MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin34 Structured version   Unicode version

Theorem fin34 8759
Description: Every III-finite set is IV-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin34  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )

Proof of Theorem fin34
StepHypRef Expression
1 isfin3 8665 . . 3  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
2 isfin4-2 8683 . . . . 5  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -. 
om  ~<_  ~P A ) )
32ibi 241 . . . 4  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_  ~P A
)
4 reldom 7512 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
54brrelex2i 5033 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
6 canth2g 7661 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~<  ~P A )
8 domsdomtr 7642 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  ~<  ~P A )  ->  om  ~<  ~P A )
97, 8mpdan 668 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  ~<  ~P A
)
10 sdomdom 7533 . . . . 5  |-  ( om 
~<  ~P A  ->  om  ~<_  ~P A
)
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  ~<_  ~P A
)
123, 11nsyl 121 . . 3  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_  A )
131, 12sylbi 195 . 2  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_  A )
14 isfin4-2 8683 . 2  |-  ( A  e. FinIII  ->  ( A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  A ) )
1513, 14mpbird 232 1  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   ~Pcpw 4003   class class class wbr 4440   omcom 6671    ~<_ cdom 7504    ~< csdm 7505  FinIVcfin4 8649  FinIIIcfin3 8650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fin4 8656  df-fin3 8657
This theorem is referenced by:  finngch  9022  fin2so  29603
  Copyright terms: Public domain W3C validator