MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fineqv Structured version   Unicode version

Theorem fineqv 7793
Description: If the Axiom of Infinity is denied, then all sets are finite (which implies the Axiom of Choice). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
fineqv  |-  ( -. 
om  e.  _V  <->  Fin  =  _V )

Proof of Theorem fineqv
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssv 3490 . . . 4  |-  Fin  C_  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  Fin  C_  _V )
3 vex 3090 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
4 fineqvlem 7792 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  _V  /\  -.  a  e.  Fin )  ->  om  ~<_  ~P ~P a )
53, 4mpan 674 . . . . . . 7  |-  ( -.  a  e.  Fin  ->  om  ~<_  ~P ~P a )
6 reldom 7583 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
76brrelexi 4895 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  ~P ~P a  ->  om  e.  _V )
85, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( -.  a  e.  Fin  ->  om  e.  _V )
98con1i 132 . . . . 5  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  a  e.  Fin )
109a1d 26 . . . 4  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  ( a  e.  _V  ->  a  e.  Fin ) )
1110ssrdv 3476 . . 3  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  _V  C_  Fin )
122, 11eqssd 3487 . 2  |-  ( -. 
om  e.  _V  ->  Fin  =  _V )
13 ominf 7790 . . 3  |-  -.  om  e.  Fin
14 eleq2 2502 . . 3  |-  ( Fin  =  _V  ->  ( om  e.  Fin  <->  om  e.  _V ) )
1513, 14mtbii 303 . 2  |-  ( Fin  =  _V  ->  -.  om  e.  _V )
1612, 15impbii 190 1  |-  ( -. 
om  e.  _V  <->  Fin  =  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   class class class wbr 4426   omcom 6706    ~<_ cdom 7575   Fincfn 7577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581
This theorem is referenced by:  npomex  9420
  Copyright terms: Public domain W3C validator