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Theorem fin2so 29467
Description: Any totally ordered Tarski-finite set is finite; in particular, no amorphous set can be ordered. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
fin2so  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem fin2so
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  A  e. FinII )
2 ssrab2 3578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { w  e.  x  |  w R v }  C_  x
3 sstr 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { w  e.  x  |  w R v } 
C_  x  /\  x  C_  A )  ->  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )
42, 3mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  A  ->  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )
5 elpw2g 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e. FinII  ->  ( { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  w R v } 
C_  A ) )
65biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e. FinII  /\  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )  ->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
74, 6sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
87ralrimivw 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
9 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  e. 
_V
109rabex 4591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  x  |  w R v }  e.  _V
1110rgenw 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  _V
12 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )
13 eleq1 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
y  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A ) )
1412, 13ralrnmpt 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A 
<-> 
A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A ) )
1511, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A  <->  A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
168, 15sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A )
17 dfss3 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A  <->  A. y  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A )
1816, 17sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) 
C_  ~P A )
1918adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A
)
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) 
C_  ~P A )
2110, 12dmmpti 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  x
2221neeq1i 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) )
23 dm0rn0 5210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  (/) )
2423necon3bii 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2522, 24bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =/=  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2625biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
28 soss 4811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  x ) )
2928impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  ->  R  Or  x )
30 porpss 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- [ C.]  Po  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Or  x  -> [ C.]  Po  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
32 solin 4816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v R y  \/  v  =  y  \/  y R v ) )
33 fin2solem 29466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v R y  ->  { w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
34 breq2 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  y  ->  (
w R v  <->  w R
y ) )
3534rabbidv 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  y  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v  =  y  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
37 fin2solem 29466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  v  e.  x
) )  ->  (
y R v  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
3837ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y R v  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
3933, 36, 383orim123d 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( v R y  \/  v  =  y  \/  y R v )  ->  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4032, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  ( { w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4140ralrimivva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  Or  x  ->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
42 breq1 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  <->  { w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
43 eqeq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
u  =  { w  e.  x  |  w R y }  <->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
44 breq2 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  ( { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u  <->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4542, 43, 443orbi123d 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u )  <->  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4645ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  ( A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4712, 46ralrnmpt 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
)  <->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( { w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4811, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u )  <->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4941, 48sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  Or  x  ->  A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  (
u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u ) )
5049r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  A. y  e.  x  ( u [ C.] 
{ w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) )
519rabex 4591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { w  e.  x  |  w R y }  e.  _V
5251rgenw 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A. y  e.  x  { w  e.  x  |  w R y }  e.  _V
5335cbvmptv 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  ( y  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R y } )
54 breq2 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
u [ C.]  z  <->  u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
55 eqeq2 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
u  =  z  <->  u  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
56 breq1 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
z [ C.]  u  <->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u ) )
5754, 55, 563orbi123d 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <-> 
( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u ) ) )
5853, 57ralrnmpt 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. y  e.  x  {
w  e.  x  |  w R y }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( u [ C.] 
{ w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) ) )
5952, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u ) )
6050, 59sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6160r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  /\  z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6261anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  /\  z  e. 
ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )  ->  ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6331, 62issod 4823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  Or  x  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6429, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6564adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
67 fin2i2 8687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A
)  /\  ( ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )  ->  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
681, 20, 27, 66, 67syl22anc 1224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6953, 51elrnmpti 5244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )
7068, 69sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )
71 ssel2 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  A )
72 sonr 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Or  A  /\  z  e.  A )  ->  -.  z R z )
7371, 72sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  C_  A  /\  z  e.  x )
)  ->  -.  z R z )
7473anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  z  e.  x
)  ->  -.  z R z )
7574adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  ->  -.  z R z )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  -.  z R
z )
77 breq1 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  z  ->  (
w R y  <->  z R
y ) )
7877elrab 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  <->  ( z  e.  x  /\  z R y ) )
7978simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  x  ->  (
z R y  -> 
z  e.  { w  e.  x  |  w R y } ) )
8079ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z  e.  { w  e.  x  |  w R y } ) )
81 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  z  e. 
_V
8281elint2 4282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y )
83 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } ) )
8412, 83ralrnmpt 6021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } ) )
8511, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } )
8682, 85bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } )
87 breq2 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  z  ->  (
w R v  <->  w R
z ) )
8887rabbidv 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  z  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R z } )
8988eleq2d 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  z  ->  (
z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  <->  z  e.  { w  e.  x  |  w R z } ) )
9089rspcv 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  ->  z  e.  { w  e.  x  |  w R z } ) )
91 breq1 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  (
w R z  <->  z R
z ) )
9291elrab 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R z }  <->  ( z  e.  x  /\  z R z ) )
9392simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R z }  ->  z R z )
9490, 93syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  ->  z R z ) )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  {
w  e.  x  |  w R v }  ->  z R z ) )
9686, 95syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  ->  z R
z ) )
97 eleq2 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  z  e.  {
w  e.  x  |  w R y } ) )
9897imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  ->  z R
z )  <->  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) ) )
9996, 98syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z  e. 
{ w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) )
10180, 100syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z R
z ) )
102101adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z R
z ) )
10376, 102mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  -.  z R
y )
104103ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  ->  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  -.  z R
y ) )
105104ralrimdva 2875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x
)  ->  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
106105reximdva 2931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  -> 
( E. y  e.  x  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
107106adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  ->  ( E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
108107adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
10970, 108mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y )
110109expl 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  (
( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
111110alrimiv 1690 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
112 df-fr 4831 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  <->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
113111, 112sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  Fr  A )
114 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  Or  A )
115 df-we 4833 . . . . . 6  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  R  Or  A ) )
116113, 114, 115sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  We  A )
117 weinxp 5059 . . . . 5  |-  ( R  We  A  <->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
)
118116, 117sylib 196 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A )
119 xpexg 6702 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinII  /\  A  e. FinII )  ->  ( A  X.  A
)  e.  _V )
120119anidms 645 . . . . . 6  |-  ( A  e. FinII  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
121 incom 3684 . . . . . . 7  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( A  X.  A )  i^i  R
)
122 inex1g 4583 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  (
( A  X.  A
)  i^i  R )  e.  _V )
123121, 122syl5eqel 2552 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V )
124 weeq1 4860 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  (
z  We  A  <->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
) )
125124spcegv 3192 . . . . . 6  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A  ->  E. z 
z  We  A ) )
126120, 123, 1253syl 20 . . . . 5  |-  ( A  e. FinII  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A  ->  E. z 
z  We  A ) )
127126imp 429 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
)  ->  E. z 
z  We  A )
128118, 127syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  E. z 
z  We  A )
129 ween 8405 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. z 
z  We  A )
130128, 129sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  dom  card )
131 fin23 8758 . . . . 5  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinIII )
132 fin34 8759 . . . . 5  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )
133 fin45 8761 . . . . 5  |-  ( A  e. FinIV  ->  A  e. FinV )
134131, 132, 1333syl 20 . . . 4  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinV )
135 fin56 8762 . . . 4  |-  ( A  e. FinV  ->  A  e. FinVI )
136 fin67 8764 . . . 4  |-  ( A  e. FinVI  ->  A  e. FinVII )
137134, 135, 1363syl 20 . . 3  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinVII )
138 fin71num 8766 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( A  e. FinVII 
<->  A  e.  Fin )
)
139138biimpac 486 . . 3  |-  ( ( A  e. FinVII  /\  A  e.  dom  card )  ->  A  e.  Fin )
140137, 139sylan 471 . 2  |-  ( ( A  e. FinII  /\  A  e.  dom  card )  ->  A  e.  Fin )
141130, 140syldan 470 1  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 967   A.wal 1372    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   |^|cint 4275   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498    Po wpo 4791    Or wor 4792    Fr wfr 4828    We wwe 4830    X. cxp 4990   dom cdm 4992   ran crn 4993   [ C.] crpss 6554   Fincfn 7506   cardccrd 8305  FinIIcfin2 8648  FinIVcfin4 8649  FinIIIcfin3 8650  FinVcfin5 8651  FinVIcfin6 8652  FinVIIcfin7 8653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-rpss 6555  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-seqom 7103  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-oi 7924  df-wdom 7974  df-card 8309  df-cda 8537  df-fin2 8655  df-fin4 8656  df-fin3 8657  df-fin5 8658  df-fin6 8659  df-fin7 8660
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