Theorem findcard2 7551

Description: Schema for induction on the cardinality of a finite set. The inductive step shows that the result is true if one more element is added to the set. The result is then proven to be true for all finite sets. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jul-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
findcard2.1	|- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
findcard2.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
findcard2.3	|- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
findcard2.4	|- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
findcard2.5	|- ps
findcard2.6	|- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
findcard2	|- ( A e. Fin -> ta )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   ch( y, z)   th( y, z)   ta( y, z)

Proof of Theorem findcard2

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		findcard2.4	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
2		isfi 7332	. . 3 |- ( x e. Fin <-> E. w e. om x ~~ w )
3		breq2 4295	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( x ~~ w <-> x ~~ (/) ) )
4	3	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
5	4	albidv 1679	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ (/) -> ph ) ) )
6		breq2 4295	. . . . . . . 8 |- ( w = v -> ( x ~~ w <-> x ~~ v ) )
7	6	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( w = v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ v -> ph ) ) )
8	7	albidv 1679	. . . . . 6 |- ( w = v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ v -> ph ) ) )
9		breq2 4295	. . . . . . . 8 |- ( w = suc v -> ( x ~~ w <-> x ~~ suc v ) )
10	9	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( w = suc v -> ( ( x ~~ w -> ph ) <-> ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
11	10	albidv 1679	. . . . . 6 |- ( w = suc v -> ( A. x ( x ~~ w -> ph ) <-> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
12		en0 7371	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ (/) <-> x = (/) )
13		findcard2.5	. . . . . . . . 9 |- ps
14		findcard2.1	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) )
15	13, 14	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ph )
16	12, 15	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( x ~~ (/) -> ph )
17	16	ax-gen 1591	. . . . . 6 |- A. x ( x ~~ (/) -> ph )
18		nsuceq0 4798	. . . . . . . . . . . 12 |- suc v =/= (/)
19		breq1 4294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = (/) -> ( w ~~ suc v <-> (/) ~~ suc v ) )
20	19	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) <-> ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) ) )
21		peano1 6494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. om
22		peano2 6495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. om -> suc v e. om )
23		nneneq 7493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( (/) e. om /\ suc v e. om ) -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
24	21, 22, 23	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. om -> ( (/) ~~ suc v <-> (/) = suc v ) )
25	24	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> (/) = suc v )
26	25	eqcomd 2447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. om /\ (/) ~~ suc v ) -> suc v = (/) )
27	20, 26	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = (/) -> ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> suc v = (/) ) )
28	27	com12 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w = (/) -> suc v = (/) ) )
29	28	necon3d 2645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( suc v =/= (/) -> w =/= (/) ) )
30	18, 29	mpi 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> w =/= (/) )
31	30	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> w =/= (/) ) )
32		n0 3645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w =/= (/) <-> E. z z e. w )
33		dif1en 7544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v /\ z e. w ) -> ( w \ { z } ) ~~ v )
34	33	3expia 1189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( w \ { z } ) ~~ v ) )
35		snssi 4016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. w -> { z } C_ w )
36		uncom 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = ( { z } u. ( w \ { z } ) )
37		undif 3758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { z } C_ w <-> ( { z } u. ( w \ { z } ) ) = w )
38	37	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { z } C_ w -> ( { z } u. ( w \ { z } ) ) = w )
39	36, 38	syl5eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { z } C_ w -> ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w )
40		vex 2974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. _V
41		difexg 4439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. _V -> ( w \ { z } ) e. _V )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w \ { z } ) e. _V
43		breq1 4294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y ~~ v <-> ( w \ { z } ) ~~ v ) )
44	43	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( v e. om /\ y ~~ v ) <-> ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) ) )
45		uneq1 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( y u. { z } ) = ( ( w \ { z } ) u. { z } ) )
46		dfsbcq 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y u. { z } ) = ( ( w \ { z } ) u. { z } ) -> ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
48	47	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) )
49	44, 48	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( w \ { z } ) -> ( ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) ) <-> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) ) ) )
50		breq1 4294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = y -> ( x ~~ v <-> y ~~ v ) )
51		findcard2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
52	50, 51	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> ( ( x ~~ v -> ph ) <-> ( y ~~ v -> ch ) ) )
53	52	spv 1955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( y ~~ v -> ch ) )
54		rspe 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> E. v e. om y ~~ v )
55		isfi 7332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. Fin <-> E. v e. om y ~~ v )
56	54, 55	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> y e. Fin )
57		pm2.27 39	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y ~~ v -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
58	57	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> ch ) )
59		findcard2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. Fin -> ( ch -> th ) )
60	56, 58, 59	sylsyld 56	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( ( y ~~ v -> ch ) -> th ) )
61	53, 60	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> th ) )
62		vex 2974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- y e. _V
63		snex 4532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { z } e. _V
64	62, 63	unex 6377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y u. { z } ) e. _V
65		findcard2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ph <-> th ) )
66	64, 65	sbcie 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( [. ( y u. { z } ) / x ]. ph <-> th )
67	61, 66	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v e. om /\ y ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( y u. { z } ) / x ]. ph ) )
68	42, 49, 67	vtocl 3023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) )
69		dfsbcq 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph <-> [. w / x ]. ph ) )
70	69	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. ( ( w \ { z } ) u. { z } ) / x ]. ph ) <-> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
71	68, 70	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( w \ { z } ) u. { z } ) = w -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
72	35, 39, 71	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. w -> ( ( v e. om /\ ( w \ { z } ) ~~ v ) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
73	72	expd 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. w -> ( v e. om -> ( ( w \ { z } ) ~~ v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
74	73	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. om -> ( z e. w -> ( ( w \ { z } ) ~~ v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
75	74	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( ( w \ { z } ) ~~ v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
76	34, 75	mpdd 40	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
77	76	exlimdv 1690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( E. z z e. w -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
78	32, 77	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. om /\ w ~~ suc v ) -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
79	78	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( w =/= (/) -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) ) )
80	31, 79	mpdd 40	. . . . . . . . 9 |- ( v e. om -> ( w ~~ suc v -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> [. w / x ]. ph ) ) )
81	80	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
82	81	alrimdv 1687	. . . . . . 7 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
83		nfv 1673	. . . . . . . 8 |- F/ w ( x ~~ suc v -> ph )
84		nfv 1673	. . . . . . . . 9 |- F/ x w ~~ suc v
85		nfsbc1v 3205	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. w / x ]. ph
86	84, 85	nfim 1853	. . . . . . . 8 |- F/ x ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph )
87		breq1 4294	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x ~~ suc v <-> w ~~ suc v ) )
88		sbceq1a 3196	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( ph <-> [. w / x ]. ph ) )
89	87, 88	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( ( x ~~ suc v -> ph ) <-> ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) ) )
90	83, 86, 89	cbval 1969	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x ~~ suc v -> ph ) <-> A. w ( w ~~ suc v -> [. w / x ]. ph ) )
91	82, 90	syl6ibr 227	. . . . . 6 |- ( v e. om -> ( A. x ( x ~~ v -> ph ) -> A. x ( x ~~ suc v -> ph ) ) )
92	5, 8, 11, 17, 91	finds1 6504	. . . . 5 |- ( w e. om -> A. x ( x ~~ w -> ph ) )
93	92	19.21bi 1804	. . . 4 |- ( w e. om -> ( x ~~ w -> ph ) )
94	93	rexlimiv 2834	. . 3 |- ( E. w e. om x ~~ w -> ph )
95	2, 94	sylbi 195	. 2 |- ( x e. Fin -> ph )
96	1, 95	vtoclga 3035	1 |- ( A e. Fin -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2605   E.wrex 2715   _Vcvv 2971   [.wsbc 3185   \ cdif 3324   u. cun 3325   C_ wss 3327   (/)c0 3636   {csn 3876   class class class wbr 4291   suc csuc 4720   omcom 6475   ~~ cen 7306   Fincfn 7309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-om 6476  df-1o 6919  df-er 7100  df-en 7310  df-fin 7313

This theorem is referenced by:  findcard2s  7552  frfi  7556  fnfi  7588  iunfi  7598  finsschain  7617  infdiffi  7862  fin1a2lem10  8577  wunfi  8887  rexfiuz  12834  drsdirfi  15107  fiuncmp  19006  finiunmbl  21024  mbfresfi  28436  heibor1lem  28706  modfsummod  30243  pclfinclN  33592