MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finiunmbl Structured version   Unicode version

Theorem finiunmbl 21023
Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
finiunmbl  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem finiunmbl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2915 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
)
2 iuneq1 4182 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
32eleq1d 2507 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
)
41, 3imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  (/)  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
) )
5 raleq 2915 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol ) )
6 iuneq1 4182 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  x  B )
76eleq1d 2507 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol ) )
85, 7imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )
) )
9 raleq 2915 . . . 4  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
10 iuneq1 4182 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B )
1110eleq1d 2507 . . . 4  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
129, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol )  <->  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) ) )
13 raleq 2915 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
14 iuneq1 4182 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  U_ k  e.  y  B  =  U_ k  e.  A  B
)
1514eleq1d 2507 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
1613, 15imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( A. k  e.  y  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol ) 
<->  ( A. k  e.  A  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
) )
17 0iun 4225 . . . . 5  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
18 0mbl 21019 . . . . 5  |-  (/)  e.  dom  vol
1917, 18eqeltri 2511 . . . 4  |-  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol
2019a1i 11 . . 3  |-  ( A. k  e.  (/)  B  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  (/)  B  e.  dom  vol )
21 ssun1 3517 . . . . . . 7  |-  x  C_  ( x  u.  { z } )
22 ssralv 3414 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  ( x  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol )
)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  x  B  e.  dom  vol )
2423imim1i 58 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )
)
25 ssun2 3518 . . . . . . 7  |-  { z }  C_  ( x  u.  { z } )
26 ssralv 3414 . . . . . . 7  |-  ( { z }  C_  (
x  u.  { z } )  ->  ( A. k  e.  (
x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol  ->  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  {
z } B  e. 
dom  vol )
28 iunxun 4250 . . . . . . . 8  |-  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  =  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  { z } B )
29 vex 2973 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
30 csbeq1 3289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  [_ x  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
3130eleq1d 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
)
3229, 31ralsn 3913 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { z } [_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
33 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  B  e.  dom  vol
34 nfcsb1v 3302 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ B
3534nfel1 2587 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ B  e.  dom  vol
36 csbeq1a 3295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  k ]_ B )
3736eleq1d 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ x  / 
k ]_ B  e.  dom  vol ) )
3833, 35, 37cbvral 2941 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  A. x  e.  { z } [_ x  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
39 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x B
4039, 34, 36cbviun 4205 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  { z } B  =  U_ x  e.  {
z } [_ x  /  k ]_ B
4129, 30iunxsn 4248 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  { z } [_ x  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
4240, 41eqtri 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ k  e.  { z } B  =  [_ z  /  k ]_ B
4342eleq1i 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol )
4432, 38, 433bitr4i 277 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol  <->  U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol )
45 unmbl 21017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  U_ k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  {
z } B )  e.  dom  vol )
4644, 45sylan2b 475 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  ( U_ k  e.  x  B  u.  U_ k  e.  {
z } B )  e.  dom  vol )
4728, 46syl5eqel 2525 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol  /\  A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol )
4847expcom 435 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  { z } B  e.  dom  vol 
->  ( U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
4927, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol  ->  ( U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol ) )
5024, 49sylcom 29 . . . 4  |-  ( ( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol ) )
5150a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  x  B  e.  dom  vol 
->  U_ k  e.  x  B  e.  dom  vol )  ->  ( A. k  e.  ( x  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  ( x  u.  { z } ) B  e.  dom  vol ) ) )
524, 8, 12, 16, 20, 51findcard2 7550 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol ) )
5352imp 429 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  A  B  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   [_csb 3286    u. cun 3324    C_ wss 3326   (/)c0 3635   {csn 3875   U_ciun 4169   dom cdm 4838   Fincfn 7308   volcvol 20945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xadd 11088  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-xmet 17808  df-met 17809  df-ovol 20946  df-vol 20947
This theorem is referenced by:  volfiniun  21026  iunmbl  21032  volsup  21035  iunmbl2  21036  uniioovol  21057  uniioombllem4  21064  uniioombllem5  21065  dyadmbl  21078  i1fima  21154  i1fd  21157  i1fadd  21171  i1fmul  21172  volfiniune  26644  volsupnfl  28433  itg2addnclem2  28441  ftc1anclem6  28469
  Copyright terms: Public domain W3C validator