MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin34 Structured version   Unicode version

Theorem fin34 8557
Description: Every III-finite set is IV-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin34  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )

Proof of Theorem fin34
StepHypRef Expression
1 isfin3 8463 . . 3  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
2 isfin4-2 8481 . . . . 5  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -. 
om  ~<_  ~P A ) )
32ibi 241 . . . 4  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_  ~P A
)
4 reldom 7314 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
54brrelex2i 4878 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
6 canth2g 7463 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~<  ~P A )
8 domsdomtr 7444 . . . . . 6  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  A  ~<  ~P A )  ->  om  ~<  ~P A )
97, 8mpdan 668 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  ~<  ~P A
)
10 sdomdom 7335 . . . . 5  |-  ( om 
~<  ~P A  ->  om  ~<_  ~P A
)
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  om  ~<_  ~P A
)
123, 11nsyl 121 . . 3  |-  ( ~P A  e. FinIV  ->  -.  om  ~<_  A )
131, 12sylbi 195 . 2  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_  A )
14 isfin4-2 8481 . 2  |-  ( A  e. FinIII  ->  ( A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  A ) )
1513, 14mpbird 232 1  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1756   _Vcvv 2970   ~Pcpw 3858   class class class wbr 4290   omcom 6474    ~<_ cdom 7306    ~< csdm 7307  FinIVcfin4 8447  FinIIIcfin3 8448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fin4 8454  df-fin3 8455
This theorem is referenced by:  finngch  8820  fin2so  28413
  Copyright terms: Public domain W3C validator