Theorem fin67 8778

Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin67	|- ( A e. FinVI -> A e. FinVII )

Proof of Theorem fin67

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin6 8683	. 2 |- ( A e. FinVI <-> ( A ~< 2o \/ A ~< ( A X. A ) ) )
2		2onn 7291	. . . . . 6 |- 2o e. om
3		ssid 3508	. . . . . 6 |- 2o C_ 2o
4		ssnnfi 7741	. . . . . 6 |- ( ( 2o e. om /\ 2o C_ 2o ) -> 2o e. Fin )
5	2, 3, 4	mp2an 672	. . . . 5 |- 2o e. Fin
6		sdomdom 7545	. . . . 5 |- ( A ~< 2o -> A ~<_ 2o )
7		domfi 7743	. . . . 5 |- ( ( 2o e. Fin /\ A ~<_ 2o ) -> A e. Fin )
8	5, 6, 7	sylancr 663	. . . 4 |- ( A ~< 2o -> A e. Fin )
9		fin17 8777	. . . 4 |- ( A e. Fin -> A e. FinVII )
10	8, 9	syl 16	. . 3 |- ( A ~< 2o -> A e. FinVII )
11		sdomnen 7546	. . . . 5 |- ( A ~< ( A X. A ) -> -. A ~~ ( A X. A ) )
12		eldifi 3611	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( On \ om ) -> b e. On )
13		ensym 7566	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ b -> b ~~ A )
14		isnumi 8330	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. On /\ b ~~ A ) -> A e. dom card )
15	12, 13, 14	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> A e. dom card )
16		vex 3098	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
17		eldif 3471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( On \ om ) <-> ( b e. On /\ -. b e. om ) )
18		ordom 6694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Ord om
19		eloni 4878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. On -> Ord b )
20		ordtri1 4901	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Ord om /\ Ord b ) -> ( om C_ b <-> -. b e. om ) )
21	18, 19, 20	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. On -> ( om C_ b <-> -. b e. om ) )
22	21	biimpar 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. On /\ -. b e. om ) -> om C_ b )
23	17, 22	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ( On \ om ) -> om C_ b )
24		ssdomg 7563	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. _V -> ( om C_ b -> om ~<_ b ) )
25	16, 23, 24	mpsyl 63	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( On \ om ) -> om ~<_ b )
26		domen2 7662	. . . . . . . . . 10 |- ( A ~~ b -> ( om ~<_ A <-> om ~<_ b ) )
27	25, 26	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9 |- ( A ~~ b -> ( b e. ( On \ om ) -> om ~<_ A ) )
28	27	impcom 430	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> om ~<_ A )
29		infxpidm2 8397	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom card /\ om ~<_ A ) -> ( A X. A ) ~~ A )
30	15, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> ( A X. A ) ~~ A )
31		ensym 7566	. . . . . . 7 |- ( ( A X. A ) ~~ A -> A ~~ ( A X. A ) )
32	30, 31	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( b e. ( On \ om ) /\ A ~~ b ) -> A ~~ ( A X. A ) )
33	32	rexlimiva 2931	. . . . 5 |- ( E. b e. ( On \ om ) A ~~ b -> A ~~ ( A X. A ) )
34	11, 33	nsyl 121	. . . 4 |- ( A ~< ( A X. A ) -> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b )
35		relsdom 7525	. . . . . 6 |- Rel ~<
36	35	brrelexi 5030	. . . . 5 |- ( A ~< ( A X. A ) -> A e. _V )
37		isfin7 8684	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. FinVII <-> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b ) )
38	36, 37	syl 16	. . . 4 |- ( A ~< ( A X. A ) -> ( A e. FinVII <-> -. E. b e. ( On \ om ) A ~~ b ) )
39	34, 38	mpbird 232	. . 3 |- ( A ~< ( A X. A ) -> A e. FinVII )
40	10, 39	jaoi 379	. 2 |- ( ( A ~< 2o \/ A ~< ( A X. A ) ) -> A e. FinVII )
41	1, 40	sylbi 195	1 |- ( A e. FinVI -> A e. FinVII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   e. wcel 1804   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   \ cdif 3458   C_ wss 3461   class class class wbr 4437   Ord word 4867   Oncon0 4868   X. cxp 4987   dom cdm 4989   omcom 6685   2oc2o 7126   ~~ cen 7515   ~<_ cdom 7516   ~< csdm 7517   Fincfn 7518   cardccrd 8319  Fin^VIcfin6 8666  Fin^VIIcfin7 8667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-oi 7938  df-card 8323  df-fin6 8673  df-fin7 8674

This theorem is referenced by:  fin2so  30016