MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin67 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fin67 8856
Description: Every VI-finite set is VII-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin67  |-  ( A  e. FinVI  ->  A  e. FinVII )

Proof of Theorem fin67
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin6 8761 . 2  |-  ( A  e. FinVI  <-> 
( A  ~<  2o  \/  A  ~<  ( A  X.  A ) ) )
2 2onn 7372 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
3 ssid 3463 . . . . . 6  |-  2o  C_  2o
4 ssnnfi 7822 . . . . . 6  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  2o  C_  2o )  ->  2o  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 683 . . . . 5  |-  2o  e.  Fin
6 sdomdom 7628 . . . . 5  |-  ( A 
~<  2o  ->  A  ~<_  2o )
7 domfi 7824 . . . . 5  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  A  ~<_  2o )  ->  A  e.  Fin )
85, 6, 7sylancr 674 . . . 4  |-  ( A 
~<  2o  ->  A  e.  Fin )
9 fin17 8855 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( A 
~<  2o  ->  A  e. FinVII )
11 sdomnen 7629 . . . . 5  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  -.  A  ~~  ( A  X.  A
) )
12 eldifi 3567 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  b  e.  On )
13 ensym 7649 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  b  ->  b  ~~  A )
14 isnumi 8411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  On  /\  b  ~~  A )  ->  A  e.  dom  card )
1512, 13, 14syl2an 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  ->  A  e.  dom  card )
16 vex 3060 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
_V
17 eldif 3426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  <->  ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om ) )
18 ordom 6733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Ord  om
19 eloni 5456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  On  ->  Ord  b )
20 ordtri1 5479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  b )  ->  ( om  C_  b  <->  -.  b  e.  om ) )
2118, 19, 20sylancr 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  On  ->  ( om  C_  b  <->  -.  b  e.  om ) )
2221biimpar 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om )  ->  om  C_  b )
2317, 22sylbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  om  C_  b
)
24 ssdomg 7646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  _V  ->  ( om  C_  b  ->  om  ~<_  b ) )
2516, 23, 24mpsyl 65 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  om  ~<_  b )
26 domen2 7746 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
~~  b  ->  ( om 
~<_  A  <->  om  ~<_  b ) )
2725, 26syl5ibr 229 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  b  ->  (
b  e.  ( On 
\  om )  ->  om 
~<_  A ) )
2827impcom 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  ->  om 
~<_  A )
29 infxpidm2 8479 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\ 
om  ~<_  A )  -> 
( A  X.  A
)  ~~  A )
3015, 28, 29syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  X.  A
)  ~~  A )
31 ensym 7649 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  A ) 
~~  A  ->  A  ~~  ( A  X.  A
) )
3230, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( On 
\  om )  /\  A  ~~  b )  ->  A  ~~  ( A  X.  A ) )
3332rexlimiva 2887 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b  ->  A  ~~  ( A  X.  A
) )
3411, 33nsyl 126 . . . 4  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  -.  E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b )
35 relsdom 7607 . . . . . 6  |-  Rel  ~<
3635brrelexi 4897 . . . . 5  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  A  e.  _V )
37 isfin7 8762 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e. FinVII 
<->  -.  E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b ) )
3836, 37syl 17 . . . 4  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  ( A  e. FinVII  <->  -. 
E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b ) )
3934, 38mpbird 240 . . 3  |-  ( A 
~<  ( A  X.  A
)  ->  A  e. FinVII )
4010, 39jaoi 385 . 2  |-  ( ( A  ~<  2o  \/  A  ~<  ( A  X.  A ) )  ->  A  e. FinVII )
411, 40sylbi 200 1  |-  ( A  e. FinVI  ->  A  e. FinVII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    e. wcel 1898   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    C_ wss 3416   class class class wbr 4418    X. cxp 4854   dom cdm 4856   Ord word 5445   Oncon0 5446   omcom 6724   2oc2o 7207    ~~ cen 7597    ~<_ cdom 7598    ~< csdm 7599   Fincfn 7600   cardccrd 8400  FinVIcfin6 8744  FinVIIcfin7 8745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-2o 7214  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-oi 8056  df-card 8404  df-fin6 8751  df-fin7 8752
This theorem is referenced by:  fin2so  31978
  Copyright terms: Public domain W3C validator