MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finiunmbl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem finiunmbl 22497
Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
finiunmbl  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem finiunmbl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2987 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
)
2 iuneq1 4292 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
)
41, 3imbi12d 322 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  (/)  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
) )
5 raleq 2987 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol ) )
6 iuneq1 4292 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  x  B )
76eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol ) )
85, 7imbi12d 322 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )
) )
9 raleq 2987 . . . 4  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
10 iuneq1 4292 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B )
1110eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
129, 11imbi12d 322 . . 3  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol )  <->  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) ) )
13 raleq 2987 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
14 iuneq1 4292 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  A  B
)
1514eleq1d 2513 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
1613, 15imbi12d 322 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
) )
17 0iun 4335 . . . . 5  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
18 0mbl 22493 . . . . 5  |-  (/)  e.  dom  vol
1917, 18eqeltri 2525 . . . 4  |-  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol
2019a1i 11 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  B  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
21 ssun1 3597 . . . . . . 7  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
22 ssralv 3493 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol )
)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol )
2423imim1i 60 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )
)
25 ssun2 3598 . . . . . . 7  |-  { z }  C_  ( x  u.  { z } )
26 ssralv 3493 . . . . . . 7  |-  ( { z }  C_  (
x  u.  { z } )  ->  ( A. k  e.  (
x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol  ->  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  {
z } B  e. 
dom  vol )
28 iunxun 4363 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  =  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  { z } B )
29 vex 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
30 csbeq1 3366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  [_ x  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
3130eleq1d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
)
3229, 31ralsn 4010 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { z } [_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
33 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  B  e.  dom  vol
34 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ B
3534nfel1 2606 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol
36 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  k ]_ B )
3736eleq1d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ x  / 
k ]_ B  e.  dom  vol ) )
3833, 35, 37cbvral 3015 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  A. x  e.  { z } [_ x  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
39 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x B
4039, 34, 36cbviun 4315 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  { z } B  =  U_ x  e.  {
z } [_ x  /  k ]_ B
4129, 30iunxsn 4361 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  { z } [_ x  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
4240, 41eqtri 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ k  e.  { z } B  =  [_ z  /  k ]_ B
4342eleq1i 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
4432, 38, 433bitr4i 281 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol )
45 unmbl 22491 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  {
z } B )  e.  dom  vol )
4644, 45sylan2b 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  {
z } B )  e.  dom  vol )
4728, 46syl5eqel 2533 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol )
4847expcom 437 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol 
->  ( U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
4927, 48syl 17 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  ( U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
5024, 49sylcom 30 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol ) )
5150a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol ) ) )
524, 8, 12, 16, 20, 51findcard2 7811 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5352imp 431 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   [_csb 3363    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U_ciun 4278   dom cdm 4834   Fincfn 7569   volcvol 22415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-xmet 18963  df-met 18964  df-ovol 22416  df-vol 22418
This theorem is referenced by:  volfiniun  22500  iunmbl  22506  volsup  22509  iunmbl2  22510  uniioovol  22536  uniioombllem4  22544  uniioombllem5  22545  dyadmbl  22558  i1fima  22636  i1fd  22639  i1fadd  22653  i1fmul  22654  volfiniune  29053  volsupnfl  31985  itg2addnclem2  31994  ftc1anclem6  32022
  Copyright terms: Public domain W3C validator