MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin33i Structured version   Unicode version

Theorem fin33i 8534
Description: Inference from isfin3-3 8533. (This is actually a bit stronger than isfin3-3 8533 because it does not assume  F is a set and does not use the Axiom of Infinity either.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin33i  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  |^| ran  F  e.  ran  F )
Distinct variable groups:    x, A    x, F

Proof of Theorem fin33i
StepHypRef Expression
1 isfin32i 8530 . . 3  |-  ( A  e. FinIII  ->  -.  om  ~<_*  A )
213ad2ant1 1004 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  -.  om  ~<_*  A )
3 isf32lem11 8528 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  ( F : om --> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x )  /\  -.  |^|
ran  F  e.  ran  F ) )  ->  om  ~<_*  A )
433exp2 1200 . . 3  |-  ( A  e. FinIII  ->  ( F : om
--> ~P A  ->  ( A. x  e.  om  ( F `  suc  x
)  C_  ( F `  x )  ->  ( -.  |^| ran  F  e. 
ran  F  ->  om  ~<_*  A ) ) ) )
543imp 1176 . 2  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  -> 
( -.  |^| ran  F  e.  ran  F  ->  om 
~<_* 
A ) )
62, 5mt3d 125 1  |-  ( ( A  e. FinIII  /\  F : om
--> ~P A  /\  A. x  e.  om  ( F `  suc  x ) 
C_  ( F `  x ) )  ->  |^| ran  F  e.  ran  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 960    e. wcel 1761   A.wral 2713    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   |^|cint 4125   class class class wbr 4289   suc csuc 4717   ran crn 4837   -->wf 5411   ` cfv 5415   omcom 6475    ~<_* cwdom 7768  FinIIIcfin3 8446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-wdom 7770  df-card 8105  df-fin4 8452  df-fin3 8453
This theorem is referenced by:  isf34lem7  8544
  Copyright terms: Public domain W3C validator