Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin2i2 Structured version   Unicode version

Theorem fin2i2 8730
 Description: A II-finite set contains minimal elements for every nonempty chain. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin2i2 FinII []

Proof of Theorem fin2i2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . 3 FinII []
2 simpll 752 . . . . 5 FinII [] FinII
3 ssrab2 3524 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5 FinII []
5 simprl 756 . . . . . 6 FinII []
6 fin23lem7 8728 . . . . . 6 FinII
72, 1, 5, 6syl3anc 1230 . . . . 5 FinII []
8 sorpsscmpl 6573 . . . . . 6 [] []
98ad2antll 727 . . . . 5 FinII [] []
10 fin2i 8707 . . . . 5 FinII []
112, 4, 7, 9, 10syl22anc 1231 . . . 4 FinII []
12 sorpssuni 6571 . . . . 5 []
139, 12syl 17 . . . 4 FinII []
1411, 13mpbird 232 . . 3 FinII []
15 psseq2 3531 . . . 4
16 psseq2 3531 . . . 4
17 pssdifcom2 3858 . . . 4
1815, 16, 17fin23lem11 8729 . . 3
191, 14, 18sylc 59 . 2 FinII []
20 sorpssint 6572 . . 3 []
2120ad2antll 727 . 2 FinII []
2219, 21mpbid 210 1 FinII []
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367   wcel 1842   wne 2598  wral 2754  wrex 2755  crab 2758   cdif 3411   wss 3414   wpss 3415  c0 3738  cpw 3955  cuni 4191  cint 4227   wor 4743   [] crpss 6561  FinIIcfin2 8691 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-br 4396  df-opab 4454  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-rpss 6562  df-fin2 8698 This theorem is referenced by:  isfin2-2  8731  fin23lem40  8763  fin2so  31412
 Copyright terms: Public domain W3C validator