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Theorem fin2solem 31634
Description: Lemma for fin2so 31635. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
fin2solem  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  ->  (
y R z  ->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R z } ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, R

Proof of Theorem fin2solem
StepHypRef Expression
1 ancom 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  w  e.  x )  <->  ( w  e.  x  /\  (
y  e.  x  /\  z  e.  x )
) )
2 3anass 986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  x  /\  y  e.  x  /\  z  e.  x )  <->  ( w  e.  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) ) )
31, 2bitr4i 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  w  e.  x )  <->  ( w  e.  x  /\  y  e.  x  /\  z  e.  x ) )
4 sotr 4797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( w  e.  x  /\  y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  ->  (
( w R y  /\  y R z )  ->  w R
z ) )
53, 4sylan2b 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  /\  w  e.  x ) )  -> 
( ( w R y  /\  y R z )  ->  w R z ) )
65anassrs 652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  w  e.  x )  ->  (
( w R y  /\  y R z )  ->  w R
z ) )
76ancomsd 455 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  w  e.  x )  ->  (
( y R z  /\  w R y )  ->  w R
z ) )
87expdimp 438 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x ) )  /\  w  e.  x )  /\  y R z )  ->  ( w R y  ->  w R
z ) )
98an32s 811 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x ) )  /\  y R z )  /\  w  e.  x )  ->  ( w R y  ->  w R z ) )
109ss2rabdv 3548 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  y R z )  ->  { w  e.  x  |  w R y } 
C_  { w  e.  x  |  w R z } )
11 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
w R z  <->  y R
z ) )
1211elrab 3235 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { w  e.  x  |  w R z }  <->  ( y  e.  x  /\  y R z ) )
1312biimpri 209 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  x  /\  y R z )  -> 
y  e.  { w  e.  x  |  w R z } )
1413adantll 718 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x
)  /\  y R
z )  ->  y  e.  { w  e.  x  |  w R z } )
15 sonr 4796 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x )  ->  -.  y R y )
16 breq1 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w R y  <->  y R
y ) )
1716elrab 3235 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { w  e.  x  |  w R y }  <->  ( y  e.  x  /\  y R y ) )
1817simprbi 465 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  y R y )
1915, 18nsyl 124 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x )  ->  -.  y  e.  {
w  e.  x  |  w R y } )
2019adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x
)  /\  y R
z )  ->  -.  y  e.  { w  e.  x  |  w R y } )
21 nelne1 2760 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { w  e.  x  |  w R z }  /\  -.  y  e.  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  { w  e.  x  |  w R z }  =/=  {
w  e.  x  |  w R y } )
2221necomd 2702 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { w  e.  x  |  w R z }  /\  -.  y  e.  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  {
w  e.  x  |  w R z } )
2314, 20, 22syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x
)  /\  y R
z )  ->  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } )
2423adantlrr 725 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  y R z )  ->  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } )
25 vex 3090 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2625rabex 4576 . . . . 5  |-  { w  e.  x  |  w R z }  e.  _V
2726brrpss 6588 . . . 4  |-  ( { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R z }  <->  { w  e.  x  |  w R y } 
C.  { w  e.  x  |  w R z } )
28 df-pss 3458 . . . 4  |-  ( { w  e.  x  |  w R y } 
C.  { w  e.  x  |  w R z }  <->  ( {
w  e.  x  |  w R y } 
C_  { w  e.  x  |  w R z }  /\  {
w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } ) )
2927, 28bitri 252 . . 3  |-  ( { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R z }  <-> 
( { w  e.  x  |  w R y }  C_  { w  e.  x  |  w R z }  /\  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } ) )
3010, 24, 29sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  y R z )  ->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R z } )
3130ex 435 1  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  ->  (
y R z  ->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R z } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1870    =/= wne 2625   {crab 2786    C_ wss 3442    C. wpss 3443   class class class wbr 4426    Or wor 4774   [ C.] crpss 6584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-br 4427  df-opab 4485  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-rpss 6585
This theorem is referenced by:  fin2so  31635
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