MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  findcard2s Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem findcard2s 7838
Description: Variation of findcard2 7837 requiring that the element added in the induction step not be a member of the original set. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2s.1  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
findcard2s.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
findcard2s.3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
findcard2s.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
findcard2s.5  |-  ps
findcard2s.6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
findcard2s  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ch, x    ph, y,
z    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)    ch( y, z)    th( y, z)    ta( y,
z)

Proof of Theorem findcard2s
StepHypRef Expression
1 findcard2s.1 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
2 findcard2s.2 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3 findcard2s.3 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
4 findcard2s.4 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5 findcard2s.5 . 2  |-  ps
6 findcard2s.6 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
76ex 440 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( -.  z  e.  y  ->  ( ch  ->  th )
) )
8 uncom 3590 . . . . . . 7  |-  ( { z }  u.  y
)  =  ( y  u.  { z } )
9 snssi 4129 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  y  ->  { z }  C_  y )
10 ssequn1 3616 . . . . . . . 8  |-  ( { z }  C_  y  <->  ( { z }  u.  y )  =  y )
119, 10sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  y  ->  ( { z }  u.  y )  =  y )
128, 11syl5reqr 2511 . . . . . 6  |-  ( z  e.  y  ->  y  =  ( y  u. 
{ z } ) )
13 vex 3060 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1413eqvinc 3178 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( y  u. 
{ z } )  <->  E. x ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  {
z } ) ) )
1512, 14sylib 201 . . . . 5  |-  ( z  e.  y  ->  E. x
( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  { z } ) ) )
162bicomd 206 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( ch 
<-> 
ph ) )
1716, 3sylan9bb 711 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( ch  <->  th ) )
1817exlimiv 1787 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  =  y  /\  x  =  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( ch  <->  th )
)
1915, 18syl 17 . . . 4  |-  ( z  e.  y  ->  ( ch 
<->  th ) )
2019biimpd 212 . . 3  |-  ( z  e.  y  ->  ( ch  ->  th ) )
217, 20pm2.61d2 165 . 2  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( ch  ->  th ) )
221, 2, 3, 4, 5, 21findcard2 7837 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898    u. cun 3414    C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   Fincfn 7595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6720  df-1o 7208  df-er 7389  df-en 7596  df-fin 7599
This theorem is referenced by:  findcard2d  7839  ac6sfi  7841  domunfican  7870  fodomfi  7876  hashxplem  12638  hashmap  12640  hashbc  12649  hashf1lem2  12652  hashf1  12653  fsum2d  13881  fsumabs  13910  fsumrlim  13920  fsumo1  13921  fsumiun  13930  incexclem  13943  fprod2d  14084  coprmprod  14727  coprmproddvds  14729  gsum2dlem2  17652  ablfac1eulem  17754  mplcoe1  18738  mplcoe5  18741  coe1fzgsumd  18945  evl1gsumd  18994  mdetunilem9  19694  ptcmpfi  20877  tmdgsum  21159  fsumcn  21951  ovolfiniun  22503  volfiniun  22549  itgfsum  22833  dvmptfsum  22976  jensen  23963  gsumle  28591  gsumvsca1  28594  gsumvsca2  28595  finixpnum  31975  pwslnm  35997  fnchoice  37390  dvmptfprod  37858
  Copyright terms: Public domain W3C validator