Theorem findcard2 7778

Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2.1	|- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
findcard2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
findcard2.3	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
findcard2.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
findcard2.5	|- ps
findcard2.6	|- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
findcard2	|- ( A e. Fin -> ta )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)

Proof of Theorem findcard2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2.4	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
2		isfi 7558	. . 3 |- ( x e. Fin <-> E. w e. om x ~~ w )
3		breq2 4460	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( x ~~ w <-> x ~~ (/) ) )
4	3	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
5	4	albidv 1714	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
6		breq2 4460	. . . . . . . 8 |- ( w = v -> ( x ~~ w <-> x ~~ v ) )
7	6	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( w = v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ v -> ph ) ) )
8	7	albidv 1714	. . . . . 6 |- ( w = v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ v -> ph ) ) )
9		breq2 4460	. . . . . . . 8 |- ( w = suc v -> ( x ~~ w <-> x ~~ suc v ) )
10	9	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( w = suc v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
11	10	albidv 1714	. . . . . 6 |- ( w = suc v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
12		en0 7597	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ (/) <-> x = (/) )
13		findcard2.5	. . . . . . . . 9 |- ps
14		findcard2.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
15	13, 14	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ph )
16	12, 15	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( x ~~ (/) -> ph )
17	16	ax-gen 1619	. . . . . 6 |- A. x ( x ~~ (/) -> ph )
18		nsuceq0 4967	. . . . . . . . . . . 12 |- suc v =/= (/)
19		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = (/) -> ( w ~~ suc v <-> (/) ~~ suc v ) )
20	19	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) <-> ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) ) )
21		peano1 6718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. om
22		peano2 6719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. om -> suc v e. om )
23		nneneq 7719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( (/) e. om /\ suc v e. om ) -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
24	21, 22, 23	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. om -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
25	24	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> (/) = suc v )
26	25	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> suc v = (/) )
27	20, 26	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v = (/) ) )
28	27	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w = (/) -> suc v = (/) ) )
29	28	necon3d 2681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( suc v =/= (/) -> w =/= (/) ) )
30	18, 29	mpi 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> w =/= (/) )
31	30	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> w =/= (/) ) )
32		n0 3803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w =/= (/) <-> E. z z e. w )
33		dif1en 7771	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v /\ z e. w ) -> ( w \ { z } ) ~~ v )
34	33	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( w \ { z } ) ~~ v ) )
35		snssi 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. w -> { z } C_ w )
36		uncom 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = ( { z } u. ( w \ { z } ) )
37		undif 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { z } C_ w <-> ( { z } u. ( w \ { z } ) ) = w )
38	37	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { z } C_ w -> ( { z } u. ( w \ { z } ) ) = w )
39	36, 38	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { z } C_ w -> ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w )
40		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. _V
41		difexg 4604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. _V -> ( w \ { z } ) e. _V )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w \ { z } ) e. _V
43		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y ~~ v <-> ( w \ { z } ) ~~ v ) )
44	43	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( v e. om /\ y ~~ v ) <-> ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) ) )
45		uneq1 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y u. { z } ) = ( ( w \ { z } ) u. { z } ) )
46	45	sbceq1d 3332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
47	46	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) )
48	44, 47	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) ) <-> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) ) )
49		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = y -> ( x ~~ v <-> y ~~ v ) )
50		findcard2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
51	49, 50	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> ( ( x ~~ v -> ph ) <-> ( y ~~ v -> ch ) ) )
52	51	spv 2012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( y ~~ v -> ch ) )
53		rspe 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> E. v e. om y ~~ v )
54		isfi 7558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. Fin <-> E. v e. om y ~~ v )
55	53, 54	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> y e. Fin )
56		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y ~~ v -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
57	56	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
58		findcard2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )
59	55, 57, 58	sylsyld 56	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> th ) )
60	52, 59	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> th ) )
61		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- y e. _V
62		snex 4697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { z } e. _V
63	61, 62	unex 6597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y u. { z } ) e. _V
64		findcard2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
65	63, 64	sbcie 3362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> th )
66	60, 65	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) )
67	42, 48, 66	vtocl 3161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
68		dfsbcq 3329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph <-> [. w / x ]. ph ) )
69	68	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
70	67, 69	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
71	35, 39, 70	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. w -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
72	71	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. w -> ( v e. om -> ( ( w \ { z } ) ~~ v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
73	72	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. om -> ( z e. w -> ( ( w \ { z } ) ~~ v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
74	73	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( ( w \ { z } ) ~~ v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
75	34, 74	mpdd 40	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
76	75	exlimdv 1725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( E. z z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
77	32, 76	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
78	77	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
79	31, 78	mpdd 40	. . . . . . . . 9 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
80	79	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
81	80	alrimdv 1722	. . . . . . 7 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
82		nfv 1708	. . . . . . . 8 |- F/ w ( x ~~ suc v -> ph )
83		nfv 1708	. . . . . . . . 9 |- F/ x w ~~ suc v
84		nfsbc1v 3347	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. w / x ]. ph
85	83, 84	nfim 1921	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph )
86		breq1 4459	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ~~ suc v <-> w ~~ suc v ) )
87		sbceq1a 3338	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ph <-> [. w / x ]. ph ) )
88	86, 87	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ~~ suc v -> ph ) <-> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
89	82, 85, 88	cbval 2022	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x ~~ suc v -> ph ) <-> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) )
90	81, 89	syl6ibr 227	. . . . . 6 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
91	5, 8, 11, 17, 90	finds1 6728	. . . . 5 |- ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) )
92	91	19.21bi 1870	. . . 4 |- ( w e. om -> ( x ~~ w -> ph ) )
93	92	rexlimiv 2943	. . 3 |- ( E. w e. om x ~~ w -> ph )
94	2, 93	sylbi 195	. 2 |- ( x e. Fin -> ph )
95	1, 94	vtoclga 3173	1 |- ( A e. Fin -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   [.wsbc 3327   \ cdif 3468   u. cun 3469   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456   suc csuc 4889   omcom 6699   ~~ cen 7532   Fincfn 7535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539

This theorem is referenced by:  findcard2s  7779  frfi  7783  fnfi  7816  iunfi  7826  finsschain  7845  infdiffi  8091  fin1a2lem10  8806  wunfi  9116  rexfiuz  13192  modfsummod  13620  drsdirfi  15694  fiuncmp  20031  finiunmbl  22080  mbfresfi  30245  heibor1lem  30489  pclfinclN  35796