MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin67 Structured version   Unicode version

Theorem fin67 8778
Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin67  |-  ( A  e. FinVI  ->  A  e. FinVII )

Proof of Theorem fin67
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin6 8683 . 2  |-  ( A  e. FinVI  <-> 
( A  ~<  2o  \/  A  ~<  ( A  X.  A ) ) )
2 2onn 7291 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
3 ssid 3508 . . . . . 6  |-  2o  C_  2o
4 ssnnfi 7741 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  2o  C_  2o )  ->  2o  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 672 . . . . 5  |-  2o  e.  Fin
6 sdomdom 7545 . . . . 5  |-  ( A 
~<  2o  ->  A  ~<_  2o )
7 domfi 7743 . . . . 5  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  A  ~<_  2o )  ->  A  e.  Fin )
85, 6, 7sylancr 663 . . . 4  |-  ( A 
~<  2o  ->  A  e.  Fin )
9 fin17 8777 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( A 
~<  2o  ->  A  e. FinVII )
11 sdomnen 7546 . . . . 5  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  -.  A  ~~  ( A  X.  A
) )
12 eldifi 3611 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  b  e.  On )
13 ensym 7566 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  b  ->  b  ~~  A )
14 isnumi 8330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  On  /\  b  ~~  A )  ->  A  e.  dom  card )
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  ->  A  e.  dom  card )
16 vex 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
_V
17 eldif 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  <->  ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om ) )
18 ordom 6694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Ord  om
19 eloni 4878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  On  ->  Ord  b )
20 ordtri1 4901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  b )  ->  ( om  C_  b  <->  -.  b  e.  om ) )
2118, 19, 20sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  On  ->  ( om  C_  b  <->  -.  b  e.  om ) )
2221biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om )  ->  om  C_  b )
2317, 22sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  om  C_  b
)
24 ssdomg 7563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  _V  ->  ( om  C_  b  ->  om  ~<_  b ) )
2516, 23, 24mpsyl 63 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  om  ~<_  b )
26 domen2 7662 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
~~  b  ->  ( om 
~<_  A  <->  om  ~<_  b ) )
2725, 26syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  b  ->  (
b  e.  ( On 
\  om )  ->  om 
~<_  A ) )
2827impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  ->  om 
~<_  A )
29 infxpidm2 8397 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( A  X.  A
)  ~~  A )
3015, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  X.  A
)  ~~  A )
31 ensym 7566 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  A ) 
~~  A  ->  A  ~~  ( A  X.  A
) )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  ->  A  ~~  ( A  X.  A ) )
3332rexlimiva 2931 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b  ->  A  ~~  ( A  X.  A
) )
3411, 33nsyl 121 . . . 4  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  -.  E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b )
35 relsdom 7525 . . . . . 6  |-  Rel  ~<
3635brrelexi 5030 . . . . 5  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  A  e.  _V )
37 isfin7 8684 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e. FinVII 
<->  -.  E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b ) )
3836, 37syl 16 . . . 4  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  ( A  e. FinVII  <->  -. 
E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b ) )
3934, 38mpbird 232 . . 3  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  A  e. FinVII )
4010, 39jaoi 379 . 2  |-  ( ( A  ~<  2o  \/  A  ~<  ( A  X.  A ) )  ->  A  e. FinVII )
411, 40sylbi 195 1  |-  ( A  e. FinVI  ->  A  e. FinVII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1804   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   Ord word 4867   Oncon0 4868    X. cxp 4987   dom cdm 4989   omcom 6685   2oc2o 7126    ~~ cen 7515    ~<_ cdom 7516    ~< csdm 7517   Fincfn 7518   cardccrd 8319  FinVIcfin6 8666  FinVIIcfin7 8667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-oi 7938  df-card 8323  df-fin6 8673  df-fin7 8674
This theorem is referenced by:  fin2so  30016
  Copyright terms: Public domain W3C validator