Theorem fin2so 31925

Description: Any totally ordered Tarski-finite set is finite; in particular, no amorphous set can be ordered. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fin2so	|- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. Fin )

Proof of Theorem fin2so

Dummy variables v u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> A e. FinII )
2		ssrab2 3513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { w e. x | w R v } C_ x
3		sstr 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { w e. x | w R v } C_ x /\ x C_ A ) -> { w e. x | w R v } C_ A )
4	2, 3	mpan 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x C_ A -> { w e. x | w R v } C_ A )
5		elpw2g 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. FinII -> ( { w e. x | w R v } e. ~P A <-> { w e. x | w R v } C_ A ) )
6	5	biimpar 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. FinII /\ { w e. x | w R v } C_ A ) -> { w e. x | w R v } e. ~P A )
7	4, 6	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> { w e. x | w R v } e. ~P A )
8	7	ralrimivw 2802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A )
9		vex 3047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
10	9	rabex 4553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { w e. x | w R v } e. _V
11	10	rgenw 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V
12		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = ( v e. x |-> { w e. x | w R v } )
13		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = { w e. x | w R v } -> ( y e. ~P A <-> { w e. x | w R v } e. ~P A ) )
14	12, 13	ralrnmpt 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A <-> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A ) )
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A <-> A. v e. x { w e. x | w R v } e. ~P A )
16	8, 15	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A )
17		dfss3 3421	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A <-> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) y e. ~P A )
18	16, 17	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. FinII /\ x C_ A ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
19	18	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
20	19	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A )
21	10, 12	dmmpti 5705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = x
22	21	neeq1i 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) <-> x =/= (/) )
23		dm0rn0 5050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = (/) <-> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = (/) )
24	23	necon3bii 2675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) <-> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
25	22, 24	bitr3i 255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x =/= (/) <-> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
26	25	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x =/= (/) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
27	26	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) )
28		soss 4772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ A -> ( R Or A -> R Or x ) )
29	28	impcom 432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> R Or x )
30		porpss 6572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [ C.] Po ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } )
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R Or x -> [ C.] Po ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
32		solin 4777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v R y \/ v = y \/ y R v ) )
33		fin2solem 31924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v R y -> { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } ) )
34		breq2 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = y -> ( w R v <-> w R y ) )
35	34	rabbidv 3035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = y -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( v = y -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } ) )
37		fin2solem 31924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( R Or x /\ ( y e. x /\ v e. x ) ) -> ( y R v -> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
38	37	ancom2s 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( y R v -> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
39	33, 36, 38	3orim123d 1346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( ( v R y \/ v = y \/ y R v ) -> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
40	32, 39	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R Or x /\ ( v e. x /\ y e. x ) ) -> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
41	40	ralrimivva 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R Or x -> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
42		breq1 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( u [ C.] { w e. x | w R y } <-> { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } ) )
43		eqeq1 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( u = { w e. x | w R y } <-> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } ) )
44		breq2 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( { w e. x | w R y } [ C.] u <-> { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
45	42, 43, 44	3orbi123d 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
46	45	ralbidv 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = { w e. x | w R v } -> ( A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
47	12, 46	ralrnmpt 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) ) )
48	11, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) <-> A. v e. x A. y e. x ( { w e. x | w R v } [ C.] { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R v } = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] { w e. x | w R v } ) )
49	41, 48	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R Or x -> A. u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
50	49	r19.21bi 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
51	9	rabex 4553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { w e. x | w R y } e. _V
52	51	rgenw 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A. y e. x { w e. x | w R y } e. _V
53	35	cbvmptv 4494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = ( y e. x |-> { w e. x | w R y } )
54		breq2 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( u [ C.] z <-> u [ C.] { w e. x | w R y } ) )
55		eqeq2 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( u = z <-> u = { w e. x | w R y } ) )
56		breq1 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( z [ C.] u <-> { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
57	54, 55, 56	3orbi123d 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = { w e. x | w R y } -> ( ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) ) )
58	53, 57	ralrnmpt 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. y e. x { w e. x | w R y } e. _V -> ( A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) ) )
59	52, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) <-> A. y e. x ( u [ C.] { w e. x | w R y } \/ u = { w e. x | w R y } \/ { w e. x | w R y } [ C.] u ) )
60	50, 59	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> A. z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
61	60	r19.21bi 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R Or x /\ u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) /\ z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) -> ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
62	61	anasss 652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Or x /\ ( u e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) /\ z e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) ) -> ( u [ C.] z \/ u = z \/ z [ C.] u ) )
63	31, 62	issod 4784	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R Or x -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
64	29, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
65	64	adantll 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
66	65	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
67		fin2i2 8745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. FinII /\ ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) C_ ~P A ) /\ ( ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) =/= (/) /\ [ C.] Or ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) ) ) -> |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
68	1, 20, 27, 66, 67	syl22anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) )
69	53, 51	elrnmpti 5084	. . . . . . . . . . 11 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } )
70	68, 69	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } )
71		ssel2 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x C_ A /\ z e. x ) -> z e. A )
72		sonr 4775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R Or A /\ z e. A ) -> -. z R z )
73	71, 72	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R Or A /\ ( x C_ A /\ z e. x ) ) -> -. z R z )
74	73	anassrs 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ z e. x ) -> -. z R z )
75	74	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) -> -. z R z )
76	75	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> -. z R z )
77		breq1 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = z -> ( w R y <-> z R y ) )
78	77	elrab 3195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. { w e. x | w R y } <-> ( z e. x /\ z R y ) )
79	78	simplbi2 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. x -> ( z R y -> z e. { w e. x | w R y } ) )
80	79	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z e. { w e. x | w R y } ) )
81		vex 3047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- z e. _V
82	81	elint2 4240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y )
83		eleq2 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = { w e. x | w R v } -> ( z e. y <-> z e. { w e. x | w R v } ) )
84	12, 83	ralrnmpt 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. v e. x { w e. x | w R v } e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } ) )
85	11, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A. y e. ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) z e. y <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } )
86	82, 85	bitri 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> A. v e. x z e. { w e. x | w R v } )
87		breq2 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = z -> ( w R v <-> w R z ) )
88	87	rabbidv 3035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = z -> { w e. x | w R v } = { w e. x | w R z } )
89	88	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = z -> ( z e. { w e. x | w R v } <-> z e. { w e. x | w R z } ) )
90	89	rspcv 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. x -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z e. { w e. x | w R z } ) )
91		breq1 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = z -> ( w R z <-> z R z ) )
92	91	elrab 3195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. { w e. x | w R z } <-> ( z e. x /\ z R z ) )
93	92	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. { w e. x | w R z } -> z R z )
94	90, 93	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. x -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z R z ) )
95	94	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( A. v e. x z e. { w e. x | w R v } -> z R z ) )
96	86, 95	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) -> z R z ) )
97		eleq2 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) <-> z e. { w e. x | w R y } ) )
98	97	imbi1d 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( ( z e. |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) -> z R z ) <-> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) ) )
99	96, 98	syl5ibcom 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. x /\ z e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) ) )
100	99	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z e. { w e. x | w R y } -> z R z ) )
101	80, 100	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. x /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z R z ) )
102	101	adantlll 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> ( z R y -> z R z ) )
103	76, 102	mtod 181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) /\ |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } ) -> -. z R y )
104	103	ex 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) /\ z e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> -. z R y ) )
105	104	ralrimdva 2805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R Or A /\ x C_ A ) /\ y e. x ) -> ( |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> A. z e. x -. z R y ) )
106	105	reximdva 2861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Or A /\ x C_ A ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
107	106	adantll 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
108	107	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> ( E. y e. x |^| ran ( v e. x |-> { w e. x | w R v } ) = { w e. x | w R y } -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
109	70, 108	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. FinII /\ R Or A ) /\ x C_ A ) /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y )
110	109	expl 623	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
111	110	alrimiv 1772	. . . . . . 7 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A. x ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
112		df-fr 4792	. . . . . . 7 |- ( R Fr A <-> A. x ( ( x C_ A /\ x =/= (/) ) -> E. y e. x A. z e. x -. z R y ) )
113	111, 112	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R Fr A )
114		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R Or A )
115		df-we 4794	. . . . . 6 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ R Or A ) )
116	113, 114, 115	sylanbrc 669	. . . . 5 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> R We A )
117		weinxp 4901	. . . . 5 |- ( R We A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) We A )
118	116, 117	sylib 200	. . . 4 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> ( R i^i ( A X. A ) ) We A )
119		sqxpexg 6593	. . . . . 6 |- ( A e. FinII -> ( A X. A ) e. _V )
120		incom 3624	. . . . . . 7 |- ( R i^i ( A X. A ) ) = ( ( A X. A ) i^i R )
121		inex1g 4545	. . . . . . 7 |- ( ( A X. A ) e. _V -> ( ( A X. A ) i^i R ) e. _V )
122	120, 121	syl5eqel 2532	. . . . . 6 |- ( ( A X. A ) e. _V -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
123		weeq1 4821	. . . . . . 7 |- ( z = ( R i^i ( A X. A ) ) -> ( z We A <-> ( R i^i ( A X. A ) ) We A ) )
124	123	spcegv 3134	. . . . . 6 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) We A -> E. z z We A ) )
125	119, 122, 124	3syl 18	. . . . 5 |- ( A e. FinII -> ( ( R i^i ( A X. A ) ) We A -> E. z z We A ) )
126	125	imp 431	. . . 4 |- ( ( A e. FinII /\ ( R i^i ( A X. A ) ) We A ) -> E. z z We A )
127	118, 126	syldan 473	. . 3 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> E. z z We A )
128		ween 8463	. . 3 |- ( A e. dom card <-> E. z z We A )
129	127, 128	sylibr 216	. 2 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. dom card )
130		fin23 8816	. . . . 5 |- ( A e. FinII -> A e. FinIII )
131		fin34 8817	. . . . 5 |- ( A e. FinIII -> A e. FinIV )
132		fin45 8819	. . . . 5 |- ( A e. FinIV -> A e. FinV )
133	130, 131, 132	3syl 18	. . . 4 |- ( A e. FinII -> A e. FinV )
134		fin56 8820	. . . 4 |- ( A e. FinV -> A e. FinVI )
135		fin67 8822	. . . 4 |- ( A e. FinVI -> A e. FinVII )
136	133, 134, 135	3syl 18	. . 3 |- ( A e. FinII -> A e. FinVII )
137		fin71num 8824	. . . 4 |- ( A e. dom card -> ( A e. FinVII <-> A e. Fin ) )
138	137	biimpac 489	. . 3 |- ( ( A e. FinVII /\ A e. dom card ) -> A e. Fin )
139	136, 138	sylan 474	. 2 |- ( ( A e. FinII /\ A e. dom card ) -> A e. Fin )
140	129, 139	syldan 473	1 |- ( ( A e. FinII /\ R Or A ) -> A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   \/ w3o 983   A.wal 1441   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   i^i cin 3402   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   |^|cint 4233   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   Po wpo 4752   Or wor 4753   Fr wfr 4789   We wwe 4791   X. cxp 4831   dom cdm 4833   ran crn 4834   [ C.] crpss 6567   Fincfn 7566   cardccrd 8366  Fin^IIcfin2 8706  Fin^IVcfin4 8707  Fin^IIIcfin3 8708  Fin^Vcfin5 8709  Fin^VIcfin6 8710  Fin^VIIcfin7 8711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-rpss 6568  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-seqom 7162  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-oi 8022  df-wdom 8071  df-card 8370  df-cda 8595  df-fin2 8713  df-fin4 8714  df-fin3 8715  df-fin5 8716  df-fin6 8717  df-fin7 8718

This theorem is referenced by: (None)