MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqv Structured version   Unicode version

Theorem fineqv 7735
Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqv  |-  ( -. 
om  e.  _V  <->  Fin  =  _V )

Proof of Theorem fineqv
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssv 3524 . . . 4  |-  Fin  C_  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  Fin  C_  _V )
3 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
4 fineqvlem 7734 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  _V  /\  -.  a  e.  Fin )  ->  om  ~<_  ~P ~P a )
53, 4mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( -.  a  e.  Fin  ->  om  ~<_  ~P ~P a )
6 reldom 7522 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
76brrelexi 5040 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  ~P ~P a  ->  om  e.  _V )
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( -.  a  e.  Fin  ->  om  e.  _V )
98con1i 129 . . . . 5  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  a  e.  Fin )
109a1d 25 . . . 4  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  ( a  e.  _V  ->  a  e.  Fin ) )
1110ssrdv 3510 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  _V  C_  Fin )
122, 11eqssd 3521 . 2  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  Fin  =  _V )
13 ominf 7732 . . 3  |-  -.  om  e.  Fin
14 eleq2 2540 . . 3  |-  ( Fin  =  _V  ->  ( om  e.  Fin  <->  om  e.  _V ) )
1513, 14mtbii 302 . 2  |-  ( Fin  =  _V  ->  -.  om  e.  _V )
1612, 15impbii 188 1  |-  ( -. 
om  e.  _V  <->  Fin  =  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   omcom 6684    ~<_ cdom 7514   Fincfn 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520
This theorem is referenced by:  npomex  9374
  Copyright terms: Public domain W3C validator