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Theorem fin2so 28387
Description: Any totally ordered Tarski-finite set is finite; in particular, no amorphous set can be ordered. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
fin2so  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem fin2so
Dummy variables  v  u  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  A  e. FinII )
2 ssrab2 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { w  e.  x  |  w R v }  C_  x
3 sstr 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { w  e.  x  |  w R v } 
C_  x  /\  x  C_  A )  ->  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )
42, 3mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x 
C_  A  ->  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )
5 elpw2g 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e. FinII  ->  ( { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  w R v } 
C_  A ) )
65biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e. FinII  /\  { w  e.  x  |  w R v }  C_  A )  ->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
74, 6sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
87ralrimivw 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
9 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  x  e. 
_V
109rabex 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  x  |  w R v }  e.  _V
1110rgenw 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  _V
12 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )
13 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
y  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A ) )
1412, 13ralrnmpt 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A 
<-> 
A. v  e.  x  { w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A ) )
1511, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A  <->  A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  ~P A )
168, 15sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A )
17 dfss3 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A  <->  A. y  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) y  e.  ~P A )
1816, 17sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. FinII  /\  x  C_  A
)  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) 
C_  ~P A )
1918adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A
)
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) 
C_  ~P A )
2110, 12dmmpti 5535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  x
2221neeq1i 2613 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  <->  x  =/=  (/) )
23 dm0rn0 5051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  (/) )
2423necon3bii 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2522, 24bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =/=  (/)  <->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2625biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =/=  (/)  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/) )
28 soss 4654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  x ) )
2928impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  ->  R  Or  x )
30 porpss 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- [ C.]  Po  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Or  x  -> [ C.]  Po  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
32 solin 4659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v R y  \/  v  =  y  \/  y R v ) )
33 fin2solem 28386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v R y  ->  { w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
34 breq2 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  y  ->  (
w R v  <->  w R
y ) )
3534rabbidv 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  y  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } )
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
v  =  y  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
37 fin2solem 28386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( y  e.  x  /\  v  e.  x
) )  ->  (
y R v  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
3837ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
y R v  ->  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
3933, 36, 383orim123d 1297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( v R y  \/  v  =  y  \/  y R v )  ->  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4032, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( v  e.  x  /\  y  e.  x
) )  ->  ( { w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4140ralrimivva 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  Or  x  ->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
42 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  <->  { w  e.  x  |  w R v } [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
43 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
u  =  { w  e.  x  |  w R y }  <->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
44 breq2 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  ( { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u  <->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4542, 43, 443orbi123d 1288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u )  <->  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4645ralbidv 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  ( A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4712, 46ralrnmpt 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
)  <->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( { w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )
4811, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u )  <->  A. v  e.  x  A. y  e.  x  ( {
w  e.  x  |  w R v } [
C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R v }  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  { w  e.  x  |  w R v } ) )
4941, 48sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  Or  x  ->  A. u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) A. y  e.  x  (
u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u ) )
5049r19.21bi 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  A. y  e.  x  ( u [ C.] 
{ w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) )
519rabex 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { w  e.  x  |  w R y }  e.  _V
5251rgenw 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A. y  e.  x  { w  e.  x  |  w R y }  e.  _V
5335cbvmptv 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  ( y  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R y } )
54 breq2 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
u [ C.]  z  <->  u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y } ) )
55 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
u  =  z  <->  u  =  { w  e.  x  |  w R y } ) )
56 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
z [ C.]  u  <->  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u ) )
5754, 55, 563orbi123d 1288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  (
( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <-> 
( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u ) ) )
5853, 57ralrnmpt 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. y  e.  x  {
w  e.  x  |  w R y }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( u [ C.] 
{ w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  {
w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [ C.]  u
) ) )
5952, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u )  <->  A. y  e.  x  ( u [ C.]  { w  e.  x  |  w R y }  \/  u  =  { w  e.  x  |  w R y }  \/  { w  e.  x  |  w R y } [
C.]  u ) )
6050, 59sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  A. z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6160r19.21bi 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  Or  x  /\  u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  /\  z  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )  ->  ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6261anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Or  x  /\  ( u  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  /\  z  e. 
ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )  ->  ( u [ C.]  z  \/  u  =  z  \/  z [ C.]  u ) )
6331, 62issod 4666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  Or  x  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6429, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6564adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
67 fin2i2 8479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  C_  ~P A
)  /\  ( ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) ) )  ->  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
681, 20, 27, 66, 67syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) )
6953, 51elrnmpti 5085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  e.  ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )
7068, 69sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )
71 ssel2 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  C_  A  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  A )
72 sonr 4657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  Or  A  /\  z  e.  A )  ->  -.  z R z )
7371, 72sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  C_  A  /\  z  e.  x )
)  ->  -.  z R z )
7473anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  z  e.  x
)  ->  -.  z R z )
7574adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  ->  -.  z R z )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  -.  z R
z )
77 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  z  ->  (
w R y  <->  z R
y ) )
7877elrab 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  <->  ( z  e.  x  /\  z R y ) )
7978simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  x  ->  (
z R y  -> 
z  e.  { w  e.  x  |  w R y } ) )
8079ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z  e.  { w  e.  x  |  w R y } ) )
81 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  z  e. 
_V
8281elint2 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y )
83 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  { w  e.  x  |  w R v }  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } ) )
8412, 83ralrnmpt 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. v  e.  x  {
w  e.  x  |  w R v }  e.  _V  ->  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } ) )
8511, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. y  e.  ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } ) z  e.  y  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } )
8682, 85bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v } )
87 breq2 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  z  ->  (
w R v  <->  w R
z ) )
8887rabbidv 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  z  ->  { w  e.  x  |  w R v }  =  { w  e.  x  |  w R z } )
8988eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  =  z  ->  (
z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  <->  z  e.  { w  e.  x  |  w R z } ) )
9089rspcv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  ->  z  e.  { w  e.  x  |  w R z } ) )
91 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  z  ->  (
w R z  <->  z R
z ) )
9291elrab 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R z }  <->  ( z  e.  x  /\  z R z ) )
9392simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R z }  ->  z R z )
9490, 93syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  x  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  { w  e.  x  |  w R v }  ->  z R z ) )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( A. v  e.  x  z  e.  {
w  e.  x  |  w R v }  ->  z R z ) )
9686, 95syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  ->  z R
z ) )
97 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  <->  z  e.  {
w  e.  x  |  w R y } ) )
9897imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( ( z  e.  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  ->  z R
z )  <->  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) ) )
9996, 98syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x )  ->  ( |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  ( z  e.  { w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z  e. 
{ w  e.  x  |  w R y }  ->  z R z ) )
10180, 100syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  z  e.  x
)  /\  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z R
z ) )
102101adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  ( z R y  ->  z R
z ) )
10376, 102mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  /\  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y } )  ->  -.  z R
y )
104103ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A
)  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  x )  ->  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  -.  z R
y ) )
105104ralrimdva 2801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  /\  y  e.  x
)  ->  ( |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
106105reximdva 2823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  C_  A )  -> 
( E. y  e.  x  |^| ran  (
v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
107106adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A )  ->  ( E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
108107adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  ( E. y  e.  x  |^| ran  ( v  e.  x  |->  { w  e.  x  |  w R v } )  =  { w  e.  x  |  w R y }  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
10970, 108mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  /\  x  C_  A
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y )
110109expl 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  (
( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
111110alrimiv 1685 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
112 df-fr 4674 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  <->  A. x
( ( x  C_  A  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  -.  z R y ) )
113111, 112sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  Fr  A )
114 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  Or  A )
115 df-we 4676 . . . . . 6  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  R  Or  A ) )
116113, 114, 115sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  R  We  A )
117 weinxp 4901 . . . . 5  |-  ( R  We  A  <->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
)
118116, 117sylib 196 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A )
119 xpexg 6502 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. FinII  /\  A  e. FinII )  ->  ( A  X.  A
)  e.  _V )
120119anidms 645 . . . . . 6  |-  ( A  e. FinII  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
121 incom 3538 . . . . . . 7  |-  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( A  X.  A )  i^i  R
)
122 inex1g 4430 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  (
( A  X.  A
)  i^i  R )  e.  _V )
123121, 122syl5eqel 2522 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  A )  e.  _V  ->  ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e. 
_V )
124 weeq1 4703 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  (
z  We  A  <->  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
) )
125124spcegv 3053 . . . . . 6  |-  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  _V  ->  (
( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A  ->  E. z 
z  We  A ) )
126120, 123, 1253syl 20 . . . . 5  |-  ( A  e. FinII  ->  ( ( R  i^i  ( A  X.  A ) )  We  A  ->  E. z 
z  We  A ) )
127126imp 429 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinII  /\  ( R  i^i  ( A  X.  A
) )  We  A
)  ->  E. z 
z  We  A )
128118, 127syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  E. z 
z  We  A )
129 ween 8197 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. z 
z  We  A )
130128, 129sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  dom  card )
131 fin23 8550 . . . . 5  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinIII )
132 fin34 8551 . . . . 5  |-  ( A  e. FinIII  ->  A  e. FinIV )
133 fin45 8553 . . . . 5  |-  ( A  e. FinIV  ->  A  e. FinV )
134131, 132, 1333syl 20 . . . 4  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinV )
135 fin56 8554 . . . 4  |-  ( A  e. FinV  ->  A  e. FinVI )
136 fin67 8556 . . . 4  |-  ( A  e. FinVI  ->  A  e. FinVII )
137134, 135, 1363syl 20 . . 3  |-  ( A  e. FinII  ->  A  e. FinVII )
138 fin71num 8558 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( A  e. FinVII 
<->  A  e.  Fin )
)
139138biimpac 486 . . 3  |-  ( ( A  e. FinVII  /\  A  e.  dom  card )  ->  A  e.  Fin )
140137, 139sylan 471 . 2  |-  ( ( A  e. FinII  /\  A  e.  dom  card )  ->  A  e.  Fin )
141130, 140syldan 470 1  |-  ( ( A  e. FinII  /\  R  Or  A )  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ~Pcpw 3855   |^|cint 4123   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    Po wpo 4634    Or wor 4635    Fr wfr 4671    We wwe 4673    X. cxp 4833   dom cdm 4835   ran crn 4836   [ C.] crpss 6354   Fincfn 7302   cardccrd 8097  FinIIcfin2 8440  FinIVcfin4 8441  FinIIIcfin3 8442  FinVcfin5 8443  FinVIcfin6 8444  FinVIIcfin7 8445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-rpss 6355  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-seqom 6895  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-oi 7716  df-wdom 7766  df-card 8101  df-cda 8329  df-fin2 8447  df-fin4 8448  df-fin3 8449  df-fin5 8450  df-fin6 8451  df-fin7 8452
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