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Theorem finiunmbl 21682
Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
finiunmbl  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem finiunmbl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3051 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
)
2 iuneq1 4332 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32eleq1d 2529 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
)
41, 3imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  (/)  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
) )
5 raleq 3051 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol ) )
6 iuneq1 4332 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  x  B )
76eleq1d 2529 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol ) )
85, 7imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )
) )
9 raleq 3051 . . . 4  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
10 iuneq1 4332 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B )
1110eleq1d 2529 . . . 4  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
129, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol )  <->  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) ) )
13 raleq 3051 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
14 iuneq1 4332 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  A  B
)
1514eleq1d 2529 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
1613, 15imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
) )
17 0iun 4375 . . . . 5  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
18 0mbl 21678 . . . . 5  |-  (/)  e.  dom  vol
1917, 18eqeltri 2544 . . . 4  |-  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol
2019a1i 11 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  B  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
21 ssun1 3660 . . . . . . 7  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
22 ssralv 3557 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol )
)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol )
2423imim1i 58 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )
)
25 ssun2 3661 . . . . . . 7  |-  { z }  C_  ( x  u.  { z } )
26 ssralv 3557 . . . . . . 7  |-  ( { z }  C_  (
x  u.  { z } )  ->  ( A. k  e.  (
x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol  ->  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  {
z } B  e. 
dom  vol )
28 iunxun 4400 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  =  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  { z } B )
29 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
30 csbeq1 3431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  [_ x  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
3130eleq1d 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
)
3229, 31ralsn 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { z } [_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
33 nfv 1678 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  B  e.  dom  vol
34 nfcsb1v 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ B
3534nfel1 2638 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol
36 csbeq1a 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  k ]_ B )
3736eleq1d 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ x  / 
k ]_ B  e.  dom  vol ) )
3833, 35, 37cbvral 3077 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  A. x  e.  { z } [_ x  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
39 nfcv 2622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x B
4039, 34, 36cbviun 4355 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  { z } B  =  U_ x  e.  {
z } [_ x  /  k ]_ B
4129, 30iunxsn 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  { z } [_ x  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
4240, 41eqtri 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ k  e.  { z } B  =  [_ z  /  k ]_ B
4342eleq1i 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
4432, 38, 433bitr4i 277 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol )
45 unmbl 21676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  {
z } B )  e.  dom  vol )
4644, 45sylan2b 475 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  {
z } B )  e.  dom  vol )
4728, 46syl5eqel 2552 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol )
4847expcom 435 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol 
->  ( U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
4927, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  ( U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
5024, 49sylcom 29 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol ) )
5150a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol ) ) )
524, 8, 12, 16, 20, 51findcard2 7749 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5352imp 429 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   [_csb 3428    u. cun 3467    C_ wss 3469   (/)c0 3778   {csn 4020   U_ciun 4318   dom cdm 4992   Fincfn 7506   volcvol 21603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xadd 11308  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-xmet 18176  df-met 18177  df-ovol 21604  df-vol 21605
This theorem is referenced by:  volfiniun  21685  iunmbl  21691  volsup  21694  iunmbl2  21695  uniioovol  21716  uniioombllem4  21723  uniioombllem5  21724  dyadmbl  21737  i1fima  21813  i1fd  21816  i1fadd  21830  i1fmul  21831  volfiniune  27828  volsupnfl  29623  itg2addnclem2  29631  ftc1anclem6  29659
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