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Theorem fin2solem 29602
Description: Lemma for fin2so 29603. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
fin2solem  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  ->  (
y R z  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R z } ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z, R

Proof of Theorem fin2solem
StepHypRef Expression
1 ancom 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  w  e.  x )  <->  ( w  e.  x  /\  (
y  e.  x  /\  z  e.  x )
) )
2 3anass 972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  x  /\  y  e.  x  /\  z  e.  x )  <->  ( w  e.  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) ) )
31, 2bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  w  e.  x )  <->  ( w  e.  x  /\  y  e.  x  /\  z  e.  x ) )
4 sotr 4815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( w  e.  x  /\  y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  ->  (
( w R y  /\  y R z )  ->  w R
z ) )
53, 4sylan2b 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  /\  w  e.  x ) )  -> 
( ( w R y  /\  y R z )  ->  w R z ) )
65anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  w  e.  x )  ->  (
( w R y  /\  y R z )  ->  w R
z ) )
76ancomsd 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  w  e.  x )  ->  (
( y R z  /\  w R y )  ->  w R
z ) )
87expdimp 437 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x ) )  /\  w  e.  x )  /\  y R z )  ->  ( w R y  ->  w R
z ) )
98an32s 802 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x ) )  /\  y R z )  /\  w  e.  x )  ->  ( w R y  ->  w R z ) )
109ss2rabdv 3574 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  y R z )  ->  { w  e.  x  |  w R y } 
C_  { w  e.  x  |  w R z } )
11 breq1 4443 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
w R z  <->  y R
z ) )
1211elrab 3254 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { w  e.  x  |  w R z }  <->  ( y  e.  x  /\  y R z ) )
1312biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  x  /\  y R z )  -> 
y  e.  { w  e.  x  |  w R z } )
1413adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x
)  /\  y R
z )  ->  y  e.  { w  e.  x  |  w R z } )
15 sonr 4814 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x )  ->  -.  y R y )
16 breq1 4443 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w R y  <->  y R
y ) )
1716elrab 3254 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { w  e.  x  |  w R y }  <->  ( y  e.  x  /\  y R y ) )
1817simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  y R y )
1915, 18nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x )  ->  -.  y  e.  {
w  e.  x  |  w R y } )
2019adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x
)  /\  y R
z )  ->  -.  y  e.  { w  e.  x  |  w R y } )
21 nelne1 2789 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { w  e.  x  |  w R z }  /\  -.  y  e.  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  { w  e.  x  |  w R z }  =/=  {
w  e.  x  |  w R y } )
2221necomd 2731 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { w  e.  x  |  w R z }  /\  -.  y  e.  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  {
w  e.  x  |  w R z } )
2314, 20, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  y  e.  x
)  /\  y R
z )  ->  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } )
2423adantlrr 720 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  y R z )  ->  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } )
25 vex 3109 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2625rabex 4591 . . . . 5  |-  { w  e.  x  |  w R z }  e.  _V
2726brrpss 6558 . . . 4  |-  ( { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R z }  <->  { w  e.  x  |  w R y } 
C.  { w  e.  x  |  w R z } )
28 df-pss 3485 . . . 4  |-  ( { w  e.  x  |  w R y } 
C.  { w  e.  x  |  w R z }  <->  ( {
w  e.  x  |  w R y } 
C_  { w  e.  x  |  w R z }  /\  {
w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } ) )
2927, 28bitri 249 . . 3  |-  ( { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R z }  <-> 
( { w  e.  x  |  w R y }  C_  { w  e.  x  |  w R z }  /\  { w  e.  x  |  w R y }  =/=  { w  e.  x  |  w R z } ) )
3010, 24, 29sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  /\  y R z )  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R z } )
3130ex 434 1  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  z  e.  x
) )  ->  (
y R z  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R z } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    e. wcel 1762    =/= wne 2655   {crab 2811    C_ wss 3469    C. wpss 3470   class class class wbr 4440    Or wor 4792   [ C.] crpss 6554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-br 4441  df-opab 4499  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-rpss 6555
This theorem is referenced by:  fin2so  29603
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