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Theorem fin2so 31412
Description: Any totally ordered Tarski-finite set is finite; in particular, no amorphous set can be ordered. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
fin2so  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem fin2so
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  A  e. FinII )
2 ssrab2 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { w  e.  x  |  w R v }  C_  x
3 sstr 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { w  e.  x  |  w R v } 
C_  x  /\  x  C_  A )  ->  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )
42, 3mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  A  ->  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )
5 elpw2g 4557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e. FinII  ->  ( { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  w R v } 
C_  A ) )
65biimpar 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e. FinII  /\  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )  ->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
74, 6sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
87ralrimivw 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
9 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  e. 
_V
109rabex 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  x  |  w R v }  e.  _V
1110rgenw 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  _V
12 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )
13 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
y  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A ) )
1412, 13ralrnmpt 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A 
<-> 
A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A ) )
1511, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A  <->  A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
168, 15sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A )
17 dfss3 3432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A  <->  A. y  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A )
1816, 17sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) 
C_  ~P A )
1918adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A
)
2019adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) 
C_  ~P A )
2110, 12dmmpti 5693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  x
2221neeq1i 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) )
23 dm0rn0 5040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  (/) )
2423necon3bii 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2522, 24bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =/=  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2625biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2726adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
28 soss 4762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  x ) )
2928impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  ->  R  Or  x )
30 porpss 6566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- [ C.]  Po  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Or  x  -> [ C.]  Po  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
32 solin 4767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v R y  \/  v  =  y  \/  y R v ) )
33 fin2solem 31411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v R y  ->  { w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
34 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  y  ->  (
w R v  <->  w R
y ) )
3534rabbidv 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  y  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v  =  y  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
37 fin2solem 31411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  v  e.  x
) )  ->  (
y R v  ->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
3837ancom2s 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y R v  ->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
3933, 36, 383orim123d 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( v R y  \/  v  =  y  \/  y R v )  ->  ( {
w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4032, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  ( { w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4140ralrimivva 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  Or  x  ->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
42 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  <->  { w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
43 eqeq1 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
u  =  { w  e.  x  |  w R y }  <->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
44 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  ( { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u  <->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4542, 43, 443orbi123d 1300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u )  <->  ( {
w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4645ralbidv 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  ( A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4712, 46ralrnmpt 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
)  <->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( { w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4811, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u )  <->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4941, 48sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  Or  x  ->  A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  (
u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) )
5049r19.21bi 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  A. y  e.  x  ( u [ C.] 
{ w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) )
519rabex 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { w  e.  x  |  w R y }  e.  _V
5251rgenw 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A. y  e.  x  { w  e.  x  |  w R y }  e.  _V
5335cbvmptv 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  ( y  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R y } )
54 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
u [ C.]  z  <->  u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
55 eqeq2 2417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
u  =  z  <->  u  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
56 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
z [ C.]  u  <->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) )
5754, 55, 563orbi123d 1300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <-> 
( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u ) ) )
5853, 57ralrnmpt 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. y  e.  x  {
w  e.  x  |  w R y }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u
)  <->  A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u ) ) )
5952, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u ) )
6050, 59sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6160r19.21bi 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  /\  z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u
) )
6261anasss 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  /\  z  e. 
ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )  ->  ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6331, 62issod 4774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  Or  x  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6429, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  -> [ C.] 
Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6564adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6665adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
67 fin2i2 8730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A
)  /\  ( ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )  ->  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e. 
ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
681, 20, 27, 66, 67syl22anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6953, 51elrnmpti 5074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )
7068, 69sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )
71 ssel2 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  A )
72 sonr 4765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Or  A  /\  z  e.  A )  ->  -.  z R z )
7371, 72sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  C_  A  /\  z  e.  x )
)  ->  -.  z R z )
7473anassrs 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  z  e.  x
)  ->  -.  z R z )
7574adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  ->  -.  z R z )
7675adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  -.  z R
z )
77 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  z  ->  (
w R y  <->  z R
y ) )
7877elrab 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  <->  ( z  e.  x  /\  z R y ) )
7978simplbi2 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  x  ->  (
z R y  -> 
z  e.  { w  e.  x  |  w R y } ) )
8079ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z  e.  { w  e.  x  |  w R y } ) )
81 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  z  e. 
_V
8281elint2 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y )
83 eleq2 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } ) )
8412, 83ralrnmpt 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } ) )
8511, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } )
8682, 85bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } )
87 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  z  ->  (
w R v  <->  w R
z ) )
8887rabbidv 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  z  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R z } )
8988eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  z  ->  (
z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  <->  z  e.  { w  e.  x  |  w R z } ) )
9089rspcv 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  ->  z  e.  { w  e.  x  |  w R z } ) )
91 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  (
w R z  <->  z R
z ) )
9291elrab 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R z }  <->  ( z  e.  x  /\  z R z ) )
9392simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R z }  ->  z R z )
9490, 93syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  ->  z R z ) )
9594adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  {
w  e.  x  |  w R v }  ->  z R z ) )
9686, 95syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  ->  z R
z ) )
97 eleq2 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  z  e.  {
w  e.  x  |  w R y } ) )
9897imbi1d 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  ->  z R
z )  <->  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) ) )
9996, 98syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) ) )
10099imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z  e. 
{ w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) )
10180, 100syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z R
z ) )
102101adantlll 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z R
z ) )
10376, 102mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  -.  z R
y )
104103ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  ->  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  -.  z R
y ) )
105104ralrimdva 2822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x
)  ->  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
106105reximdva 2879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  -> 
( E. y  e.  x  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
107106adantll 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  ->  ( E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
108107adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
10970, 108mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y )
110109expl 616 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  (
( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
111110alrimiv 1740 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
112 df-fr 4782 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  <->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
113111, 112sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  Fr  A )
114 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  Or  A )
115 df-we 4784 . . . . . 6  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  R  Or  A ) )
116113, 114, 115sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  We  A )
117 weinxp 4891 . . . . 5  |-  ( R  We  A  <->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
)
118116, 117sylib 196 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A )
119 sqxpexg 6587 . . . . . 6  |-  ( A  e. FinII  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
120 incom 3632 . . . . . . 7  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( A  X.  A )  i^i  R
)
121 inex1g 4537 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  (
( A  X.  A
)  i^i  R )  e.  _V )
122120, 121syl5eqel 2494 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V )
123 weeq1 4811 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  (
z  We  A  <->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
) )
124123spcegv 3145 . . . . . 6  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A  ->  E. z 
z  We  A ) )
125119, 122, 1243syl 18 . . . . 5  |-  ( A  e. FinII  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A  ->  E. z 
z  We  A ) )
126125imp 427 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
)  ->  E. z 
z  We  A )
127118, 126syldan 468 . . 3  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  E. z 
z  We  A )
128 ween 8448 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. z 
z  We  A )
129127, 128sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  dom  card )
130 fin23 8801 . . . . 5  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinIII )
131 fin34 8802 . . . . 5  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )
132 fin45 8804 . . . . 5  |-  ( A  e. FinIV  ->  A  e. FinV )
133130, 131, 1323syl 18 . . . 4  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinV )
134 fin56 8805 . . . 4  |-  ( A  e. FinV  ->  A  e. FinVI )
135 fin67 8807 . . . 4  |-  ( A  e. FinVI  ->  A  e. FinVII )
136133, 134, 1353syl 18 . . 3  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinVII )
137 fin71num 8809 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( A  e. FinVII 
<->  A  e.  Fin )
)
138137biimpac 484 . . 3  |-  ( ( A  e. FinVII  /\  A  e.  dom  card )  ->  A  e.  Fin )
139136, 138sylan 469 . 2  |-  ( ( A  e. FinII  /\  A  e.  dom  card )  ->  A  e.  Fin )
140129, 139syldan 468 1  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    \/ w3o 973   A.wal 1403    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   _Vcvv 3059    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ~Pcpw 3955   |^|cint 4227   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    Po wpo 4742    Or wor 4743    Fr wfr 4779    We wwe 4781    X. cxp 4821   dom cdm 4823   ran crn 4824   [ C.] crpss 6561   Fincfn 7554   cardccrd 8348  FinIIcfin2 8691  FinIVcfin4 8692  FinIIIcfin3 8693  FinVcfin5 8694  FinVIcfin6 8695  FinVIIcfin7 8696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-rpss 6562  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-seqom 7150  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-oi 7969  df-wdom 8019  df-card 8352  df-cda 8580  df-fin2 8698  df-fin4 8699  df-fin3 8700  df-fin5 8701  df-fin6 8702  df-fin7 8703
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