k  ->  k  ~~  y )
68 domentr 7628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  ~<_  k  /\  k  ~~  y )  ->  x  ~<_  y )
6967, 68sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( x  ~<_  k  /\  y  ~~  k )  ->  x  ~<_  y )
7069expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( y 
~~  k  ->  (
x  ~<_  k  ->  x  ~<_  y ) )
7170ad2antll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( x  ~<_  k  ->  x  ~<_  y ) )
7266, 71syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( m  ~<_  k  ->  x  ~<_  y ) )
7362, 72syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( m  C_  k  ->  x  ~<_  y ) )
74 domnsym 7698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( x  ~<_  y  ->  -.  y  ~<  x )
7574con2i 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y 
~<  x  ->  -.  x  ~<_  y )
7673, 75nsyli 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( y  ~<  x  ->  -.  m  C_  k
) )
7759, 76syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
k  e.  om  /\  y  ~~  k ) )  ->  ( y  C.  x  ->  -.  m  C_  k
) )
7877impr 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  -.  m  C_  k )
79 nnord 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( m  e.  om  ->  Ord  m )
8079ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  Ord  m )
81 nnord 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  om  ->  Ord  k )
8281adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  ->  Ord  k )
8382ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  Ord  k )
84 ordtri1 5456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Ord  m  /\  Ord  k )  ->  (
m  C_  k  <->  -.  k  e.  m ) )
8584con2bid 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Ord  m  /\  Ord  k )  ->  (
k  e.  m  <->  -.  m  C_  k ) )
8680, 83, 85syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  (
k  e.  m  <->  -.  m  C_  k ) )
8778, 86mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  k  e.  m )
8844, 52, 87jca31 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  (
( k  e.  om  /\ 
E. x ( x 
~~  k  /\  ph ) )  /\  k  e.  m ) )
89 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  ( { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  <->  ( k  e.  { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  /\  k  e.  m ) )
90 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  k  ->  (
x  ~~  n  <->  x  ~~  k ) )
9190anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  k  ->  (
( x  ~~  n  /\  ph )  <->  ( x  ~~  k  /\  ph )
) )
9291exbidv 1768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  k  ->  ( E. x ( x  ~~  n  /\  ph )  <->  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) ) )
9392elrab 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  <->  ( k  e.  om  /\  E. x
( x  ~~  k  /\  ph ) ) )
9493anbi1i 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( k  e.  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  /\  k  e.  m )  <->  ( ( k  e.  om  /\ 
E. x ( x 
~~  k  /\  ph ) )  /\  k  e.  m ) )
9589, 94bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  ( { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  <->  ( (
k  e.  om  /\  E. x ( x  ~~  k  /\  ph ) )  /\  k  e.  m
) )
9688, 95sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  k  e.  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m ) )
97 ne0i 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) )
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  /\  (
( k  e.  om  /\  y  ~~  k )  /\  y  C.  x
) )  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) )
9998exp44 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
k  e.  om  ->  ( y  ~~  k  -> 
( y  C.  x  ->  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =/=  (/) ) ) ) )
10099rexlimdv 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( E. k  e.  om  y  ~~  k  ->  (
y  C.  x  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) ) ) )
10143, 100syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  e.  Fin  ->  ( y  C.  x  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) ) ) )
102101com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  C.  x  ->  ( y  e.  Fin  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) ) ) )
10342, 102mpdd 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
y  C.  x  ->  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =/=  (/) ) )
104103necon2bd 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  (
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  -.  y  C.  x
) )
105104ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  om  ->  (
( ( x  ~~  m  /\  ph )  /\  ps )  ->  ( ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/)  ->  -.  y  C.  x ) ) )
106105com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  om  ->  (
( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  ( ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps )  ->  -.  y  C.  x ) ) )
107106imp31 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  -.  y  C.  x
)
108107pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( y  C.  x  ->  x  =  y ) )
109 equcomi 1861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  x  =  y )
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( y  =  x  ->  x  =  y ) )
111108, 110jaod 382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( ( y 
C.  x  \/  y  =  x )  ->  x  =  y ) )
11233, 111syl5bi 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( ( x 
~~  m  /\  ph )  /\  ps ) )  ->  ( y  C_  x  ->  x  =  y ) )
113112expr 620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ps  ->  ( y  C_  x  ->  x  =  y ) ) )
114113com23 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( y  C_  x  ->  ( ps  ->  x  =  y ) ) )
115114impd 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) )
116115alrimiv 1773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  A. y ( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) )
11732, 116jca 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/) )  /\  ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ph  /\  A. y ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
118117ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/) )  -> 
( ( x  ~~  m  /\  ph )  -> 
( ph  /\  A. y
( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y )
) ) )
11931, 118eximd 1960 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  om  /\  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/) )  -> 
( E. x ( x  ~~  m  /\  ph )  ->  E. x
( ph  /\  A. y
( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y )
) ) )
120119impancom 442 . . . 4  |-  ( ( m  e.  om  /\  E. x ( x  ~~  m  /\  ph ) )  ->  ( ( { n  e.  om  |  E. x ( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  E. x ( ph  /\ 
A. y ( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
12113, 120sylbi 199 . . 3  |-  ( m  e.  { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  ->  ( ( { n  e. 
om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  i^i  m )  =  (/)  ->  E. x ( ph  /\ 
A. y ( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
122121rexlimiv 2873 . 2  |-  ( E. m  e.  { n  e.  om  |  E. x
( x  ~~  n  /\  ph ) }  ( { n  e.  om  |  E. x ( x 
~~  n  /\  ph ) }  i^i  m
)  =  (/)  ->  E. x
( ph  /\  A. y
( ( y  C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y )
) )
12320, 26, 1223syl 18 1  |-  ( E. x  e.  Fin  ph  ->  E. x ( ph  /\  A. y ( ( y 
C_  x  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404    C. wpss 3405   (/)c0 3731   class class class wbr 4402    _E cep 4743    We wwe 4792   Ord word 5422   Oncon0 5423   omcom 6692    ~~ cen 7566    ~<_ cdom 7567    ~< csdm 7568   Fincfn 7569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573
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