Theorem findreccl 14254

Description: Please add description here.

Hypothesis

Ref	Expression
findreccl.1	|- (z e. P -> (G` z) e. P)

Assertion

Ref	Expression
findreccl	|- (C e. om -> (A e. P -> (rec(G, A)` C) e. P))

Distinct variable groups:   z,G   z,A   z,P

Proof of Theorem findreccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdg0g 5152	. . 3 |- (A e. P -> (rec(G, A)` (/)) = A)
2		eleq1a 1966	. . 3 |- (A e. P -> ((rec(G, A)` (/)) = A -> (rec(G, A)` (/)) e. P))
3	1, 2	mpd 29	. 2 |- (A e. P -> (rec(G, A)` (/)) e. P)
4		nnon 3957	. . . 4 |- (y e. om -> y e. On)
5		rdgsuc 5153	. . . . . 6 |- (y e. On -> (rec(G, A)` suc y) = (G` (rec(G, A)` y)))
6	5	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (y e. On -> ((rec(G, A)` suc y) e. P <-> (G` (rec(G, A)` y)) e. P))
7		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (z = (rec(G, A)` y) -> (G` z) = (G` (rec(G, A)` y)))
8	7	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (z = (rec(G, A)` y) -> ((G` z) e. P <-> (G` (rec(G, A)` y)) e. P))
9		findreccl.1	. . . . . 6 |- (z e. P -> (G` z) e. P)
10	8, 9	vtoclga 2352	. . . . 5 |- ((rec(G, A)` y) e. P -> (G` (rec(G, A)` y)) e. P)
11	6, 10	syl5bir 227	. . . 4 |- (y e. On -> ((rec(G, A)` y) e. P -> (rec(G, A)` suc y) e. P))
12	4, 11	syl 12	. . 3 |- (y e. om -> ((rec(G, A)` y) e. P -> (rec(G, A)` suc y) e. P))
13	12	a1d 15	. 2 |- (y e. om -> (A e. P -> ((rec(G, A)` y) e. P -> (rec(G, A)` suc y) e. P)))
14	3, 13	findfvcl 14253	1 |- (C e. om -> (A e. P -> (rec(G, A)` C) e. P))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949  ` cfv 3998  reccrdg 5139

This theorem is referenced by:  findabrcl 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain