Theorem fin67 8806

Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin67	|- ( A e. FinVI -> A e. FinVII )

Proof of Theorem fin67

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin6 8711	. 2 |- ( A e. FinVI <-> ( A ~< 2o \/ A ~< ( A X. A ) ) )
2		2onn 7325	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		ssid 3460	. . . . . 6 |- 2o C_ 2o
4		ssnnfi 7773	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ 2o C_ 2o ) -> 2o e. Fin )
5	2, 3, 4	mp2an 670	. . . . 5 |- 2o e. Fin
6		sdomdom 7580	. . . . 5 |- ( A ~< 2o -> A ~<_ 2o )
7		domfi 7775	. . . . 5 |- ( ( 2o e. Fin /\ A ~<_ 2o ) -> A e. Fin )
8	5, 6, 7	sylancr 661	. . . 4 |- ( A ~< 2o -> A e. Fin )
9		fin17 8805	. . . 4 |- ( A e. Fin -> A e. FinVII )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( A ~< 2o -> A e. FinVII )
11		sdomnen 7581	. . . . 5 |- ( A ~< ( A X. A ) -> -. A ~~ ( A X. A ) )
12		eldifi 3564	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( On \ om ) -> b e. On )
13		ensym 7601	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ b -> b ~~ A )
14		isnumi 8358	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. On /\ b ~~ A ) -> A e. dom card )
15	12, 13, 14	syl2an 475	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> A e. dom card )
16		vex 3061	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
17		eldif 3423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( On \ om ) <-> ( b e. On /\ -. b e. om ) )
18		ordom 6691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Ord om
19		eloni 5419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. On -> Ord b )
20		ordtri1 5442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord om /\ Ord b ) -> ( om C_ b <-> -. b e. om ) )
21	18, 19, 20	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. On -> ( om C_ b <-> -. b e. om ) )
22	21	biimpar 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. On /\ -. b e. om ) -> om C_ b )
23	17, 22	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( On \ om ) -> om C_ b )
24		ssdomg 7598	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. _V -> ( om C_ b -> om ~<_ b ) )
25	16, 23, 24	mpsyl 62	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( On \ om ) -> om ~<_ b )
26		domen2 7697	. . . . . . . . . 10 |- ( A ~~ b -> ( om ~<_ A <-> om ~<_ b ) )
27	25, 26	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ b -> ( b e. ( On \ om ) -> om ~<_ A ) )
28	27	impcom 428	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> om ~<_ A )
29		infxpidm2 8425	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( A X. A ) ~~ A )
30	15, 28, 29	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> ( A X. A ) ~~ A )
31		ensym 7601	. . . . . . 7 |- ( ( A X. A ) ~~ A -> A ~~ ( A X. A ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> A ~~ ( A X. A ) )
33	32	rexlimiva 2891	. . . . 5 |- ( E. b e. ( On \ om ) A ~~ b -> A ~~ ( A X. A ) )
34	11, 33	nsyl 121	. . . 4 |- ( A ~< ( A X. A ) -> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b )
35		relsdom 7560	. . . . . 6 |- Rel ~<
36	35	brrelexi 4863	. . . . 5 |- ( A ~< ( A X. A ) -> A e. _V )
37		isfin7 8712	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. FinVII <-> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b ) )
38	36, 37	syl 17	. . . 4 |- ( A ~< ( A X. A ) -> ( A e. FinVII <-> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b ) )
39	34, 38	mpbird 232	. . 3 |- ( A ~< ( A X. A ) -> A e. FinVII )
40	10, 39	jaoi 377	. 2 |- ( ( A ~< 2o \/ A ~< ( A X. A ) ) -> A e. FinVII )
41	1, 40	sylbi 195	1 |- ( A e. FinVI -> A e. FinVII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   e. wcel 1842   E.wrex 2754   _Vcvv 3058   \ cdif 3410   C_ wss 3413   class class class wbr 4394   X. cxp 4820   dom cdm 4822   Ord word 5408   Oncon0 5409   omcom 6682   2oc2o 7160   ~~ cen 7550   ~<_ cdom 7551   ~< csdm 7552   Fincfn 7553   cardccrd 8347  Fin^VIcfin6 8694  Fin^VIIcfin7 8695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-oi 7968  df-card 8351  df-fin6 8701  df-fin7 8702

This theorem is referenced by:  fin2so  31392