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Theorem fin2solem 28415
Description: Lemma for fin2so 28416. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
fin2solem  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  ->  (
y R z  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R z } ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, R

Proof of Theorem fin2solem
StepHypRef Expression
1 ancom 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  w  e.  x )  <->  ( w  e.  x  /\  (
y  e.  x  /\  z  e.  x )
) )
2 3anass 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  x  /\  y  e.  x  /\  z  e.  x )  <->  ( w  e.  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) ) )
31, 2bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  w  e.  x )  <->  ( w  e.  x  /\  y  e.  x  /\  z  e.  x ) )
4 sotr 4663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( w  e.  x  /\  y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  ->  (
( w R y  /\  y R z )  ->  w R
z ) )
53, 4sylan2b 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  /\  w  e.  x ) )  -> 
( ( w R y  /\  y R z )  ->  w R z ) )
65anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  w  e.  x )  ->  (
( w R y  /\  y R z )  ->  w R
z ) )
76ancomsd 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  w  e.  x )  ->  (
( y R z  /\  w R y )  ->  w R
z ) )
87expdimp 437 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x ) )  /\  w  e.  x )  /\  y R z )  ->  ( w R y  ->  w R
z ) )
98an32s 802 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x ) )  /\  y R z )  /\  w  e.  x )  ->  ( w R y  ->  w R z ) )
109ss2rabdv 3433 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  y R z )  ->  { w  e.  x  |  w R y } 
C_  { w  e.  x  |  w R z } )
11 breq1 4295 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
w R z  <->  y R
z ) )
1211elrab 3117 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { w  e.  x  |  w R z }  <->  ( y  e.  x  /\  y R z ) )
1312biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  x  /\  y R z )  -> 
y  e.  { w  e.  x  |  w R z } )
1413adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x
)  /\  y R
z )  ->  y  e.  { w  e.  x  |  w R z } )
15 sonr 4662 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x )  ->  -.  y R y )
16 breq1 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w R y  <->  y R
y ) )
1716elrab 3117 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { w  e.  x  |  w R y }  <->  ( y  e.  x  /\  y R y ) )
1817simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  y R y )
1915, 18nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x )  ->  -.  y  e.  {
w  e.  x  |  w R y } )
2019adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x
)  /\  y R
z )  ->  -.  y  e.  { w  e.  x  |  w R y } )
21 nelne1 2701 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { w  e.  x  |  w R z }  /\  -.  y  e.  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  { w  e.  x  |  w R z }  =/=  {
w  e.  x  |  w R y } )
2221necomd 2695 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { w  e.  x  |  w R z }  /\  -.  y  e.  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  {
w  e.  x  |  w R z } )
2314, 20, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x
)  /\  y R
z )  ->  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } )
2423adantlrr 720 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  y R z )  ->  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } )
25 vex 2975 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2625rabex 4443 . . . . 5  |-  { w  e.  x  |  w R z }  e.  _V
2726brrpss 6363 . . . 4  |-  ( { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R z }  <->  { w  e.  x  |  w R y } 
C.  { w  e.  x  |  w R z } )
28 df-pss 3344 . . . 4  |-  ( { w  e.  x  |  w R y } 
C.  { w  e.  x  |  w R z }  <->  ( {
w  e.  x  |  w R y } 
C_  { w  e.  x  |  w R z }  /\  {
w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } ) )
2927, 28bitri 249 . . 3  |-  ( { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R z }  <-> 
( { w  e.  x  |  w R y }  C_  { w  e.  x  |  w R z }  /\  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } ) )
3010, 24, 29sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  y R z )  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R z } )
3130ex 434 1  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  ->  (
y R z  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R z } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756    =/= wne 2606   {crab 2719    C_ wss 3328    C. wpss 3329   class class class wbr 4292    Or wor 4640   [ C.] crpss 6359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-br 4293  df-opab 4351  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-rpss 6360
This theorem is referenced by:  fin2so  28416
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