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Theorem fin2so 28554
Description: Any totally ordered Tarski-finite set is finite; in particular, no amorphous set can be ordered. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
fin2so  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem fin2so
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  A  e. FinII )
2 ssrab2 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { w  e.  x  |  w R v }  C_  x
3 sstr 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { w  e.  x  |  w R v } 
C_  x  /\  x  C_  A )  ->  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )
42, 3mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  A  ->  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )
5 elpw2g 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e. FinII  ->  ( { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  w R v } 
C_  A ) )
65biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e. FinII  /\  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )  ->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
74, 6sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
87ralrimivw 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
9 vex 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  e. 
_V
109rabex 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  x  |  w R v }  e.  _V
1110rgenw 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  _V
12 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )
13 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
y  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A ) )
1412, 13ralrnmpt 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A 
<-> 
A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A ) )
1511, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A  <->  A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
168, 15sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A )
17 dfss3 3444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A  <->  A. y  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A )
1816, 17sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) 
C_  ~P A )
1918adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A
)
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) 
C_  ~P A )
2110, 12dmmpti 5638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  x
2221neeq1i 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) )
23 dm0rn0 5154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  (/) )
2423necon3bii 2716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2522, 24bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =/=  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2625biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
28 soss 4757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  x ) )
2928impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  ->  R  Or  x )
30 porpss 6464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- [ C.]  Po  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Or  x  -> [ C.]  Po  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
32 solin 4762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v R y  \/  v  =  y  \/  y R v ) )
33 fin2solem 28553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v R y  ->  { w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
34 breq2 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  y  ->  (
w R v  <->  w R
y ) )
3534rabbidv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  y  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v  =  y  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
37 fin2solem 28553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  v  e.  x
) )  ->  (
y R v  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
3837ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y R v  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
3933, 36, 383orim123d 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( v R y  \/  v  =  y  \/  y R v )  ->  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4032, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  ( { w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4140ralrimivva 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  Or  x  ->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
42 breq1 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  <->  { w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
43 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
u  =  { w  e.  x  |  w R y }  <->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
44 breq2 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  ( { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u  <->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4542, 43, 443orbi123d 1289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u )  <->  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4645ralbidv 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  ( A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4712, 46ralrnmpt 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
)  <->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( { w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4811, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u )  <->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4941, 48sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  Or  x  ->  A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  (
u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u ) )
5049r19.21bi 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  A. y  e.  x  ( u [ C.] 
{ w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) )
519rabex 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { w  e.  x  |  w R y }  e.  _V
5251rgenw 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A. y  e.  x  { w  e.  x  |  w R y }  e.  _V
5335cbvmptv 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  ( y  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R y } )
54 breq2 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
u [ C.]  z  <->  u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
55 eqeq2 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
u  =  z  <->  u  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
56 breq1 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
z [ C.]  u  <->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u ) )
5754, 55, 563orbi123d 1289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <-> 
( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u ) ) )
5853, 57ralrnmpt 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. y  e.  x  {
w  e.  x  |  w R y }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( u [ C.] 
{ w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) ) )
5952, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u ) )
6050, 59sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6160r19.21bi 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  /\  z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6261anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  /\  z  e. 
ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )  ->  ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6331, 62issod 4769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  Or  x  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6429, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6564adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
67 fin2i2 8588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A
)  /\  ( ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )  ->  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
681, 20, 27, 66, 67syl22anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6953, 51elrnmpti 5188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )
7068, 69sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )
71 ssel2 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  A )
72 sonr 4760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Or  A  /\  z  e.  A )  ->  -.  z R z )
7371, 72sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  C_  A  /\  z  e.  x )
)  ->  -.  z R z )
7473anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  z  e.  x
)  ->  -.  z R z )
7574adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  ->  -.  z R z )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  -.  z R
z )
77 breq1 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  z  ->  (
w R y  <->  z R
y ) )
7877elrab 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  <->  ( z  e.  x  /\  z R y ) )
7978simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  x  ->  (
z R y  -> 
z  e.  { w  e.  x  |  w R y } ) )
8079ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z  e.  { w  e.  x  |  w R y } ) )
81 vex 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  z  e. 
_V
8281elint2 4233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y )
83 eleq2 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } ) )
8412, 83ralrnmpt 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } ) )
8511, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } )
8682, 85bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } )
87 breq2 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  z  ->  (
w R v  <->  w R
z ) )
8887rabbidv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  z  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R z } )
8988eleq2d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  z  ->  (
z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  <->  z  e.  { w  e.  x  |  w R z } ) )
9089rspcv 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  ->  z  e.  { w  e.  x  |  w R z } ) )
91 breq1 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  (
w R z  <->  z R
z ) )
9291elrab 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R z }  <->  ( z  e.  x  /\  z R z ) )
9392simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R z }  ->  z R z )
9490, 93syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  ->  z R z ) )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  {
w  e.  x  |  w R v }  ->  z R z ) )
9686, 95syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  ->  z R
z ) )
97 eleq2 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  z  e.  {
w  e.  x  |  w R y } ) )
9897imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  ->  z R
z )  <->  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) ) )
9996, 98syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z  e. 
{ w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) )
10180, 100syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z R
z ) )
102101adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z R
z ) )
10376, 102mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  -.  z R
y )
104103ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  ->  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  -.  z R
y ) )
105104ralrimdva 2902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x
)  ->  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
106105reximdva 2924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  -> 
( E. y  e.  x  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
107106adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  ->  ( E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
108107adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
10970, 108mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y )
110109expl 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  (
( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
111110alrimiv 1686 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
112 df-fr 4777 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  <->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
113111, 112sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  Fr  A )
114 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  Or  A )
115 df-we 4779 . . . . . 6  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  R  Or  A ) )
116113, 114, 115sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  We  A )
117 weinxp 5004 . . . . 5  |-  ( R  We  A  <->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
)
118116, 117sylib 196 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A )
119 xpexg 6607 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinII  /\  A  e. FinII )  ->  ( A  X.  A
)  e.  _V )
120119anidms 645 . . . . . 6  |-  ( A  e. FinII  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
121 incom 3641 . . . . . . 7  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( A  X.  A )  i^i  R
)
122 inex1g 4533 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  (
( A  X.  A
)  i^i  R )  e.  _V )
123121, 122syl5eqel 2543 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V )
124 weeq1 4806 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  (
z  We  A  <->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
) )
125124spcegv 3154 . . . . . 6  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A  ->  E. z 
z  We  A ) )
126120, 123, 1253syl 20 . . . . 5  |-  ( A  e. FinII  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A  ->  E. z 
z  We  A ) )
127126imp 429 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
)  ->  E. z 
z  We  A )
128118, 127syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  E. z 
z  We  A )
129 ween 8306 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. z 
z  We  A )
130128, 129sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  dom  card )
131 fin23 8659 . . . . 5  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinIII )
132 fin34 8660 . . . . 5  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )
133 fin45 8662 . . . . 5  |-  ( A  e. FinIV  ->  A  e. FinV )
134131, 132, 1333syl 20 . . . 4  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinV )
135 fin56 8663 . . . 4  |-  ( A  e. FinV  ->  A  e. FinVI )
136 fin67 8665 . . . 4  |-  ( A  e. FinVI  ->  A  e. FinVII )
137134, 135, 1363syl 20 . . 3  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinVII )
138 fin71num 8667 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( A  e. FinVII 
<->  A  e.  Fin )
)
139138biimpac 486 . . 3  |-  ( ( A  e. FinVII  /\  A  e.  dom  card )  ->  A  e.  Fin )
140137, 139sylan 471 . 2  |-  ( ( A  e. FinII  /\  A  e.  dom  card )  ->  A  e.  Fin )
141130, 140syldan 470 1  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3068    i^i cin 3425    C_ wss 3426   (/)c0 3735   ~Pcpw 3958   |^|cint 4226   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448    Po wpo 4737    Or wor 4738    Fr wfr 4774    We wwe 4776    X. cxp 4936   dom cdm 4938   ran crn 4939   [ C.] crpss 6459   Fincfn 7410   cardccrd 8206  FinIIcfin2 8549  FinIVcfin4 8550  FinIIIcfin3 8551  FinVcfin5 8552  FinVIcfin6 8553  FinVIIcfin7 8554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-rpss 6460  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-seqom 7003  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-oi 7825  df-wdom 7875  df-card 8210  df-cda 8438  df-fin2 8556  df-fin4 8557  df-fin3 8558  df-fin5 8559  df-fin6 8560  df-fin7 8561
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