Theorem fin67 8856

Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin67	|- ( A e. FinVI -> A e. FinVII )

Proof of Theorem fin67

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin6 8761	. 2 |- ( A e. FinVI <-> ( A ~< 2o \/ A ~< ( A X. A ) ) )
2		2onn 7372	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		ssid 3463	. . . . . 6 |- 2o C_ 2o
4		ssnnfi 7822	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ 2o C_ 2o ) -> 2o e. Fin )
5	2, 3, 4	mp2an 683	. . . . 5 |- 2o e. Fin
6		sdomdom 7628	. . . . 5 |- ( A ~< 2o -> A ~<_ 2o )
7		domfi 7824	. . . . 5 |- ( ( 2o e. Fin /\ A ~<_ 2o ) -> A e. Fin )
8	5, 6, 7	sylancr 674	. . . 4 |- ( A ~< 2o -> A e. Fin )
9		fin17 8855	. . . 4 |- ( A e. Fin -> A e. FinVII )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( A ~< 2o -> A e. FinVII )
11		sdomnen 7629	. . . . 5 |- ( A ~< ( A X. A ) -> -. A ~~ ( A X. A ) )
12		eldifi 3567	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( On \ om ) -> b e. On )
13		ensym 7649	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ b -> b ~~ A )
14		isnumi 8411	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. On /\ b ~~ A ) -> A e. dom card )
15	12, 13, 14	syl2an 484	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> A e. dom card )
16		vex 3060	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
17		eldif 3426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( On \ om ) <-> ( b e. On /\ -. b e. om ) )
18		ordom 6733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Ord om
19		eloni 5456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. On -> Ord b )
20		ordtri1 5479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord om /\ Ord b ) -> ( om C_ b <-> -. b e. om ) )
21	18, 19, 20	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. On -> ( om C_ b <-> -. b e. om ) )
22	21	biimpar 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. On /\ -. b e. om ) -> om C_ b )
23	17, 22	sylbi 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( On \ om ) -> om C_ b )
24		ssdomg 7646	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. _V -> ( om C_ b -> om ~<_ b ) )
25	16, 23, 24	mpsyl 65	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( On \ om ) -> om ~<_ b )
26		domen2 7746	. . . . . . . . . 10 |- ( A ~~ b -> ( om ~<_ A <-> om ~<_ b ) )
27	25, 26	syl5ibr 229	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ b -> ( b e. ( On \ om ) -> om ~<_ A ) )
28	27	impcom 436	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> om ~<_ A )
29		infxpidm2 8479	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( A X. A ) ~~ A )
30	15, 28, 29	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> ( A X. A ) ~~ A )
31		ensym 7649	. . . . . . 7 |- ( ( A X. A ) ~~ A -> A ~~ ( A X. A ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> A ~~ ( A X. A ) )
33	32	rexlimiva 2887	. . . . 5 |- ( E. b e. ( On \ om ) A ~~ b -> A ~~ ( A X. A ) )
34	11, 33	nsyl 126	. . . 4 |- ( A ~< ( A X. A ) -> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b )
35		relsdom 7607	. . . . . 6 |- Rel ~<
36	35	brrelexi 4897	. . . . 5 |- ( A ~< ( A X. A ) -> A e. _V )
37		isfin7 8762	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. FinVII <-> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b ) )
38	36, 37	syl 17	. . . 4 |- ( A ~< ( A X. A ) -> ( A e. FinVII <-> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b ) )
39	34, 38	mpbird 240	. . 3 |- ( A ~< ( A X. A ) -> A e. FinVII )
40	10, 39	jaoi 385	. 2 |- ( ( A ~< 2o \/ A ~< ( A X. A ) ) -> A e. FinVII )
41	1, 40	sylbi 200	1 |- ( A e. FinVI -> A e. FinVII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   e. wcel 1898   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   C_ wss 3416   class class class wbr 4418   X. cxp 4854   dom cdm 4856   Ord word 5445   Oncon0 5446   omcom 6724   2oc2o 7207   ~~ cen 7597   ~<_ cdom 7598   ~< csdm 7599   Fincfn 7600   cardccrd 8400  Fin^VIcfin6 8744  Fin^VIIcfin7 8745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-oi 8056  df-card 8404  df-fin6 8751  df-fin7 8752

This theorem is referenced by:  fin2so  31978