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Theorem finixpnum 31390
Description: A finite Cartesian product of numerable sets is numerable. (Contributed by Brendan Leahy, 24-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
finixpnum  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem finixpnum
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3003 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  (/)  B  e.  dom  card )
)
2 ixpeq1 7517 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  (/)  B )
3 ixp0x 7534 . . . . . 6  |-  X_ x  e.  (/)  B  =  { (/)
}
42, 3syl6eq 2459 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  X_ x  e.  w  B  =  { (/) } )
54eleq1d 2471 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  { (/) }  e.  dom  card ) )
61, 5imbi12d 318 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( A. x  e.  (/)  B  e. 
dom  card  ->  { (/) }  e.  dom  card ) ) )
7 raleq 3003 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  y  B  e.  dom  card ) )
8 ixpeq1 7517 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  y  B )
98eleq1d 2471 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card ) )
107, 9imbi12d 318 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  dom  card 
->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )
) )
11 raleq 3003 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) )
12 ralunb 3623 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  dom  card  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  A. x  e.  { z } B  e.  dom  card ) )
13 vex 3061 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
14 ralsnsg 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } B  e.  dom  card  <->  [. z  /  x ]. B  e.  dom  card )
)
15 sbcel1g 3780 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  x ]. B  e.  dom  card  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )
)
1614, 15bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } B  e.  dom  card  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )
)
1713, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { z } B  e.  dom  card  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )
1817anbi2i 692 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  {
z } B  e. 
dom  card )  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card ) )
1912, 18bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  dom  card  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card ) )
2011, 19syl6bb 261 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card ) ) )
21 ixpeq1 7517 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
2221eleq1d 2471 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) )
2320, 22imbi12d 318 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
24 raleq 3003 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  A  B  e.  dom  card ) )
25 ixpeq1 7517 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  A  B
)
2625eleq1d 2471 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card ) )
2724, 26imbi12d 318 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  dom  card 
->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card ) ) )
28 snfi 7633 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Fin
29 finnum 8360 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  { (/) }  e.  dom  card )
3028, 29mp1i 13 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  B  e. 
dom  card  ->  { (/) }  e.  dom  card )
31 pm2.27 37 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  -> 
X_ x  e.  y  B  e.  dom  card ) )
32 xpnum 8363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
X_ x  e.  y  B  e.  dom  card  /\ 
[_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  e.  dom  card )
3332ancoms 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card  /\  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  e.  dom  card )
34 xp1st 6813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  ( 1st `  w )  e.  X_ x  e.  y  B )
35 ixpfn 7512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  w )  e.  X_ x  e.  y  B  ->  ( 1st `  w )  Fn  y
)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  ( 1st `  w )  Fn  y )
37 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2nd `  w )  e.  _V
3813, 37fnsn 5621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. }  Fn  {
z }
3936, 38jctir 536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  (
( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z } ) )
40 disjsn 4031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4140biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
42 fnun 5667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z } )  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  Fn  ( y  u.  {
z } ) )
4339, 41, 42syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( ( 1st `  w )  u. 
{ <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } )  Fn  (
y  u.  { z } ) )
44 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  w )  e.  _V
4544elixp 7513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  w )  e.  X_ x  e.  y  B  <->  ( ( 1st `  w )  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B ) )
4634, 45sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  (
( 1st `  w
)  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B ) )
47 fvun1 5919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z }  /\  (
( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  x  e.  y ) )  ->  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( ( 1st `  w
) `  x )
)
4838, 47mp3an2 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( ( y  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  x  e.  y ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  =  ( ( 1st `  w
) `  x )
)
4948anassrs 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( ( 1st `  w
) `  x )
)
5049eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B  <->  ( ( 1st `  w ) `  x
)  e.  B ) )
5150biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B  ->  ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
) )
5251ralimdva 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  y  (
( 1st `  w
) `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
) )
5352ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  ( 1st `  w
)  Fn  y )  ->  ( A. x  e.  y  ( ( 1st `  w ) `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B ) )
5453impr 617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  ( ( 1st `  w )  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B ) )  ->  A. x  e.  y 
( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B )
5541, 46, 54syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  A. x  e.  y  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
56 ssnid 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
{ z }
5741, 56jctir 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  z  e.  { z } ) )
58 fvun2 5920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z }  /\  (
( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  z  e.  {
z } ) )  ->  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z ) )
5938, 58mp3an2 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( ( y  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  z  e.  { z } ) )  ->  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z ) )
6036, 57, 59syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z ) )
61 csbfv 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )
6213, 37fvsn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. } `  z )  =  ( 2nd `  w )
6362eqcomi 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  w )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z )
6460, 61, 633eqtr4g 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( 2nd `  w ) )
65 xp2nd 6814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  ( 2nd `  w )  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
6665adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  [_ z  /  x ]_ B
)
6764, 66eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  [_ z  /  x ]_ B
)
68 ralsnsg 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z }  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [. z  /  x ]. ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B ) )
6913, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  { z }  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [. z  /  x ]. ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B )
70 sbcel12 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. z  /  x ]. (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
7169, 70bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  { z }  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
7267, 71sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  A. x  e.  { z }  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
73 ralun 3624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  y  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B  /\  A. x  e.  { z }  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)  ->  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
7455, 72, 73syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
75 snex 4631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. }  e.  _V
7644, 75unex 6579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  e. 
_V
7776elixp 7513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  e.  X_ x  e.  (
y  u.  { z } ) B  <->  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
) )
7843, 74, 77sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( ( 1st `  w )  u. 
{ <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } )  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )
79 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) )  =  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) )
8078, 79fmptd 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) --> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
81 ixpfn 7512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  u  Fn  ( y  u.  { z } ) )
82 ssun1 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
83 fnssres 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  y  C_  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( u  |`  y )  Fn  y
)
8481, 82, 83sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( u  |`  y
)  Fn  y )
85 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  u  e. 
_V
8685elixp 7513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  <->  ( u  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( u `  x )  e.  B
) )
87 ssralv 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( u `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( u `  x )  e.  B
) )
8882, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( u `  x
)  e.  B  ->  A. x  e.  y 
( u `  x
)  e.  B )
89 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  y  ->  (
( u  |`  y
) `  x )  =  ( u `  x ) )
9089eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  y  ->  (
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B  <->  ( u `  x )  e.  B
) )
9190biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  y  ->  (
( u `  x
)  e.  B  -> 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B ) )
9291ralimia 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  y  (
u `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( (
u  |`  y ) `  x )  e.  B
)
9388, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( u `  x
)  e.  B  ->  A. x  e.  y 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B )
9493adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( u `  x )  e.  B )  ->  A. x  e.  y 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B )
9586, 94sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  A. x  e.  y 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B )
9685resex 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  |`  y )  e.  _V
9796elixp 7513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  |`  y )  e.  X_ x  e.  y  B  <->  ( ( u  |`  y )  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B ) )
9884, 95, 97sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( u  |`  y
)  e.  X_ x  e.  y  B )
99 ssun2 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
10099, 56sselii 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
101 csbeq1 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
102101fvixp 7511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  X_ w  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ w  /  x ]_ B  /\  z  e.  (
y  u.  { z } ) )  -> 
( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
103100, 102mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  X_ w  e.  ( y  u.  { z } ) [_ w  /  x ]_ B  -> 
( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
104 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w B
105 nfcsb1v 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
106 csbeq1a 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
107104, 105, 106cbvixp 7523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  X_ w  e.  ( y  u.  { z } ) [_ w  /  x ]_ B
108103, 107eleq2s 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
109 opelxpi 4854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  |`  y
)  e.  X_ x  e.  y  B  /\  ( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )
11098, 108, 109syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  <. ( u  |`  y
) ,  ( u `
 z ) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
) )
111110adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )
112 disj3 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  y  =  ( y  \  { z } ) )
11340, 112bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  z  e.  y  <->  y  =  ( y  \  {
z } ) )
114113biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
y  =  ( y 
\  { z } ) )
115 difun2 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  u.  { z } )  \  {
z } )  =  ( y  \  {
z } )
116114, 115syl6eqr 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
y  =  ( ( y  u.  { z } )  \  {
z } ) )
117116reseq2d 5093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( u  |`  y
)  =  ( u  |`  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } ) ) )
118117uneq1d 3595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( u  |`  y )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } )  =  ( ( u  |`  (
( y  u.  {
z } )  \  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
119118adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  (
( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } )  =  ( ( u  |`  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } ) )
120 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u `
 z )  e. 
_V
12196, 120op1std 6793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( 1st `  w
)  =  ( u  |`  y ) )
12296, 120op2ndd 6794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( 2nd `  w
)  =  ( u `
 z ) )
123122opeq2d 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  <. z ,  ( 2nd `  w )
>.  =  <. z ,  ( u `  z
) >. )
124123sneqd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. }  =  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } )
125121, 124uneq12d 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } )  =  ( ( u  |`  y )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } ) )
126 snex 4631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { <. z ,  ( u `  z ) >. }  e.  _V
12796, 126unex 6579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  |`  y )  u.  { <. z ,  ( u `  z )
>. } )  e.  _V
128125, 79, 127fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( u  |`  y
) ,  ( u `
 z ) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  ->  ( (
w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. )  =  (
( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
129110, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >. )  =  ( ( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
130129adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  (
( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. )  =  (
( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
131 fnsnsplit 6087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  u  =  ( ( u  |`  (
( y  u.  {
z } )  \  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
13281, 100, 131sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  u  =  ( (
u  |`  ( ( y  u.  { z } )  \  { z } ) )  u. 
{ <. z ,  ( u `  z )
>. } ) )
133132adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  u  =  ( ( u  |`  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } ) )
134119, 130, 1333eqtr4rd 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. ) )
135 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v )  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >. ) )
136135eqeq2d 2416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  v )  <-> 
u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. ) ) )
137136rspcev 3159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. ( u  |`  y
) ,  ( u `
 z ) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  /\  u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >. ) )  ->  E. v  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v ) )
138111, 134, 137syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  E. v  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
) u  =  ( ( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v ) )
139138ralrimiva 2817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  ->  A. u  e.  X_  x  e.  ( y  u.  {
z } ) B E. v  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v ) )
140 dffo3 6023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) -onto-> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  <-> 
( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) --> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  /\  A. u  e.  X_  x  e.  (
y  u.  { z } ) B E. v  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  v ) ) )
14180, 139, 140sylanbrc 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) -onto-> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
142 fonum 8470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  e.  dom  card  /\  ( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) -onto-> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
14333, 141, 142syl2anr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card  /\  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card ) )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
144143expr 613 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( X_ x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
)
14531, 144syl9r 71 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  -> 
X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) ) )
146145expimpd 601 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card  /\  A. x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  (
( A. x  e.  y  B  e.  dom  card 
->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) ) )
147146ancomsd 452 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
148147com23 78 . . . 4  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
149148adantl 464 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  (
( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
1506, 10, 23, 27, 30, 149findcard2s 7794 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card ) )
151150imp 427 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058   [.wsbc 3276   [_csb 3372    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   <.cop 3977    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   dom cdm 4822    |` cres 4824    Fn wfn 5563   -->wf 5564   -onto->wfo 5566   ` cfv 5568   1stc1st 6781   2ndc2nd 6782   X_cixp 7506   Fincfn 7553   cardccrd 8347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-fin 7557  df-card 8351  df-acn 8354
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