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Theorem findcard2 7829
Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2.1  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
findcard2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
findcard2.3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
findcard2.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
findcard2.5  |-  ps
findcard2.6  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
findcard2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)    ch( y, z)    th( y, z)    ta( y,
z)

Proof of Theorem findcard2
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 findcard2.4 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2 isfi 7611 . . 3  |-  ( x  e.  Fin  <->  E. w  e.  om  x  ~~  w
)
3 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x 
~~  w  <->  x  ~~  (/) ) )
43imbi1d 324 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( x  ~~  (/) 
->  ph ) ) )
54albidv 1775 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  A. x
( x  ~~  (/)  ->  ph )
) )
6 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  v  ->  (
x  ~~  w  <->  x  ~~  v ) )
76imbi1d 324 . . . . . . 7  |-  ( w  =  v  ->  (
( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( x  ~~  v  ->  ph )
) )
87albidv 1775 . . . . . 6  |-  ( w  =  v  ->  ( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  A. x
( x  ~~  v  ->  ph ) ) )
9 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  suc  v  -> 
( x  ~~  w  <->  x 
~~  suc  v )
)
109imbi1d 324 . . . . . . 7  |-  ( w  =  suc  v  -> 
( ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  ( x  ~~  suc  v  ->  ph )
) )
1110albidv 1775 . . . . . 6  |-  ( w  =  suc  v  -> 
( A. x ( x  ~~  w  ->  ph )  <->  A. x ( x 
~~  suc  v  ->  ph ) ) )
12 en0 7650 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~~  (/)  <->  x  =  (/) )
13 findcard2.5 . . . . . . . . 9  |-  ps
14 findcard2.1 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ph  <->  ps ) )
1513, 14mpbiri 241 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ph )
1612, 15sylbi 200 . . . . . . 7  |-  ( x 
~~  (/)  ->  ph )
1716ax-gen 1677 . . . . . 6  |-  A. x
( x  ~~  (/)  ->  ph )
18 nsuceq0 5510 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  v  =/=  (/)
19 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
~~  suc  v  <->  (/)  ~~  suc  v ) )
2019anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  <-> 
( v  e.  om  /\  (/)  ~~  suc  v ) ) )
21 peano1 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  om
22 peano2 6732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  om  ->  suc  v  e.  om )
23 nneneq 7773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  suc  v  e.  om )  ->  ( (/)  ~~  suc  v  <->  (/)  =  suc  v ) )
2421, 22, 23sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  om  ->  ( (/)  ~~  suc  v  <->  (/)  =  suc  v ) )
2524biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  om  /\  (/)  ~~  suc  v )  ->  (/)  =  suc  v )
2625eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  om  /\  (/)  ~~  suc  v )  ->  suc  v  =  (/) )
2720, 26syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  suc  v  =  (/) ) )
2827com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( w  =  (/)  ->  suc  v  =  (/) ) )
2928necon3d 2664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( suc  v  =/=  (/)  ->  w  =/=  (/) ) )
3018, 29mpi 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  w  =/=  (/) )
3130ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
w  ~~  suc  v  ->  w  =/=  (/) ) )
32 n0 3732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  w )
33 dif1en 7822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v  /\  z  e.  w )  ->  ( w  \  {
z } )  ~~  v )
34333expia 1233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( z  e.  w  ->  ( w  \  { z } ) 
~~  v ) )
35 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  w  ->  { z }  C_  w )
36 uncom 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( { z }  u.  ( w  \  { z } ) )
37 undif 3839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { z }  C_  w  <->  ( { z }  u.  ( w  \  { z } ) )  =  w )
3837biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { z }  C_  w  ->  ( { z }  u.  ( w  \  { z } ) )  =  w )
3936, 38syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { z }  C_  w  ->  ( ( w  \  { z } )  u.  { z } )  =  w )
40 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
41 difexg 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  \  { z } )  e.  _V )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w 
\  { z } )  e.  _V
43 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( y  ~~  v 
<->  ( w  \  {
z } )  ~~  v ) )
4443anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  <->  ( v  e.  om  /\  ( w 
\  { z } )  ~~  v ) ) )
45 uneq1 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( y  u. 
{ z } )  =  ( ( w 
\  { z } )  u.  { z } ) )
4645sbceq1d 3260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w 
\  { z } )  u.  { z } )  /  x ]. ph ) )
4746imbi2d 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph )  <->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )
) )
4844, 47imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( w  \  { z } )  ->  ( ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph ) )  <->  ( (
v  e.  om  /\  ( w  \  { z } )  ~~  v
)  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )
) ) )
49 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  y  ->  (
x  ~~  v  <->  y  ~~  v ) )
50 findcard2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5149, 50imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  ~~  v  ->  ph )  <->  ( y  ~~  v  ->  ch )
) )
5251spv 2117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  (
y  ~~  v  ->  ch ) )
53 rspe 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  ->  E. v  e.  om  y  ~~  v )
54 isfi 7611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  Fin  <->  E. v  e.  om  y  ~~  v
)
5553, 54sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
y  e.  Fin )
56 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y 
~~  v  ->  (
( y  ~~  v  ->  ch )  ->  ch ) )
5756adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( ( y  ~~  v  ->  ch )  ->  ch ) )
58 findcard2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( ch  ->  th ) )
5955, 57, 58sylsyld 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( ( y  ~~  v  ->  ch )  ->  th ) )
6052, 59syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  th )
)
61 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  y  e. 
_V
62 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { z }  e.  _V
6361, 62unex 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  u.  { z } )  e.  _V
64 findcard2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ph  <->  th )
)
6563, 64sbcie 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( [. ( y  u.  {
z } )  /  x ]. ph  <->  th )
6660, 65syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  om  /\  y  ~~  v )  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
y  u.  { z } )  /  x ]. ph ) )
6742, 48, 66vtocl 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  om  /\  ( w  \  { z } )  ~~  v
)  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )
)
68 dfsbcq 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  w  ->  ( [. ( ( w  \  { z } )  u.  { z } )  /  x ]. ph  <->  [. w  /  x ]. ph ) )
6968imbi2d 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  w  ->  (
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. (
( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  /  x ]. ph )  <->  ( A. x ( x 
~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
7067, 69syl5ib 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( w  \  {
z } )  u. 
{ z } )  =  w  ->  (
( v  e.  om  /\  ( w  \  {
z } )  ~~  v )  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7135, 39, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  w  ->  (
( v  e.  om  /\  ( w  \  {
z } )  ~~  v )  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7271expd 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  w  ->  (
v  e.  om  ->  ( ( w  \  {
z } )  ~~  v  ->  ( A. x
( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) ) )
7372com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  om  ->  (
z  e.  w  -> 
( ( w  \  { z } ) 
~~  v  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) ) )
7473adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( z  e.  w  ->  ( (
w  \  { z } )  ~~  v  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) ) )
7534, 74mpdd 40 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( z  e.  w  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7675exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( E. z 
z  e.  w  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7732, 76syl5bi 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  om  /\  w  ~~  suc  v )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  ( A. x
( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
7877ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
w  ~~  suc  v  -> 
( w  =/=  (/)  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) ) )
7931, 78mpdd 40 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  om  ->  (
w  ~~  suc  v  -> 
( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
8079com23 80 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  om  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  (
w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
8180alrimdv 1783 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  om  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  A. w
( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph ) ) )
82 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( x  ~~  suc  v  ->  ph )
83 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  w  ~~  suc  v
84 nfsbc1v 3275 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [. w  /  x ]. ph
8583, 84nfim 2023 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph )
86 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
x  ~~  suc  v  <->  w  ~~  suc  v ) )
87 sbceq1a 3266 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  ( ph 
<-> 
[. w  /  x ]. ph ) )
8886, 87imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( x  ~~  suc  v  ->  ph )  <->  ( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph )
) )
8982, 85, 88cbval 2127 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  ~~  suc  v  ->  ph )  <->  A. w ( w  ~~  suc  v  ->  [. w  /  x ]. ph )
)
9081, 89syl6ibr 235 . . . . . 6  |-  ( v  e.  om  ->  ( A. x ( x  ~~  v  ->  ph )  ->  A. x
( x  ~~  suc  v  ->  ph ) ) )
915, 8, 11, 17, 90finds1 6741 . . . . 5  |-  ( w  e.  om  ->  A. x
( x  ~~  w  ->  ph ) )
929119.21bi 1967 . . . 4  |-  ( w  e.  om  ->  (
x  ~~  w  ->  ph ) )
9392rexlimiv 2867 . . 3  |-  ( E. w  e.  om  x  ~~  w  ->  ph )
942, 93sylbi 200 . 2  |-  ( x  e.  Fin  ->  ph )
951, 94vtoclga 3099 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395   suc csuc 5432   omcom 6711    ~~ cen 7584   Fincfn 7587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591
This theorem is referenced by:  findcard2s  7830  frfi  7834  fnfi  7867  iunfi  7880  finsschain  7899  infdiffi  8181  fin1a2lem10  8857  wunfi  9164  rexfiuz  13487  modfsummod  13931  lcmfunsnlem  14693  lcmfun  14697  drsdirfi  16261  fiuncmp  20496  finiunmbl  22576  mbfresfi  32051  heibor1lem  32205  pclfinclN  33586
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