MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin33i Structured version   Unicode version

Theorem fin33i 8538
Description: Inference from isfin3-3 8537. (This is actually a bit stronger than isfin3-3 8537 because it does not assume  F is a set and does not use the Axiom of Infinity either.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin33i  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  |^| ran  F  e.  ran  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem fin33i
StepHypRef Expression
1 isfin32i 8534 . . 3  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )
213ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  -.  om  ~<_*  A )
3 isf32lem11 8532 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( F : om --> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x )  /\  -.  |^|
ran  F  e.  ran  F ) )  ->  om  ~<_*  A )
433exp2 1205 . . 3  |-  ( A  e. FinIII  ->  ( F : om
--> ~P A  ->  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x )  ->  ( -.  |^| ran  F  e. 
ran  F  ->  om  ~<_*  A ) ) ) )
543imp 1181 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  -> 
( -.  |^| ran  F  e.  ran  F  ->  om 
~<_* 
A ) )
62, 5mt3d 125 1  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  |^| ran  F  e.  ran  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 965    e. wcel 1756   A.wral 2715    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   |^|cint 4128   class class class wbr 4292   suc csuc 4721   ran crn 4841   -->wf 5414   ` cfv 5418   omcom 6476    ~<_* cwdom 7772  FinIIIcfin3 8450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-wdom 7774  df-card 8109  df-fin4 8456  df-fin3 8457
This theorem is referenced by:  isf34lem7  8548
  Copyright terms: Public domain W3C validator