Theorem fin2so 28387

Description: Any totally ordered Tarski-finite set is finite; in particular, no amorphous set can be ordered. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fin2so	|- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. Fin )

Proof of Theorem fin2so

Dummy variables v u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> A e. FinII )
2		ssrab2 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { w e. x | w R v } C_ x
3		sstr 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { w e. x | w R v } C_ x /\ x C_ A ) -> { w e. x | w R v } C_ A )
4	2, 3	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x C_ A -> { w e. x | w R v } C_ A )
5		elpw2g 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. FinII -> ( { w e. x | w R v } e. ~P A <-> { w e. x | w R v } C_ A ) )
6	5	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. FinII /\ { w e. x | w R v } C_ A ) -> { w e. x | w R v } e. ~P A )
7	4, 6	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> { w e. x | w R v } e. ~P A )
8	7	ralrimivw 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A )
9		vex 2970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
10	9	rabex 4438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { w e. x | w R v } e. _V
11	10	rgenw 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V
12		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = ( v e. x |-> { w e. x | w R v } )
13		eleq1 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = { w e. x | w R v } -> ( y e. ~P A <-> { w e. x | w R v } e. ~P A ) )
14	12, 13	ralrnmpt 5847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A <-> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A ) )
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A <-> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A )
16	8, 15	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A )
17		dfss3 3341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A <-> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A )
18	16, 17	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
19	18	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
21	10, 12	dmmpti 5535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = x
22	21	neeq1i 2613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) <-> x =/= (/) )
23		dm0rn0 5051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = (/) <-> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = (/) )
24	23	necon3bii 2635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) <-> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
25	22, 24	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x =/= (/) <-> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
26	25	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x =/= (/) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
27	26	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
28		soss 4654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ A -> ( R Or A -> R Or x ) )
29	28	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> R Or x )
30		porpss 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [ C.] Po ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } )
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R Or x -> [ C.] Po ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
32		solin 4659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v R y \/ v = y \/ y R v ) )
33		fin2solem 28386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v R y -> { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } ) )
34		breq2 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = y -> ( w R v <-> w R y ) )
35	34	rabbidv 2959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = y -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v = y -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } ) )
37		fin2solem 28386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ v e. x ) ) -> ( y R v -> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
38	37	ancom2s 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( y R v -> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
39	33, 36, 38	3orim123d 1297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( ( v R y \/ v = y \/ y R v ) -> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
40	32, 39	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
41	40	ralrimivva 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R Or x -> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
42		breq1 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( u [ C.] { w e. x | w R y } <-> { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } ) )
43		eqeq1 2444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( u = { w e. x | w R y } <-> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } ) )
44		breq2 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( { w e. x | w R y } [ C.] u <-> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
45	42, 43, 44	3orbi123d 1288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
46	45	ralbidv 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
47	12, 46	ralrnmpt 5847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
48	11, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
49	41, 48	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R Or x -> A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
50	49	r19.21bi 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
51	9	rabex 4438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { w e. x | w R y } e. _V
52	51	rgenw 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A. y e. x { w e. x | w R y } e. _V
53	35	cbvmptv 4378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = ( y e. x |-> { w e. x | w R y } )
54		breq2 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( u [ C.] z <-> u [ C.] { w e. x | w R y } ) )
55		eqeq2 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( u = z <-> u = { w e. x | w R y } ) )
56		breq1 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( z [ C.] u <-> { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
57	54, 55, 56	3orbi123d 1288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) ) )
58	53, 57	ralrnmpt 5847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. y e. x { w e. x | w R y } e. _V -> ( A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) ) )
59	52, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
60	50, 59	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
61	60	r19.21bi 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) /\ z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
62	61	anasss 647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or x /\ ( u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) /\ z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) ) -> ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
63	31, 62	issod 4666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R Or x -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
64	29, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
65	64	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
67		fin2i2 8479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. FinII /\ ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A ) /\ ( ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) /\ [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) ) -> |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
68	1, 20, 27, 66, 67	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
69	53, 51	elrnmpti 5085	. . . . . . . . . . 11 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } )
70	68, 69	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } )
71		ssel2 3346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x C_ A /\ z e. x ) -> z e. A )
72		sonr 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R Or A /\ z e. A ) -> -. z R z )
73	71, 72	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R Or A /\ ( x C_ A /\ z e. x ) ) -> -. z R z )
74	73	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ z e. x ) -> -. z R z )
75	74	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) -> -. z R z )
76	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> -. z R z )
77		breq1 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = z -> ( w R y <-> z R y ) )
78	77	elrab 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. { w e. x | w R y } <-> ( z e. x /\ z R y ) )
79	78	simplbi2 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. x -> ( z R y -> z e. { w e. x | w R y } ) )
80	79	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z e. { w e. x | w R y } ) )
81		vex 2970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- z e. _V
82	81	elint2 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y )
83		eleq2 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = { w e. x | w R v } -> ( z e. y <-> z e. { w e. x | w R v } ) )
84	12, 83	ralrnmpt 5847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } ) )
85	11, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } )
86	82, 85	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } )
87		breq2 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = z -> ( w R v <-> w R z ) )
88	87	rabbidv 2959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = z -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R z } )
89	88	eleq2d 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = z -> ( z e. { w e. x | w R v } <-> z e. { w e. x | w R z } ) )
90	89	rspcv 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. x -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z e. { w e. x | w R z } ) )
91		breq1 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = z -> ( w R z <-> z R z ) )
92	91	elrab 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. { w e. x | w R z } <-> ( z e. x /\ z R z ) )
93	92	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. { w e. x | w R z } -> z R z )
94	90, 93	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. x -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z R z ) )
95	94	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z R z ) )
96	86, 95	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) -> z R z ) )
97		eleq2 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> z e. { w e. x | w R y } ) )
98	97	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) -> z R z ) <-> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) ) )
99	96, 98	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) ) )
100	99	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) )
101	80, 100	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z R z ) )
102	101	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z R z ) )
103	76, 102	mtod 177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> -. z R y )
104	103	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> -. z R y ) )
105	104	ralrimdva 2801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> A. z e. x -. z R y ) )
106	105	reximdva 2823	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
107	106	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
108	107	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
109	70, 108	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y )
110	109	expl 618	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
111	110	alrimiv 1685	. . . . . . 7 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A. x ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
112		df-fr 4674	. . . . . . 7 |- ( R Fr A <-> A. x ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
113	111, 112	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R Fr A )
114		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R Or A )
115		df-we 4676	. . . . . 6 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ R Or A ) )
116	113, 114, 115	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R We A )
117		weinxp 4901	. . . . 5 |- ( R We A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) We A )
118	116, 117	sylib 196	. . . 4 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> ( R i^i ( A X. A ) ) We A )
119		xpexg 6502	. . . . . . 7 |- ( ( A e. FinII /\ A e. FinII ) -> ( A X. A ) e. _V )
120	119	anidms 645	. . . . . 6 |- ( A e. FinII -> ( A X. A ) e. _V )
121		incom 3538	. . . . . . 7 |- ( R i^i ( A X. A ) ) = ( ( A X. A ) i^i R )
122		inex1g 4430	. . . . . . 7 |- ( ( A X. A ) e. _V -> ( ( A X. A ) i^i R ) e. _V )
123	121, 122	syl5eqel 2522	. . . . . 6 |- ( ( A X. A ) e. _V -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
124		weeq1 4703	. . . . . . 7 |- ( z = ( R i^i ( A X. A ) ) -> ( z We A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) We A ) )
125	124	spcegv 3053	. . . . . 6 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) We A -> E. z z We A ) )
126	120, 123, 125	3syl 20	. . . . 5 |- ( A e. FinII -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) We A -> E. z z We A ) )
127	126	imp 429	. . . 4 |- ( ( A e. FinII /\ ( R i^i ( A X. A ) ) We A ) -> E. z z We A )
128	118, 127	syldan 470	. . 3 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> E. z z We A )
129		ween 8197	. . 3 |- ( A e. dom card <-> E. z z We A )
130	128, 129	sylibr 212	. 2 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. dom card )
131		fin23 8550	. . . . 5 |- ( A e. FinII -> A e. FinIII )
132		fin34 8551	. . . . 5 |- ( A e. FinIII -> A e. FinIV )
133		fin45 8553	. . . . 5 |- ( A e. FinIV -> A e. FinV )
134	131, 132, 133	3syl 20	. . . 4 |- ( A e. FinII -> A e. FinV )
135		fin56 8554	. . . 4 |- ( A e. FinV -> A e. FinVI )
136		fin67 8556	. . . 4 |- ( A e. FinVI -> A e. FinVII )
137	134, 135, 136	3syl 20	. . 3 |- ( A e. FinII -> A e. FinVII )
138		fin71num 8558	. . . 4 |- ( A e. dom card -> ( A e. FinVII <-> A e. Fin ) )
139	138	biimpac 486	. . 3 |- ( ( A e. FinVII /\ A e. dom card ) -> A e. Fin )
140	137, 139	sylan 471	. 2 |- ( ( A e. FinII /\ A e. dom card ) -> A e. Fin )
141	130, 140	syldan 470	1 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 964   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   |^|cint 4123   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   Po wpo 4634   Or wor 4635   Fr wfr 4671   We wwe 4673   X. cxp 4833   dom cdm 4835   ran crn 4836   [ C.] crpss 6354   Fincfn 7302   cardccrd 8097  Fin^IIcfin2 8440  Fin^IVcfin4 8441  Fin^IIIcfin3 8442  Fin^Vcfin5 8443  Fin^VIcfin6 8444  Fin^VIIcfin7 8445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-rpss 6355  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-seqom 6895  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-oi 7716  df-wdom 7766  df-card 8101  df-cda 8329  df-fin2 8447  df-fin4 8448  df-fin3 8449  df-fin5 8450  df-fin6 8451  df-fin7 8452

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