MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  findcard2s Structured version   Unicode version

Theorem findcard2s 7765
Description: Variation of findcard2 7764 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2s.1  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
findcard2s.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
findcard2s.3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
findcard2s.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
findcard2s.5  |-  ps
findcard2s.6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
findcard2s  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ch, x    ph, y,
z    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)    ch( y, z)    th( y, z)    ta( y,
z)

Proof of Theorem findcard2s
StepHypRef Expression
1 findcard2s.1 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
2 findcard2s.2 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3 findcard2s.3 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
4 findcard2s.4 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5 findcard2s.5 . 2  |-  ps
6 findcard2s.6 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
76ex 435 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( -.  z  e.  y  ->  ( ch  ->  th )
) )
8 uncom 3553 . . . . . . 7  |-  ( { z }  u.  y
)  =  ( y  u.  { z } )
9 snssi 4087 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  y  ->  { z }  C_  y )
10 ssequn1 3579 . . . . . . . 8  |-  ( { z }  C_  y  <->  ( { z }  u.  y )  =  y )
119, 10sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  y  ->  ( { z }  u.  y )  =  y )
128, 11syl5reqr 2477 . . . . . 6  |-  ( z  e.  y  ->  y  =  ( y  u. 
{ z } ) )
13 vex 3025 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1413eqvinc 3141 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( y  u. 
{ z } )  <->  E. x ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  {
z } ) ) )
1512, 14sylib 199 . . . . 5  |-  ( z  e.  y  ->  E. x
( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  { z } ) ) )
162bicomd 204 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
1716, 3sylan9bb 704 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( ch  <->  th ) )
1817exlimiv 1770 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( ch  <->  th )
)
1915, 18syl 17 . . . 4  |-  ( z  e.  y  ->  ( ch 
<->  th ) )
2019biimpd 210 . . 3  |-  ( z  e.  y  ->  ( ch  ->  th ) )
217, 20pm2.61d2 163 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( ch  ->  th ) )
221, 2, 3, 4, 5, 21findcard2 7764 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    u. cun 3377    C_ wss 3379   (/)c0 3704   {csn 3941   Fincfn 7524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-om 6651  df-1o 7137  df-er 7318  df-en 7525  df-fin 7528
This theorem is referenced by:  findcard2d  7766  ac6sfi  7768  domunfican  7797  fodomfi  7803  hashxplem  12553  hashmap  12555  hashbc  12564  hashf1lem2  12567  hashf1  12568  fsum2d  13775  fsumabs  13804  fsumrlim  13814  fsumo1  13815  fsumiun  13824  incexclem  13837  fprod2d  13978  coprmprod  14621  coprmproddvds  14623  gsum2dlem2  17546  ablfac1eulem  17648  mplcoe1  18632  mplcoe5  18635  coe1fzgsumd  18839  evl1gsumd  18888  mdetunilem9  19587  ptcmpfi  20770  tmdgsum  21052  fsumcn  21844  ovolfiniun  22396  volfiniun  22442  itgfsum  22726  dvmptfsum  22869  jensen  23856  gsumle  28493  gsumvsca1  28497  gsumvsca2  28498  finixpnum  31837  pwslnm  35865  fnchoice  37266  dvmptfprod  37703
  Copyright terms: Public domain W3C validator