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Theorem findsg 6710
Description: Principle of Finite Induction (inference schema), using implicit substitutions. The first four hypotheses establish the substitutions we need. The last two are the basis and the induction step. The basis of this version is an arbitrary natural number  B instead of zero. (Contributed by NM, 16-Sep-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
findsg.1  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
findsg.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
findsg.3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
findsg.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
findsg.5  |-  ( B  e.  om  ->  ps )
findsg.6  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
findsg  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  A )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem findsg
StepHypRef Expression
1 sseq2 3463 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B 
C_  x  <->  B  C_  (/) ) )
21adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  (/) ) )
3 eqeq2 2417 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  (/)  ->  ( x  =  B  <->  x  =  (/) ) )
4 findsg.1 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
53, 4syl6bir 229 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )
65imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
72, 6imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( ( B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  ->  (
( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) )
81imbi1d 315 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/) 
->  ph ) ) )
9 ss0 3769 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  (/)  ->  B  =  (/) )
109con3i 135 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  =  (/)  ->  -.  B  C_  (/) )
1110pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  =  (/)  ->  ( B  C_  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) ) )
1211pm5.74d 247 . . . . . 6  |-  ( -.  B  =  (/)  ->  (
( B  C_  (/)  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) )
138, 12sylan9bbr 699 . . . . 5  |-  ( ( -.  B  =  (/)  /\  x  =  (/) )  -> 
( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) )
147, 13pm2.61ian 791 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  (/) 
->  ps ) ) )
1514imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  e.  om  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <->  ( B  e.  om  ->  ( B  C_  (/)  ->  ps ) ) ) )
16 sseq2 3463 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  y
) )
17 findsg.2 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
1816, 17imbi12d 318 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  y  ->  ch )
) )
1918imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  e.  om  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <->  ( B  e.  om  ->  ( B  C_  y  ->  ch )
) ) )
20 sseq2 3463 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  C_  x  <->  B 
C_  suc  y )
)
21 findsg.3 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  <->  th ) )
2220, 21imbi12d 318 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_ 
suc  y  ->  th )
) )
2322imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( B  e. 
om  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <->  ( B  e.  om  ->  ( B  C_ 
suc  y  ->  th )
) ) )
24 sseq2 3463 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( B  C_  x  <->  B  C_  A
) )
25 findsg.4 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2624, 25imbi12d 318 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  C_  x  ->  ph )  <->  ( B  C_  A  ->  ta )
) )
2726imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  om  ->  ( B  C_  x  ->  ph ) )  <->  ( B  e.  om  ->  ( B  C_  A  ->  ta )
) ) )
28 findsg.5 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ps )
2928a1d 25 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  C_  (/)  ->  ps )
)
30 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
3130sucex 6628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  y  e.  _V
3231eqvinc 3175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  =  B  <->  E. x
( x  =  suc  y  /\  x  =  B ) )
3328, 4syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  ( B  e.  om  ->  ph ) )
3421biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ph  ->  th )
)
3533, 34sylan9r 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  x  =  B
)  ->  ( B  e.  om  ->  th )
)
3635exlimiv 1743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x ( x  =  suc  y  /\  x  =  B )  ->  ( B  e.  om  ->  th ) )
3732, 36sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  y  =  B  -> 
( B  e.  om  ->  th ) )
3837eqcoms 2414 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  suc  y  -> 
( B  e.  om  ->  th ) )
3938imim2i 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  ( B  e.  om  ->  th )
) )
4039a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  ( ( B 
C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  ( B  e.  om  ->  th )
) ) )
4140com4r 86 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  (
( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  (
( B  C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
4241adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  -> 
( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
43 df-ne 2600 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =/=  suc  y  <->  -.  B  =  suc  y )
4443anbi2i 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )  <->  ( B  C_  suc  y  /\  -.  B  =  suc  y ) )
45 annim 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  suc  y  /\  -.  B  =  suc  y )  <->  -.  ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y ) )
4644, 45bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )  <->  -.  ( B  C_  suc  y  ->  B  =  suc  y ) )
47 nnon 6688 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
48 nnon 6688 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  On )
49 onsssuc 5496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  C_  y  <->  B  e.  suc  y ) )
50 suceloni 6630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  On  ->  suc  y  e.  On )
51 onelpss 5449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  suc  y  e.  On )  ->  ( B  e. 
suc  y  <->  ( B  C_ 
suc  y  /\  B  =/=  suc  y ) ) )
5250, 51sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  e.  suc  y 
<->  ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y ) ) )
5349, 52bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( B  C_  y  <->  ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )
) )
5447, 48, 53syl2anr 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  C_  y  <->  ( B  C_  suc  y  /\  B  =/=  suc  y )
) )
55 findsg.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )
5655ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  C_  y  ->  ( ch  ->  th )
) )
57 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( th 
->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) )
5856, 57syl8 69 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  C_  y  ->  ( ch  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
5958a2d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  y  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
6059com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  C_  y  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
6154, 60sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  C_  suc  y  /\  B  =/= 
suc  y )  -> 
( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
6246, 61syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  ( B 
C_  suc  y  ->  B  =  suc  y )  ->  ( ( B 
C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th )
) ) )
6342, 62pm2.61d 158 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  -> 
( B  C_  suc  y  ->  th ) ) )
6463ex 432 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( B  C_  y  ->  ch )  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
6564a2d 26 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( B  e.  om  ->  ( B  C_  y  ->  ch ) )  -> 
( B  e.  om  ->  ( B  C_  suc  y  ->  th ) ) ) )
6615, 19, 23, 27, 29, 65finds 6709 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( B  C_  A  ->  ta ) ) )
6766imp31 430 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  A )  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598    C_ wss 3413   (/)c0 3737   Oncon0 5409   suc csuc 5411   omcom 6682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-om 6683
This theorem is referenced by:  nnaordi  7303  inf3lem5  8081  ackbij2lem4  8653  sornom  8688  fin23lem15  8745  fin23lem36  8759  isf32lem1  8764  isf32lem2  8765  wunex2  9145  indpi  9314
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