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Theorem finixpnum 31930
Description: A finite Cartesian product of numerable sets is numerable. (Contributed by Brendan Leahy, 24-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
finixpnum  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem finixpnum
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2987 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  (/)  B  e.  dom  card )
)
2 ixpeq1 7533 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  (/)  B )
3 ixp0x 7550 . . . . . 6  |-  X_ x  e.  (/)  B  =  { (/)
}
42, 3syl6eq 2501 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  X_ x  e.  w  B  =  { (/) } )
54eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  { (/) }  e.  dom  card ) )
61, 5imbi12d 322 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( A. x  e.  (/)  B  e. 
dom  card  ->  { (/) }  e.  dom  card ) ) )
7 raleq 2987 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  y  B  e.  dom  card ) )
8 ixpeq1 7533 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  y  B )
98eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card ) )
107, 9imbi12d 322 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  dom  card 
->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )
) )
11 raleq 2987 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) )
12 ralunb 3615 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  dom  card  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  A. x  e.  { z } B  e.  dom  card ) )
13 vex 3048 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
14 ralsnsg 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } B  e.  dom  card  <->  [. z  /  x ]. B  e.  dom  card )
)
15 sbcel1g 3776 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  x ]. B  e.  dom  card  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )
)
1614, 15bitrd 257 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } B  e.  dom  card  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )
)
1713, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { z } B  e.  dom  card  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )
1817anbi2i 700 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  {
z } B  e. 
dom  card )  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card ) )
1912, 18bitri 253 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  dom  card  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card ) )
2011, 19syl6bb 265 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card ) ) )
21 ixpeq1 7533 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
2221eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) )
2320, 22imbi12d 322 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
24 raleq 2987 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  A. x  e.  A  B  e.  dom  card ) )
25 ixpeq1 7533 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  X_ x  e.  w  B  =  X_ x  e.  A  B
)
2625eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( X_ x  e.  w  B  e.  dom  card  <->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card ) )
2724, 26imbi12d 322 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  dom  card 
->  X_ x  e.  w  B  e.  dom  card )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card ) ) )
28 snfi 7650 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Fin
29 finnum 8382 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  Fin  ->  { (/) }  e.  dom  card )
3028, 29mp1i 13 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  B  e. 
dom  card  ->  { (/) }  e.  dom  card )
31 pm2.27 40 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  -> 
X_ x  e.  y  B  e.  dom  card ) )
32 xpnum 8385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
X_ x  e.  y  B  e.  dom  card  /\ 
[_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  e.  dom  card )
3332ancoms 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
[_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card  /\  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  e.  dom  card )
34 xp1st 6823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  ( 1st `  w )  e.  X_ x  e.  y  B )
35 ixpfn 7528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  w )  e.  X_ x  e.  y  B  ->  ( 1st `  w )  Fn  y
)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  ( 1st `  w )  Fn  y )
37 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2nd `  w )  e.  _V
3813, 37fnsn 5635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. }  Fn  {
z }
3936, 38jctir 541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  (
( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z } ) )
40 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4140biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
42 fnun 5682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z } )  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  Fn  ( y  u.  {
z } ) )
4339, 41, 42syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( ( 1st `  w )  u. 
{ <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } )  Fn  (
y  u.  { z } ) )
44 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1st `  w )  e.  _V
4544elixp 7529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1st `  w )  e.  X_ x  e.  y  B  <->  ( ( 1st `  w )  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B ) )
4634, 45sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  (
( 1st `  w
)  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B ) )
47 fvun1 5936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z }  /\  (
( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  x  e.  y ) )  ->  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( ( 1st `  w
) `  x )
)
4838, 47mp3an2 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( ( y  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  x  e.  y ) )  -> 
( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  =  ( ( 1st `  w
) `  x )
)
4948anassrs 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( ( 1st `  w
) `  x )
)
5049eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B  <->  ( ( 1st `  w ) `  x
)  e.  B ) )
5150biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  /\  x  e.  y )  ->  (
( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B  ->  ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
) )
5251ralimdva 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )  ->  ( A. x  e.  y  (
( 1st `  w
) `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
) )
5352ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  ( 1st `  w
)  Fn  y )  ->  ( A. x  e.  y  ( ( 1st `  w ) `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B ) )
5453impr 625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  ( ( 1st `  w )  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( 1st `  w
) `  x )  e.  B ) )  ->  A. x  e.  y 
( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B )
5541, 46, 54syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  A. x  e.  y  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
56 ssnid 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
{ z }
5741, 56jctir 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  z  e.  { z } ) )
58 fvun2 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. }  Fn  { z }  /\  (
( y  i^i  {
z } )  =  (/)  /\  z  e.  {
z } ) )  ->  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z ) )
5938, 58mp3an2 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1st `  w
)  Fn  y  /\  ( ( y  i^i 
{ z } )  =  (/)  /\  z  e.  { z } ) )  ->  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z ) )
6036, 57, 59syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z ) )
61 csbfv 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  z )
6213, 37fvsn 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( {
<. z ,  ( 2nd `  w ) >. } `  z )  =  ( 2nd `  w )
6362eqcomi 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  w )  =  ( { <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } `  z )
6460, 61, 633eqtr4g 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  =  ( 2nd `  w ) )
65 xp2nd 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  ( 2nd `  w )  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
6665adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( 2nd `  w )  e.  [_ z  /  x ]_ B
)
6764, 66eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  [_ z  /  x ]_ B
)
68 ralsnsg 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z }  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [. z  /  x ]. ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B ) )
6913, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  { z }  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [. z  /  x ]. ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B )
70 sbcel12 3772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. z  /  x ]. (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
7169, 70bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  { z }  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B  <->  [_ z  /  x ]_ ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
7267, 71sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  A. x  e.  { z }  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
73 ralun 3616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  y  ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) `
 x )  e.  B  /\  A. x  e.  { z }  (
( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)  ->  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
7455, 72, 73syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
)
75 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. }  e.  _V
7644, 75unex 6589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  e. 
_V
7776elixp 7529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  e.  X_ x  e.  (
y  u.  { z } ) B  <->  ( (
( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } )  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) `  x )  e.  B
) )
7843, 74, 77sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )  ->  ( ( 1st `  w )  u. 
{ <. z ,  ( 2nd `  w )
>. } )  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )
79 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) )  =  ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) )
8078, 79fmptd 6046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) --> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
81 ixpfn 7528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  u  Fn  ( y  u.  { z } ) )
82 ssun1 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
83 fnssres 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  y  C_  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( u  |`  y )  Fn  y
)
8481, 82, 83sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( u  |`  y
)  Fn  y )
85 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  u  e. 
_V
8685elixp 7529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  <->  ( u  Fn  ( y  u.  {
z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( u `  x )  e.  B
) )
87 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( u `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( u `  x )  e.  B
) )
8882, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( u `  x
)  e.  B  ->  A. x  e.  y 
( u `  x
)  e.  B )
89 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  y  ->  (
( u  |`  y
) `  x )  =  ( u `  x ) )
9089eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  y  ->  (
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B  <->  ( u `  x )  e.  B
) )
9190biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  y  ->  (
( u `  x
)  e.  B  -> 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B ) )
9291ralimia 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  y  (
u `  x )  e.  B  ->  A. x  e.  y  ( (
u  |`  y ) `  x )  e.  B
)
9388, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) ( u `  x
)  e.  B  ->  A. x  e.  y 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B )
9493adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) ( u `  x )  e.  B )  ->  A. x  e.  y 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B )
9586, 94sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  A. x  e.  y 
( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B )
9685resex 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  |`  y )  e.  _V
9796elixp 7529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  |`  y )  e.  X_ x  e.  y  B  <->  ( ( u  |`  y )  Fn  y  /\  A. x  e.  y  ( ( u  |`  y ) `  x
)  e.  B ) )
9884, 95, 97sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( u  |`  y
)  e.  X_ x  e.  y  B )
99 ssun2 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
10099, 56sselii 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
101 csbeq1 3366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
102101fvixp 7527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  X_ w  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ w  /  x ]_ B  /\  z  e.  (
y  u.  { z } ) )  -> 
( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
103100, 102mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  X_ w  e.  ( y  u.  { z } ) [_ w  /  x ]_ B  -> 
( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
104 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w B
105 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
106 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
107104, 105, 106cbvixp 7539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  X_ w  e.  ( y  u.  { z } ) [_ w  /  x ]_ B
108103, 107eleq2s 2547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
109 opelxpi 4866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  |`  y
)  e.  X_ x  e.  y  B  /\  ( u `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )
11098, 108, 109syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  <. ( u  |`  y
) ,  ( u `
 z ) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
) )
111110adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) )
112 disj3 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  y  =  ( y  \  { z } ) )
11340, 112bitr3i 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  z  e.  y  <->  y  =  ( y  \  {
z } ) )
114113biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
y  =  ( y 
\  { z } ) )
115 difun2 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  u.  { z } )  \  {
z } )  =  ( y  \  {
z } )
116114, 115syl6eqr 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
y  =  ( ( y  u.  { z } )  \  {
z } ) )
117116reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( u  |`  y
)  =  ( u  |`  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } ) ) )
118117uneq1d 3587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( u  |`  y )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } )  =  ( ( u  |`  (
( y  u.  {
z } )  \  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
119118adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  (
( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } )  =  ( ( u  |`  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } ) )
120 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u `
 z )  e. 
_V
12196, 120op1std 6803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( 1st `  w
)  =  ( u  |`  y ) )
12296, 120op2ndd 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( 2nd `  w
)  =  ( u `
 z ) )
123122opeq2d 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  <. z ,  ( 2nd `  w )
>.  =  <. z ,  ( u `  z
) >. )
124123sneqd 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. }  =  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } )
125121, 124uneq12d 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } )  =  ( ( u  |`  y )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } ) )
126 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { <. z ,  ( u `  z ) >. }  e.  _V
12796, 126unex 6589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  |`  y )  u.  { <. z ,  ( u `  z )
>. } )  e.  _V
128125, 79, 127fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( u  |`  y
) ,  ( u `
 z ) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  ->  ( (
w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. )  =  (
( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
129110, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  -> 
( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >. )  =  ( ( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
130129adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  (
( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. )  =  (
( u  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
131 fnsnsplit 6101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  Fn  ( y  u.  { z } )  /\  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  u  =  ( ( u  |`  (
( y  u.  {
z } )  \  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `  z ) >. } ) )
13281, 100, 131sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  ->  u  =  ( (
u  |`  ( ( y  u.  { z } )  \  { z } ) )  u. 
{ <. z ,  ( u `  z )
>. } ) )
133132adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  u  =  ( ( u  |`  ( ( y  u. 
{ z } ) 
\  { z } ) )  u.  { <. z ,  ( u `
 z ) >. } ) )
134119, 130, 1333eqtr4rd 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. ) )
135 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v )  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >. ) )
136135eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>.  ->  ( u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  v )  <-> 
u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 <. ( u  |`  y ) ,  ( u `  z )
>. ) ) )
137136rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. ( u  |`  y
) ,  ( u `
 z ) >.  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  /\  u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  <. (
u  |`  y ) ,  ( u `  z
) >. ) )  ->  E. v  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v ) )
138111, 134, 137syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  u  e.  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B )  ->  E. v  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
) u  =  ( ( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v ) )
139138ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  ->  A. u  e.  X_  x  e.  ( y  u.  {
z } ) B E. v  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) `
 v ) )
140 dffo3 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B )  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) -onto-> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  <-> 
( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) --> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  /\  A. u  e.  X_  x  e.  (
y  u.  { z } ) B E. v  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) u  =  ( ( w  e.  ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  |->  ( ( 1st `  w )  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w ) >. } ) ) `  v ) ) )
14180, 139, 140sylanbrc 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) -onto-> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
142 fonum 8489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B
)  e.  dom  card  /\  ( w  e.  (
X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) 
|->  ( ( 1st `  w
)  u.  { <. z ,  ( 2nd `  w
) >. } ) ) : ( X_ x  e.  y  B  X.  [_ z  /  x ]_ B ) -onto-> X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
14333, 141, 142syl2anr 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  ( [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card  /\  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card ) )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
144143expr 620 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( X_ x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
)
14531, 144syl9r 74 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  z  e.  y  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  -> 
X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) ) )
146145expimpd 608 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card  /\  A. x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  (
( A. x  e.  y  B  e.  dom  card 
->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  card ) ) )
147146ancomsd 456 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
148147com23 81 . . . 4  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e. 
dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
149148adantl 468 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  y  B  e.  dom  card )  ->  (
( A. x  e.  y  B  e.  dom  card  /\  [_ z  /  x ]_ B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  card )
) )
1506, 10, 23, 27, 30, 149findcard2s 7812 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  dom  card  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card ) )
151150imp 431 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  dom  card )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  dom  card )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   [.wsbc 3267   [_csb 3363    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   <.cop 3974    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   dom cdm 4834    |` cres 4836    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   ` cfv 5582   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792   X_cixp 7522   Fincfn 7569   cardccrd 8369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-fin 7573  df-card 8373  df-acn 8376
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