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Theorem fin2so 31996
Description: Any totally ordered Tarski-finite set is finite; in particular, no amorphous set can be ordered. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
fin2so  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem fin2so
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  A  e. FinII )
2 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { w  e.  x  |  w R v }  C_  x
3 sstr 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { w  e.  x  |  w R v } 
C_  x  /\  x  C_  A )  ->  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )
42, 3mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  A  ->  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )
5 elpw2g 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e. FinII  ->  ( { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  w R v } 
C_  A ) )
65biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e. FinII  /\  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )  ->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
74, 6sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
87ralrimivw 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
9 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  e. 
_V
109rabex 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  x  |  w R v }  e.  _V
1110rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  _V
12 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )
13 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
y  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A ) )
1412, 13ralrnmpt 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A 
<-> 
A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A ) )
1511, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A  <->  A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
168, 15sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A )
17 dfss3 3408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A  <->  A. y  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A )
1816, 17sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) 
C_  ~P A )
1918adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A
)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) 
C_  ~P A )
2110, 12dmmpti 5717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  x
2221neeq1i 2707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) )
23 dm0rn0 5057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  (/) )
2423necon3bii 2695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2522, 24sylbb1 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2625adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
27 soss 4778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  x ) )
2827impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  ->  R  Or  x )
29 porpss 6594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- [ C.]  Po  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Or  x  -> [ C.]  Po  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
31 solin 4783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v R y  \/  v  =  y  \/  y R v ) )
32 fin2solem 31995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v R y  ->  { w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
33 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  y  ->  (
w R v  <->  w R
y ) )
3433rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  y  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v  =  y  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
36 fin2solem 31995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  v  e.  x
) )  ->  (
y R v  ->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
3736ancom2s 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y R v  ->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
3832, 35, 373orim123d 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( v R y  \/  v  =  y  \/  y R v )  ->  ( {
w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
3931, 38mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  ( { w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4039ralrimivva 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  Or  x  ->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
41 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  <->  { w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
42 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
u  =  { w  e.  x  |  w R y }  <->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
43 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  ( { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u  <->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4441, 42, 433orbi123d 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u )  <->  ( {
w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4544ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  ( A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4612, 45ralrnmpt 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
)  <->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( { w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4711, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u )  <->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4840, 47sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  Or  x  ->  A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  (
u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) )
4948r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  A. y  e.  x  ( u [ C.] 
{ w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) )
509rabex 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { w  e.  x  |  w R y }  e.  _V
5150rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A. y  e.  x  { w  e.  x  |  w R y }  e.  _V
5234cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  ( y  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R y } )
53 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
u [ C.]  z  <->  u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
54 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
u  =  z  <->  u  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
55 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
z [ C.]  u  <->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) )
5653, 54, 553orbi123d 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <-> 
( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u ) ) )
5752, 56ralrnmpt 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. y  e.  x  {
w  e.  x  |  w R y }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u
)  <->  A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u ) ) )
5851, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u ) )
5949, 58sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6059r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  /\  z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u
) )
6160anasss 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  /\  z  e. 
ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )  ->  ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6230, 61issod 4790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  Or  x  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6328, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  -> [ C.] 
Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6463adantll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
66 fin2i2 8766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A
)  /\  ( ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )  ->  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e. 
ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
671, 20, 26, 65, 66syl22anc 1293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6852, 50elrnmpti 5091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )
6967, 68sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )
70 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  A )
71 sonr 4781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Or  A  /\  z  e.  A )  ->  -.  z R z )
7270, 71sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  C_  A  /\  z  e.  x )
)  ->  -.  z R z )
7372anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  z  e.  x
)  ->  -.  z R z )
7473adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  ->  -.  z R z )
7574adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  -.  z R
z )
76 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  z  ->  (
w R y  <->  z R
y ) )
7776elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  <->  ( z  e.  x  /\  z R y ) )
7877simplbi2 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  x  ->  (
z R y  -> 
z  e.  { w  e.  x  |  w R y } ) )
7978ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z  e.  { w  e.  x  |  w R y } ) )
80 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  z  e. 
_V
8180elint2 4233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y )
82 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } ) )
8312, 82ralrnmpt 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } ) )
8411, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } )
8581, 84bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } )
86 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  z  ->  (
w R v  <->  w R
z ) )
8786rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  z  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R z } )
8887eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  z  ->  (
z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  <->  z  e.  { w  e.  x  |  w R z } ) )
8988rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  ->  z  e.  { w  e.  x  |  w R z } ) )
90 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  (
w R z  <->  z R
z ) )
9190elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R z }  <->  ( z  e.  x  /\  z R z ) )
9291simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R z }  ->  z R z )
9389, 92syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  ->  z R z ) )
9493adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  {
w  e.  x  |  w R v }  ->  z R z ) )
9585, 94syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  ->  z R
z ) )
96 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  z  e.  {
w  e.  x  |  w R y } ) )
9796imbi1d 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  ->  z R
z )  <->  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) ) )
9895, 97syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) ) )
9998imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z  e. 
{ w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) )
10079, 99syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z R
z ) )
101100adantlll 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z R
z ) )
10275, 101mtod 182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  -.  z R
y )
103102ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  ->  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  -.  z R
y ) )
104103ralrimdva 2812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x
)  ->  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
105104reximdva 2858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  -> 
( E. y  e.  x  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
106105adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  ->  ( E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
107106adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
10869, 107mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y )
109108expl 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  (
( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
110109alrimiv 1781 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
111 df-fr 4798 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  <->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
112110, 111sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  Fr  A )
113 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  Or  A )
114 df-we 4800 . . . . . 6  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  R  Or  A ) )
115112, 113, 114sylanbrc 677 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  We  A )
116 weinxp 4907 . . . . 5  |-  ( R  We  A  <->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
)
117115, 116sylib 201 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A )
118 sqxpexg 6615 . . . . . 6  |-  ( A  e. FinII  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
119 incom 3616 . . . . . . 7  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( A  X.  A )  i^i  R
)
120 inex1g 4539 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  (
( A  X.  A
)  i^i  R )  e.  _V )
121119, 120syl5eqel 2553 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V )
122 weeq1 4827 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  (
z  We  A  <->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
) )
123122spcegv 3121 . . . . . 6  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A  ->  E. z 
z  We  A ) )
124118, 121, 1233syl 18 . . . . 5  |-  ( A  e. FinII  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A  ->  E. z 
z  We  A ) )
125124imp 436 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
)  ->  E. z 
z  We  A )
126117, 125syldan 478 . . 3  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  E. z 
z  We  A )
127 ween 8484 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. z 
z  We  A )
128126, 127sylibr 217 . 2  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  dom  card )
129 fin23 8837 . . . . 5  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinIII )
130 fin34 8838 . . . . 5  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )
131 fin45 8840 . . . . 5  |-  ( A  e. FinIV  ->  A  e. FinV )
132129, 130, 1313syl 18 . . . 4  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinV )
133 fin56 8841 . . . 4  |-  ( A  e. FinV  ->  A  e. FinVI )
134 fin67 8843 . . . 4  |-  ( A  e. FinVI  ->  A  e. FinVII )
135132, 133, 1343syl 18 . . 3  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinVII )
136 fin71num 8845 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( A  e. FinVII 
<->  A  e.  Fin )
)
137136biimpac 494 . . 3  |-  ( ( A  e. FinVII  /\  A  e.  dom  card )  ->  A  e.  Fin )
138135, 137sylan 479 . 2  |-  ( ( A  e. FinII  /\  A  e.  dom  card )  ->  A  e.  Fin )
139128, 138syldan 478 1  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    \/ w3o 1006   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   |^|cint 4226   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Po wpo 4758    Or wor 4759    Fr wfr 4795    We wwe 4797    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   [ C.] crpss 6589   Fincfn 7587   cardccrd 8387  FinIIcfin2 8727  FinIVcfin4 8728  FinIIIcfin3 8729  FinVcfin5 8730  FinVIcfin6 8731  FinVIIcfin7 8732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-rpss 6590  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-seqom 7183  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-wdom 8092  df-card 8391  df-cda 8616  df-fin2 8734  df-fin4 8735  df-fin3 8736  df-fin5 8737  df-fin6 8738  df-fin7 8739
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