MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqv Structured version   Unicode version

Theorem fineqv 7527
Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqv  |-  ( -. 
om  e.  _V  <->  Fin  =  _V )

Proof of Theorem fineqv
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssv 3375 . . . 4  |-  Fin  C_  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  Fin  C_  _V )
3 vex 2974 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
4 fineqvlem 7526 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  _V  /\  -.  a  e.  Fin )  ->  om  ~<_  ~P ~P a )
53, 4mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( -.  a  e.  Fin  ->  om  ~<_  ~P ~P a )
6 reldom 7315 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
76brrelexi 4878 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  ~P ~P a  ->  om  e.  _V )
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( -.  a  e.  Fin  ->  om  e.  _V )
98con1i 129 . . . . 5  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  a  e.  Fin )
109a1d 25 . . . 4  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  ( a  e.  _V  ->  a  e.  Fin ) )
1110ssrdv 3361 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  _V  C_  Fin )
122, 11eqssd 3372 . 2  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  Fin  =  _V )
13 ominf 7524 . . 3  |-  -.  om  e.  Fin
14 eleq2 2503 . . 3  |-  ( Fin  =  _V  ->  ( om  e.  Fin  <->  om  e.  _V ) )
1513, 14mtbii 302 . 2  |-  ( Fin  =  _V  ->  -.  om  e.  _V )
1612, 15impbii 188 1  |-  ( -. 
om  e.  _V  <->  Fin  =  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   ~Pcpw 3859   class class class wbr 4291   omcom 6475    ~<_ cdom 7307   Fincfn 7309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-om 6476  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313
This theorem is referenced by:  npomex  9164
  Copyright terms: Public domain W3C validator