MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fincmp Structured version   Unicode version

Theorem fincmp 20339
Description: A finite topology is compact. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
fincmp  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Comp )

Proof of Theorem fincmp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3688 . . 3  |-  ( Top 
i^i  Fin )  C_  Top
21sseli 3466 . 2  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Top )
3 inss2 3689 . . . 4  |-  ( Top 
i^i  Fin )  C_  Fin
43sseli 3466 . . 3  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Fin )
5 vex 3090 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
65pwid 3999 . . . . 5  |-  y  e. 
~P y
7 selpw 3992 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P J  <->  y  C_  J )
8 ssfi 7798 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  C_  J )  -> 
y  e.  Fin )
97, 8sylan2b 477 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  e.  ~P J
)  ->  y  e.  Fin )
10 elin 3655 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P y  /\  y  e.  Fin ) )
11 unieq 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  U. z  =  U. y )
1211eqeq2d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( U. J  =  U. z 
<-> 
U. J  =  U. y ) )
1312rspcev 3188 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. y )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )
1413ex 435 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
1510, 14sylbir 216 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P y  /\  y  e.  Fin )  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z ) )
166, 9, 15sylancr 667 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fin  /\  y  e.  ~P J
)  ->  ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
1716ralrimiva 2846 . . 3  |-  ( J  e.  Fin  ->  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
184, 17syl 17 . 2  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) )
19 eqid 2429 . . 3  |-  U. J  =  U. J
2019iscmp 20334 . 2  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) ) )
212, 18, 20sylanbrc 668 1  |-  ( J  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  J  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222   Fincfn 7577   Topctop 19848   Compccmp 20332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-om 6707  df-er 7371  df-en 7578  df-fin 7581  df-cmp 20333
This theorem is referenced by:  0cmp  20340  discmp  20344  1stckgenlem  20499  ptcmpfi  20759  kelac2lem  35628
  Copyright terms: Public domain W3C validator