MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin34 Structured version   Unicode version

Theorem fin34 8801
Description: Every III-finite set is IV-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin34  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )

Proof of Theorem fin34
StepHypRef Expression
1 isfin3 8707 . . 3  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
2 isfin4-2 8725 . . . . 5  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -. 
om  ~<_  ~P A ) )
32ibi 241 . . . 4  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_  ~P A
)
4 reldom 7559 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
54brrelex2i 4864 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
6 canth2g 7708 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~<  ~P A )
8 domsdomtr 7689 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  ~<  ~P A )  ->  om  ~<  ~P A )
97, 8mpdan 666 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  ~<  ~P A
)
10 sdomdom 7580 . . . . 5  |-  ( om 
~<  ~P A  ->  om  ~<_  ~P A
)
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  ~<_  ~P A
)
123, 11nsyl 121 . . 3  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_  A )
131, 12sylbi 195 . 2  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_  A )
14 isfin4-2 8725 . 2  |-  ( A  e. FinIII  ->  ( A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  A ) )
1513, 14mpbird 232 1  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   ~Pcpw 3954   class class class wbr 4394   omcom 6682    ~<_ cdom 7551    ~< csdm 7552  FinIVcfin4 8691  FinIIIcfin3 8692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fin4 8698  df-fin3 8699
This theorem is referenced by:  finngch  9062  fin2so  31392
  Copyright terms: Public domain W3C validator