Theorem fin2so 29467

Description: Any totally ordered Tarski-finite set is finite; in particular, no amorphous set can be ordered. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fin2so	|- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. Fin )

Proof of Theorem fin2so

Dummy variables v u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> A e. FinII )
2		ssrab2 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { w e. x | w R v } C_ x
3		sstr 3505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { w e. x | w R v } C_ x /\ x C_ A ) -> { w e. x | w R v } C_ A )
4	2, 3	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x C_ A -> { w e. x | w R v } C_ A )
5		elpw2g 4603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. FinII -> ( { w e. x | w R v } e. ~P A <-> { w e. x | w R v } C_ A ) )
6	5	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. FinII /\ { w e. x | w R v } C_ A ) -> { w e. x | w R v } e. ~P A )
7	4, 6	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> { w e. x | w R v } e. ~P A )
8	7	ralrimivw 2872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A )
9		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
10	9	rabex 4591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { w e. x | w R v } e. _V
11	10	rgenw 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V
12		eqid 2460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = ( v e. x |-> { w e. x | w R v } )
13		eleq1 2532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = { w e. x | w R v } -> ( y e. ~P A <-> { w e. x | w R v } e. ~P A ) )
14	12, 13	ralrnmpt 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A <-> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A ) )
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A <-> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A )
16	8, 15	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A )
17		dfss3 3487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A <-> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A )
18	16, 17	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
19	18	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
21	10, 12	dmmpti 5701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = x
22	21	neeq1i 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) <-> x =/= (/) )
23		dm0rn0 5210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = (/) <-> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = (/) )
24	23	necon3bii 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) <-> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
25	22, 24	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x =/= (/) <-> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
26	25	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x =/= (/) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
27	26	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
28		soss 4811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ A -> ( R Or A -> R Or x ) )
29	28	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> R Or x )
30		porpss 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [ C.] Po ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } )
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R Or x -> [ C.] Po ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
32		solin 4816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v R y \/ v = y \/ y R v ) )
33		fin2solem 29466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v R y -> { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } ) )
34		breq2 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = y -> ( w R v <-> w R y ) )
35	34	rabbidv 3098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = y -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v = y -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } ) )
37		fin2solem 29466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ v e. x ) ) -> ( y R v -> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
38	37	ancom2s 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( y R v -> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
39	33, 36, 38	3orim123d 1302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( ( v R y \/ v = y \/ y R v ) -> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
40	32, 39	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
41	40	ralrimivva 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R Or x -> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
42		breq1 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( u [ C.] { w e. x | w R y } <-> { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } ) )
43		eqeq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( u = { w e. x | w R y } <-> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } ) )
44		breq2 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( { w e. x | w R y } [ C.] u <-> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
45	42, 43, 44	3orbi123d 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
46	45	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
47	12, 46	ralrnmpt 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
48	11, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
49	41, 48	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R Or x -> A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
50	49	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
51	9	rabex 4591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { w e. x | w R y } e. _V
52	51	rgenw 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A. y e. x { w e. x | w R y } e. _V
53	35	cbvmptv 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = ( y e. x |-> { w e. x | w R y } )
54		breq2 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( u [ C.] z <-> u [ C.] { w e. x | w R y } ) )
55		eqeq2 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( u = z <-> u = { w e. x | w R y } ) )
56		breq1 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( z [ C.] u <-> { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
57	54, 55, 56	3orbi123d 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) ) )
58	53, 57	ralrnmpt 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. y e. x { w e. x | w R y } e. _V -> ( A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) ) )
59	52, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
60	50, 59	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
61	60	r19.21bi 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) /\ z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
62	61	anasss 647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or x /\ ( u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) /\ z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) ) -> ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
63	31, 62	issod 4823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R Or x -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
64	29, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
65	64	adantll 713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
67		fin2i2 8687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. FinII /\ ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A ) /\ ( ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) /\ [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) ) -> |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
68	1, 20, 27, 66, 67	syl22anc 1224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
69	53, 51	elrnmpti 5244	. . . . . . . . . . 11 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } )
70	68, 69	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } )
71		ssel2 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x C_ A /\ z e. x ) -> z e. A )
72		sonr 4814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R Or A /\ z e. A ) -> -. z R z )
73	71, 72	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R Or A /\ ( x C_ A /\ z e. x ) ) -> -. z R z )
74	73	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ z e. x ) -> -. z R z )
75	74	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) -> -. z R z )
76	75	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> -. z R z )
77		breq1 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = z -> ( w R y <-> z R y ) )
78	77	elrab 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. { w e. x | w R y } <-> ( z e. x /\ z R y ) )
79	78	simplbi2 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. x -> ( z R y -> z e. { w e. x | w R y } ) )
80	79	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z e. { w e. x | w R y } ) )
81		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- z e. _V
82	81	elint2 4282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y )
83		eleq2 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = { w e. x | w R v } -> ( z e. y <-> z e. { w e. x | w R v } ) )
84	12, 83	ralrnmpt 6021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } ) )
85	11, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } )
86	82, 85	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } )
87		breq2 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = z -> ( w R v <-> w R z ) )
88	87	rabbidv 3098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = z -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R z } )
89	88	eleq2d 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = z -> ( z e. { w e. x | w R v } <-> z e. { w e. x | w R z } ) )
90	89	rspcv 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. x -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z e. { w e. x | w R z } ) )
91		breq1 4443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = z -> ( w R z <-> z R z ) )
92	91	elrab 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. { w e. x | w R z } <-> ( z e. x /\ z R z ) )
93	92	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. { w e. x | w R z } -> z R z )
94	90, 93	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. x -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z R z ) )
95	94	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z R z ) )
96	86, 95	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) -> z R z ) )
97		eleq2 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> z e. { w e. x | w R y } ) )
98	97	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) -> z R z ) <-> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) ) )
99	96, 98	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) ) )
100	99	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) )
101	80, 100	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z R z ) )
102	101	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z R z ) )
103	76, 102	mtod 177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> -. z R y )
104	103	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> -. z R y ) )
105	104	ralrimdva 2875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> A. z e. x -. z R y ) )
106	105	reximdva 2931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
107	106	adantll 713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
108	107	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
109	70, 108	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y )
110	109	expl 618	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
111	110	alrimiv 1690	. . . . . . 7 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A. x ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
112		df-fr 4831	. . . . . . 7 |- ( R Fr A <-> A. x ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
113	111, 112	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R Fr A )
114		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R Or A )
115		df-we 4833	. . . . . 6 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ R Or A ) )
116	113, 114, 115	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R We A )
117		weinxp 5059	. . . . 5 |- ( R We A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) We A )
118	116, 117	sylib 196	. . . 4 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> ( R i^i ( A X. A ) ) We A )
119		xpexg 6702	. . . . . . 7 |- ( ( A e. FinII /\ A e. FinII ) -> ( A X. A ) e. _V )
120	119	anidms 645	. . . . . 6 |- ( A e. FinII -> ( A X. A ) e. _V )
121		incom 3684	. . . . . . 7 |- ( R i^i ( A X. A ) ) = ( ( A X. A ) i^i R )
122		inex1g 4583	. . . . . . 7 |- ( ( A X. A ) e. _V -> ( ( A X. A ) i^i R ) e. _V )
123	121, 122	syl5eqel 2552	. . . . . 6 |- ( ( A X. A ) e. _V -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
124		weeq1 4860	. . . . . . 7 |- ( z = ( R i^i ( A X. A ) ) -> ( z We A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) We A ) )
125	124	spcegv 3192	. . . . . 6 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) We A -> E. z z We A ) )
126	120, 123, 125	3syl 20	. . . . 5 |- ( A e. FinII -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) We A -> E. z z We A ) )
127	126	imp 429	. . . 4 |- ( ( A e. FinII /\ ( R i^i ( A X. A ) ) We A ) -> E. z z We A )
128	118, 127	syldan 470	. . 3 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> E. z z We A )
129		ween 8405	. . 3 |- ( A e. dom card <-> E. z z We A )
130	128, 129	sylibr 212	. 2 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. dom card )
131		fin23 8758	. . . . 5 |- ( A e. FinII -> A e. FinIII )
132		fin34 8759	. . . . 5 |- ( A e. FinIII -> A e. FinIV )
133		fin45 8761	. . . . 5 |- ( A e. FinIV -> A e. FinV )
134	131, 132, 133	3syl 20	. . . 4 |- ( A e. FinII -> A e. FinV )
135		fin56 8762	. . . 4 |- ( A e. FinV -> A e. FinVI )
136		fin67 8764	. . . 4 |- ( A e. FinVI -> A e. FinVII )
137	134, 135, 136	3syl 20	. . 3 |- ( A e. FinII -> A e. FinVII )
138		fin71num 8766	. . . 4 |- ( A e. dom card -> ( A e. FinVII <-> A e. Fin ) )
139	138	biimpac 486	. . 3 |- ( ( A e. FinVII /\ A e. dom card ) -> A e. Fin )
140	137, 139	sylan 471	. 2 |- ( ( A e. FinII /\ A e. dom card ) -> A e. Fin )
141	130, 140	syldan 470	1 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 967   A.wal 1372   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106   i^i cin 3468   C_ wss 3469   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   |^|cint 4275   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   Po wpo 4791   Or wor 4792   Fr wfr 4828   We wwe 4830   X. cxp 4990   dom cdm 4992   ran crn 4993   [ C.] crpss 6554   Fincfn 7506   cardccrd 8305  Fin^IIcfin2 8648  Fin^IVcfin4 8649  Fin^IIIcfin3 8650  Fin^Vcfin5 8651  Fin^VIcfin6 8652  Fin^VIIcfin7 8653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-rpss 6555  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-seqom 7103  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-oi 7924  df-wdom 7974  df-card 8309  df-cda 8537  df-fin2 8655  df-fin4 8656  df-fin3 8657  df-fin5 8658  df-fin6 8659  df-fin7 8660

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