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Theorem fin23lem41 8517
Description: Lemma for fin23 8554. A set which satisfies the descending sequence condition must be III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem40.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
Assertion
Ref Expression
fin23lem41  |-  ( A  e.  F  ->  A  e. FinIII )
Distinct variable groups:    g, a, x, A    F, a
Allowed substitution hints:    F( x, g)

Proof of Theorem fin23lem41
Dummy variables  b 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7317 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  ~P A  ->  E. b 
b : om -1-1-> ~P A )
2 fin23lem40.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
32fin23lem33 8510 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  F  ->  E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )
43adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )
5 ssv 3373 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P A  C_ 
_V
6 f1ss 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  ~P A  C_  _V )  ->  b : om -1-1-> _V )
75, 6mpan2 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  b : om -1-1-> _V )
87ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  -> 
b : om -1-1-> _V )
9 f1f 5603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  b : om --> ~P A
)
10 frn 5562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b : om --> ~P A  ->  ran  b  C_  ~P A )
11 uniss 4109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  b  C_  ~P A  ->  U. ran  b  C_  U. ~P A )
129, 10, 113syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  U. ran  b  C_  U. ~P A )
13 unipw 4539 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ~P A  =  A
1412, 13syl6sseq 3399 . . . . . . . . . 10  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  U. ran  b  C_  A )
1514ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  U. ran  b  C_  A
)
16 f1eq1 5598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  (
d : om -1-1-> _V  <->  e : om -1-1-> _V )
)
17 rneq 5061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  e  ->  ran  d  =  ran  e )
1817unieqd 4098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  U. ran  d  =  U. ran  e
)
1918sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  ( U. ran  d  C_  A  <->  U.
ran  e  C_  A
) )
2016, 19anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  e  ->  (
( d : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  d  C_  A )  <->  ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A ) ) )
21 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  (
c `  d )  =  ( c `  e ) )
22 f1eq1 5598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c `  d )  =  ( c `  e )  ->  (
( c `  d
) : om -1-1-> _V  <->  ( c `  e ) : om -1-1-> _V )
)
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  (
( c `  d
) : om -1-1-> _V  <->  ( c `  e ) : om -1-1-> _V )
)
2421rneqd 5063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  e  ->  ran  ( c `  d
)  =  ran  (
c `  e )
)
2524unieqd 4098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  U. ran  ( c `  d
)  =  U. ran  ( c `  e
) )
2625, 18psseq12d 3447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  ( U. ran  ( c `  d )  C.  U. ran  d 
<-> 
U. ran  ( c `  e )  C.  U. ran  e ) )
2723, 26anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( c `  d ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 d )  C.  U.
ran  d )  <->  ( (
c `  e ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  e
)  C.  U. ran  e
) ) )
2820, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( d : om -1-1-> _V  /\  U. ran  d  C_  A )  -> 
( ( c `  d ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 d )  C.  U.
ran  d ) )  <-> 
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) ) )
2928cbvalv 1976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) )  <->  A. e
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) )
3029biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) )  ->  A. e
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) )
3130adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  A. e ( ( e : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  e  C_  A
)  ->  ( (
c `  e ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  e
)  C.  U. ran  e
) ) )
32 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( c ,  b )  |`  om )  =  ( rec (
c ,  b )  |`  om )
332, 8, 15, 31, 32fin23lem39 8515 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  -.  A  e.  F
)
344, 33exlimddv 1697 . . . . . . 7  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  -.  A  e.  F )
3534pm2.01da 440 . . . . . 6  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  -.  A  e.  F
)
3635exlimiv 1693 . . . . 5  |-  ( E. b  b : om -1-1-> ~P A  ->  -.  A  e.  F )
371, 36syl 16 . . . 4  |-  ( om  ~<_  ~P A  ->  -.  A  e.  F )
3837con2i 120 . . 3  |-  ( A  e.  F  ->  -.  om  ~<_  ~P A )
39 pwexg 4473 . . . 4  |-  ( A  e.  F  ->  ~P A  e.  _V )
40 isfin4-2 8479 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P A
) )
4139, 40syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  F  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P A
) )
4238, 41mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  F  ->  ~P A  e. FinIV )
43 isfin3 8461 . 2  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
4442, 43sylibr 212 1  |-  ( A  e.  F  ->  A  e. FinIII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3325    C. wpss 3326   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   |^|cint 4125   class class class wbr 4289   suc csuc 4717   ran crn 4837    |` cres 4838   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   omcom 6475   reccrdg 6861    ^m cmap 7210    ~<_ cdom 7304  FinIVcfin4 8445  FinIIIcfin3 8446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-seqom 6899  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-fin4 8452  df-fin3 8453
This theorem is referenced by:  isf33lem  8531
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