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Theorem findcard2d 7559
Description: Deduction version of findcard2 7557. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2d.ch  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ps  <->  ch ) )
findcard2d.th  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  th ) )
findcard2d.ta  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ps  <->  ta )
)
findcard2d.et  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
findcard2d.z  |-  ( ph  ->  ch )
findcard2d.i  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  -> 
( th  ->  ta ) )
findcard2d.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
findcard2d  |-  ( ph  ->  et )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ph, x, y, z    ps, y, z    ch, x    th, x    ta, x    et, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y, z)    th( y, z)    ta( y, z)    et( y,
z)

Proof of Theorem findcard2d
StepHypRef Expression
1 ssid 3380 . 2  |-  A  C_  A
2 findcard2d.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
32adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  A  e.  Fin )
4 sseq1 3382 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
54anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
6 findcard2d.ch . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ps  <->  ch ) )
75, 6imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps ) 
<->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  ->  ch ) ) )
8 sseq1 3382 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
98anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  C_  A )  <->  ( ph  /\  y  C_  A )
) )
10 findcard2d.th . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  th ) )
119, 10imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th ) ) )
12 sseq1 3382 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
1312anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  x  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
14 findcard2d.ta . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ps  <->  ta )
)
1513, 14imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  (
y  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ta )
) )
16 sseq1 3382 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  A  <->  A  C_  A
) )
1716anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ph  /\  x  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
18 findcard2d.et . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
1917, 18imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  et ) ) )
20 findcard2d.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  ch )
2120adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ch )
22 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  ph )
23 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
2423unssad 3538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
y  C_  A )
2522, 24jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ph  /\  y  C_  A ) )
26 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( y  u.  {
z } )  C_  A )
27 vex 2980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
2827snid 3910 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
{ z }
29 elun2 3529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
3028, 29mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
3126, 30sseldd 3362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  z  e.  A )
3231ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
33 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  y
)
3432, 33eldifd 3344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  y ) )
35 findcard2d.i . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y
) ) )  -> 
( th  ->  ta ) )
3622, 24, 34, 35syl12anc 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( th  ->  ta ) )
3725, 36embantd 54 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ta ) )
3837ex 434 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ta ) ) )
3938com23 78 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ( ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ta ) ) )
407, 11, 15, 19, 21, 39findcard2s 7558 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  et ) )
413, 40mpcom 36 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  et )
421, 41mpan2 671 1  |-  ( ph  ->  et )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3330    u. cun 3331    C_ wss 3333   (/)c0 3642   {csn 3882   Fincfn 7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-1o 6925  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319
This theorem is referenced by:  maducoeval2  18451  madugsum  18454
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