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Theorem finixpnum 31994
Description: A finite Cartesian product of numerable sets is numerable. (Contributed by Brendan Leahy, 24-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
finixpnum  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem finixpnum
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2973 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  (/)  B  e.  dom  card )
)
2 ixpeq1 7551 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  (/)  B )
3 ixp0x 7568 . . . . . 6  |-  X_ x  e.  (/)  B  =  { (/)
}
42, 3syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  X_ x  e.  w  B  =  { (/) } )
54eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  { (/) }  e.  dom  card ) )
61, 5imbi12d 327 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( A. x  e.  (/)  B  e. 
dom  card  ->  { (/) }  e.  dom  card ) ) )
7 raleq 2973 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  y  B  e.  dom  card ) )
8 ixpeq1 7551 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  y  B )
98eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card ) )
107, 9imbi12d 327 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  dom  card 
->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )
) )
11 raleq 2973 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) )
12 ralunb 3606 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  dom  card  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  A. x  e.  { z } B  e.  dom  card ) )
13 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
14 ralsnsg 3995 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } B  e.  dom  card  <->  [. z  /  x ]. B  e.  dom  card )
)
15 sbcel1g 3780 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  x ]. B  e.  dom  card  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )
)
1614, 15bitrd 261 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } B  e.  dom  card  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )
)
1713, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { z } B  e.  dom  card  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )
1817anbi2i 708 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  {
z } B  e. 
dom  card )  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card ) )
1912, 18bitri 257 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  dom  card  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card ) )
2011, 19syl6bb 269 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card ) ) )
21 ixpeq1 7551 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
2221eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) )
2320, 22imbi12d 327 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
24 raleq 2973 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  A  B  e.  dom  card ) )
25 ixpeq1 7551 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  A  B
)
2625eleq1d 2533 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card ) )
2724, 26imbi12d 327 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  dom  card 
->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card ) ) )
28 snfi 7668 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Fin
29 finnum 8400 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  { (/) }  e.  dom  card )
3028, 29mp1i 13 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  B  e. 
dom  card  ->  { (/) }  e.  dom  card )
31 pm2.27 39 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  -> 
X_ x  e.  y  B  e.  dom  card ) )
32 xpnum 8403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
X_ x  e.  y  B  e.  dom  card  /\ 
[_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  e.  dom  card )
3332ancoms 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card  /\  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  e.  dom  card )
34 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  ( 1st `  w )  e.  X_ x  e.  y  B )
35 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  w )  e.  X_ x  e.  y  B  ->  ( 1st `  w )  Fn  y
)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  ( 1st `  w )  Fn  y )
37 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2nd `  w )  e.  _V
3813, 37fnsn 5642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. }  Fn  {
z }
3936, 38jctir 547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  (
( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z } ) )
40 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4140biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
42 fnun 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z } )  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  Fn  ( y  u.  {
z } ) )
4339, 41, 42syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( ( 1st `  w )  u. 
{ <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } )  Fn  (
y  u.  { z } ) )
44 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  w )  e.  _V
4544elixp 7547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  w )  e.  X_ x  e.  y  B  <->  ( ( 1st `  w )  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B ) )
4634, 45sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  (
( 1st `  w
)  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B ) )
47 fvun1 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z }  /\  (
( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  x  e.  y ) )  ->  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( ( 1st `  w
) `  x )
)
4838, 47mp3an2 1378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( ( y  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  x  e.  y ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  =  ( ( 1st `  w
) `  x )
)
4948anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( ( 1st `  w
) `  x )
)
5049eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B  <->  ( ( 1st `  w ) `  x
)  e.  B ) )
5150biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B  ->  ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
) )
5251ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  y  (
( 1st `  w
) `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
) )
5352ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  ( 1st `  w
)  Fn  y )  ->  ( A. x  e.  y  ( ( 1st `  w ) `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B ) )
5453impr 631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  ( ( 1st `  w )  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B ) )  ->  A. x  e.  y 
( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B )
5541, 46, 54syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  A. x  e.  y  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
56 ssnid 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
{ z }
5741, 56jctir 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  z  e.  { z } ) )
58 fvun2 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z }  /\  (
( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  z  e.  {
z } ) )  ->  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z ) )
5938, 58mp3an2 1378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( ( y  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  z  e.  { z } ) )  ->  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z ) )
6036, 57, 59syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z ) )
61 csbfv 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )
6213, 37fvsn 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. } `  z )  =  ( 2nd `  w )
6362eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  w )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z )
6460, 61, 633eqtr4g 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( 2nd `  w ) )
65 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  ( 2nd `  w )  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
6665adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  [_ z  /  x ]_ B
)
6764, 66eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  [_ z  /  x ]_ B
)
68 ralsnsg 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z }  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [. z  /  x ]. ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B ) )
6913, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  { z }  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [. z  /  x ]. ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B )
70 sbcel12 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. z  /  x ]. (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
7169, 70bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  { z }  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
7267, 71sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  A. x  e.  { z }  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
73 ralun 3607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  y  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B  /\  A. x  e.  { z }  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)  ->  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
7455, 72, 73syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
75 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. }  e.  _V
7644, 75unex 6608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  e. 
_V
7776elixp 7547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  e.  X_ x  e.  (
y  u.  { z } ) B  <->  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
) )
7843, 74, 77sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( ( 1st `  w )  u. 
{ <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } )  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )
79 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) )  =  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) )
8078, 79fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) --> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
81 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  u  Fn  ( y  u.  { z } ) )
82 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
83 fnssres 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  y  C_  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( u  |`  y )  Fn  y
)
8481, 82, 83sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( u  |`  y
)  Fn  y )
85 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  u  e. 
_V
8685elixp 7547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  <->  ( u  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( u `  x )  e.  B
) )
87 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( u `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( u `  x )  e.  B
) )
8882, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( u `  x
)  e.  B  ->  A. x  e.  y 
( u `  x
)  e.  B )
89 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  y  ->  (
( u  |`  y
) `  x )  =  ( u `  x ) )
9089eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  y  ->  (
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B  <->  ( u `  x )  e.  B
) )
9190biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  y  ->  (
( u `  x
)  e.  B  -> 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B ) )
9291ralimia 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  y  (
u `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( (
u  |`  y ) `  x )  e.  B
)
9388, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( u `  x
)  e.  B  ->  A. x  e.  y 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B )
9493adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( u `  x )  e.  B )  ->  A. x  e.  y 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B )
9586, 94sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  A. x  e.  y 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B )
9685resex 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  |`  y )  e.  _V
9796elixp 7547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  |`  y )  e.  X_ x  e.  y  B  <->  ( ( u  |`  y )  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B ) )
9884, 95, 97sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( u  |`  y
)  e.  X_ x  e.  y  B )
99 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
10099, 56sselii 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
101 csbeq1 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
102101fvixp 7545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  X_ w  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ w  /  x ]_ B  /\  z  e.  (
y  u.  { z } ) )  -> 
( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
103100, 102mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  X_ w  e.  ( y  u.  { z } ) [_ w  /  x ]_ B  -> 
( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
104 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w B
105 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
106 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
107104, 105, 106cbvixp 7557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  X_ w  e.  ( y  u.  { z } ) [_ w  /  x ]_ B
108103, 107eleq2s 2567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
109 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  |`  y
)  e.  X_ x  e.  y  B  /\  ( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )
11098, 108, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  <. ( u  |`  y
) ,  ( u `
 z ) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
) )
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )
112 disj3 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  y  =  ( y  \  { z } ) )
11340, 112sylbb1 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
y  =  ( y 
\  { z } ) )
114 difun2 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  u.  { z } )  \  {
z } )  =  ( y  \  {
z } )
115113, 114syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
y  =  ( ( y  u.  { z } )  \  {
z } ) )
116115reseq2d 5111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( u  |`  y
)  =  ( u  |`  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } ) ) )
117116uneq1d 3578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( u  |`  y )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } )  =  ( ( u  |`  (
( y  u.  {
z } )  \  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
118117adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  (
( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } )  =  ( ( u  |`  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } ) )
119 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u `
 z )  e. 
_V
12096, 119op1std 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( 1st `  w
)  =  ( u  |`  y ) )
12196, 119op2ndd 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( 2nd `  w
)  =  ( u `
 z ) )
122121opeq2d 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  <. z ,  ( 2nd `  w )
>.  =  <. z ,  ( u `  z
) >. )
123122sneqd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. }  =  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } )
124120, 123uneq12d 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } )  =  ( ( u  |`  y )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } ) )
125 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { <. z ,  ( u `  z ) >. }  e.  _V
12696, 125unex 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  |`  y )  u.  { <. z ,  ( u `  z )
>. } )  e.  _V
127124, 79, 126fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( u  |`  y
) ,  ( u `
 z ) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  ->  ( (
w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. )  =  (
( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
128110, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >. )  =  ( ( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
129128adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  (
( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. )  =  (
( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
130 fnsnsplit 6117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  u  =  ( ( u  |`  (
( y  u.  {
z } )  \  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
13181, 100, 130sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  u  =  ( (
u  |`  ( ( y  u.  { z } )  \  { z } ) )  u. 
{ <. z ,  ( u `  z )
>. } ) )
132131adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  u  =  ( ( u  |`  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } ) )
133118, 129, 1323eqtr4rd 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. ) )
134 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v )  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >. ) )
135134eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  v )  <-> 
u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. ) ) )
136135rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. ( u  |`  y
) ,  ( u `
 z ) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  /\  u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >. ) )  ->  E. v  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v ) )
137111, 133, 136syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  E. v  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
) u  =  ( ( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v ) )
138137ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  ->  A. u  e.  X_  x  e.  ( y  u.  {
z } ) B E. v  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v ) )
139 dffo3 6052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) -onto-> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  <-> 
( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) --> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  /\  A. u  e.  X_  x  e.  (
y  u.  { z } ) B E. v  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  v ) ) )
14080, 138, 139sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) -onto-> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
141 fonum 8507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  e.  dom  card  /\  ( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) -onto-> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
14233, 140, 141syl2anr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card  /\  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card ) )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
143142expr 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( X_ x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
)
14431, 143syl9r 73 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  -> 
X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) ) )
145144expimpd 614 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card  /\  A. x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  (
( A. x  e.  y  B  e.  dom  card 
->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) ) )
146145ancomsd 461 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
147146com23 80 . . . 4  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
148147adantl 473 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  (
( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
1496, 10, 23, 27, 30, 148findcard2s 7830 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card ) )
150149imp 436 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   [_csb 3349    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839    |` cres 4841    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   X_cixp 7540   Fincfn 7587   cardccrd 8387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-card 8391  df-acn 8394
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