Theorem findcard2 7540

Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2.1	|- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
findcard2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
findcard2.3	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
findcard2.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
findcard2.5	|- ps
findcard2.6	|- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
findcard2	|- ( A e. Fin -> ta )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)

Proof of Theorem findcard2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2.4	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
2		isfi 7321	. . 3 |- ( x e. Fin <-> E. w e. om x ~~ w )
3		breq2 4284	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( x ~~ w <-> x ~~ (/) ) )
4	3	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
5	4	albidv 1678	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
6		breq2 4284	. . . . . . . 8 |- ( w = v -> ( x ~~ w <-> x ~~ v ) )
7	6	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( w = v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ v -> ph ) ) )
8	7	albidv 1678	. . . . . 6 |- ( w = v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ v -> ph ) ) )
9		breq2 4284	. . . . . . . 8 |- ( w = suc v -> ( x ~~ w <-> x ~~ suc v ) )
10	9	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( w = suc v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
11	10	albidv 1678	. . . . . 6 |- ( w = suc v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
12		en0 7360	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ (/) <-> x = (/) )
13		findcard2.5	. . . . . . . . 9 |- ps
14		findcard2.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
15	13, 14	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ph )
16	12, 15	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( x ~~ (/) -> ph )
17	16	ax-gen 1594	. . . . . 6 |- A. x ( x ~~ (/) -> ph )
18		nsuceq0 4786	. . . . . . . . . . . 12 |- suc v =/= (/)
19		breq1 4283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = (/) -> ( w ~~ suc v <-> (/) ~~ suc v ) )
20	19	anbi2d 696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) <-> ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) ) )
21		peano1 6484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. om
22		peano2 6485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. om -> suc v e. om )
23		nneneq 7482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( (/) e. om /\ suc v e. om ) -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
24	21, 22, 23	sylancr 656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. om -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
25	24	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> (/) = suc v )
26	25	eqcomd 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> suc v = (/) )
27	20, 26	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v = (/) ) )
28	27	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w = (/) -> suc v = (/) ) )
29	28	necon3d 2636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( suc v =/= (/) -> w =/= (/) ) )
30	18, 29	mpi 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> w =/= (/) )
31	30	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> w =/= (/) ) )
32		n0 3634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w =/= (/) <-> E. z z e. w )
33		dif1en 7533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v /\ z e. w ) -> ( w \ { z } ) ~~ v )
34	33	3expia 1182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( w \ { z } ) ~~ v ) )
35		snssi 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. w -> { z } C_ w )
36		uncom 3488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = ( { z } u. ( w \ { z } ) )
37		undif 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { z } C_ w <-> ( { z } u. ( w \ { z } ) ) = w )
38	37	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { z } C_ w -> ( { z } u. ( w \ { z } ) ) = w )
39	36, 38	syl5eq 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { z } C_ w -> ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w )
40		vex 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. _V
41		difexg 4428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. _V -> ( w \ { z } ) e. _V )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w \ { z } ) e. _V
43		breq1 4283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y ~~ v <-> ( w \ { z } ) ~~ v ) )
44	43	anbi2d 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( v e. om /\ y ~~ v ) <-> ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) ) )
45		uneq1 3491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y u. { z } ) = ( ( w \ { z } ) u. { z } ) )
46		dfsbcq 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y u. { z } ) = ( ( w \ { z } ) u. { z } ) -> ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
48	47	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) )
49	44, 48	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) ) <-> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) ) )
50		breq1 4283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = y -> ( x ~~ v <-> y ~~ v ) )
51		findcard2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
52	50, 51	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> ( ( x ~~ v -> ph ) <-> ( y ~~ v -> ch ) ) )
53	52	spv 1954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( y ~~ v -> ch ) )
54		rspe 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> E. v e. om y ~~ v )
55		isfi 7321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. Fin <-> E. v e. om y ~~ v )
56	54, 55	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> y e. Fin )
57		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y ~~ v -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
58	57	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
59		findcard2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )
60	56, 58, 59	sylsyld 56	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> th ) )
61	53, 60	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> th ) )
62		vex 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- y e. _V
63		snex 4521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { z } e. _V
64	62, 63	unex 6367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y u. { z } ) e. _V
65		findcard2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
66	64, 65	sbcie 3209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> th )
67	61, 66	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) )
68	42, 49, 67	vtocl 3013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
69		dfsbcq 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph <-> [. w / x ]. ph ) )
70	69	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
71	68, 70	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
72	35, 39, 71	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. w -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
73	72	exp3a 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. w -> ( v e. om -> ( ( w \ { z } ) ~~ v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
74	73	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. om -> ( z e. w -> ( ( w \ { z } ) ~~ v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
75	74	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( ( w \ { z } ) ~~ v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
76	34, 75	mpdd 40	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
77	76	exlimdv 1689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( E. z z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
78	32, 77	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
79	78	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
80	31, 79	mpdd 40	. . . . . . . . 9 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
81	80	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
82	81	alrimdv 1686	. . . . . . 7 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
83		nfv 1672	. . . . . . . 8 |- F/ w ( x ~~ suc v -> ph )
84		nfv 1672	. . . . . . . . 9 |- F/ x w ~~ suc v
85		nfsbc1v 3194	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. w / x ]. ph
86	84, 85	nfim 1851	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph )
87		breq1 4283	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ~~ suc v <-> w ~~ suc v ) )
88		sbceq1a 3185	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ph <-> [. w / x ]. ph ) )
89	87, 88	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ~~ suc v -> ph ) <-> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
90	83, 86, 89	cbval 1968	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x ~~ suc v -> ph ) <-> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) )
91	82, 90	syl6ibr 227	. . . . . 6 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
92	5, 8, 11, 17, 91	finds1 6494	. . . . 5 |- ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) )
93	92	19.21bi 1803	. . . 4 |- ( w e. om -> ( x ~~ w -> ph ) )
94	93	rexlimiv 2825	. . 3 |- ( E. w e. om x ~~ w -> ph )
95	2, 94	sylbi 195	. 2 |- ( x e. Fin -> ph )
96	1, 95	vtoclga 3025	1 |- ( A e. Fin -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1360   = wceq 1362   E.wex 1589   e. wcel 1755   =/= wne 2596   E.wrex 2706   _Vcvv 2962   [.wsbc 3175   \ cdif 3313   u. cun 3314   C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   class class class wbr 4280   suc csuc 4708   omcom 6465   ~~ cen 7295   Fincfn 7298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-om 6466  df-1o 6908  df-er 7089  df-en 7299  df-fin 7302

This theorem is referenced by:  findcard2s  7541  frfi  7545  fnfi  7577  iunfi  7587  finsschain  7606  infdiffi  7851  fin1a2lem10  8566  wunfi  8875  rexfiuz  12818  drsdirfi  15090  fiuncmp  18848  finiunmbl  20866  mbfresfi  28279  heibor1lem  28549  modfsummod  30088  pclfinclN  33164