Theorem fin23lem41 8524

Description: Lemma for fin23 8561. A set which satisfies the descending sequence condition must be III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem40.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }

Assertion

Ref	Expression
fin23lem41	|- ( A e. F -> A e. FinIII )

Distinct variable groups:   g, a, x, A   F, a

Allowed substitution hints:   F( x, g)

Proof of Theorem fin23lem41

Dummy variables b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 7324	. . . . 5 |- ( om ~<_ ~P A -> E. b b : om -1-1-> ~P A )
2		fin23lem40.f	. . . . . . . . . 10 |- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
3	2	fin23lem33 8517	. . . . . . . . 9 |- ( A e. F -> E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) )
4	3	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) -> E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) )
5		ssv 3379	. . . . . . . . . . 11 |- ~P A C_ _V
6		f1ss 5614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ ~P A C_ _V ) -> b : om -1-1-> _V )
7	5, 6	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> b : om -1-1-> _V )
8	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> b : om -1-1-> _V )
9		f1f 5609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> b : om --> ~P A )
10		frn 5568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b : om --> ~P A -> ran b C_ ~P A )
11		uniss 4115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran b C_ ~P A -> U. ran b C_ U. ~P A )
12	9, 10, 11	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> U. ran b C_ U. ~P A )
13		unipw 4545	. . . . . . . . . . 11 |- U. ~P A = A
14	12, 13	syl6sseq 3405	. . . . . . . . . 10 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> U. ran b C_ A )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> U. ran b C_ A )
16		f1eq1 5604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( d : om -1-1-> _V <-> e : om -1-1-> _V ) )
17		rneq 5068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = e -> ran d = ran e )
18	17	unieqd 4104	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> U. ran d = U. ran e )
19	18	sseq1d 3386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( U. ran d C_ A <-> U. ran e C_ A ) )
20	16, 19	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = e -> ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) <-> ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) ) )
21		fveq2 5694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> ( c ` d ) = ( c ` e ) )
22		f1eq1 5604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c ` d ) = ( c ` e ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V <-> ( c ` e ) : om -1-1-> _V ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V <-> ( c ` e ) : om -1-1-> _V ) )
24	21	rneqd 5070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = e -> ran ( c ` d ) = ran ( c ` e ) )
25	24	unieqd 4104	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> U. ran ( c ` d ) = U. ran ( c ` e ) )
26	25, 18	psseq12d 3453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( U. ran ( c ` d ) C. U. ran d <-> U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) )
27	23, 26	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = e -> ( ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) <-> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
28	20, 27	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = e -> ( ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) <-> ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) ) )
29	28	cbvalv 1971	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) <-> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
30	29	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) -> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
32		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( c , b ) |` om ) = ( rec ( c , b ) |` om )
33	2, 8, 15, 31, 32	fin23lem39 8522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> -. A e. F )
34	4, 33	exlimddv 1692	. . . . . . 7 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) -> -. A e. F )
35	34	pm2.01da 442	. . . . . 6 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> -. A e. F )
36	35	exlimiv 1688	. . . . 5 |- ( E. b b : om -1-1-> ~P A -> -. A e. F )
37	1, 36	syl 16	. . . 4 |- ( om ~<_ ~P A -> -. A e. F )
38	37	con2i 120	. . 3 |- ( A e. F -> -. om ~<_ ~P A )
39		pwexg 4479	. . . 4 |- ( A e. F -> ~P A e. _V )
40		isfin4-2 8486	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P A ) )
41	39, 40	syl 16	. . 3 |- ( A e. F -> ( ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P A ) )
42	38, 41	mpbird 232	. 2 |- ( A e. F -> ~P A e. FinIV )
43		isfin3 8468	. 2 |- ( A e. FinIII <-> ~P A e. FinIV )
44	42, 43	sylibr 212	1 |- ( A e. F -> A e. FinIII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   _Vcvv 2975   C_ wss 3331   C. wpss 3332   ~Pcpw 3863   U.cuni 4094   |^|cint 4131   class class class wbr 4295   suc csuc 4724   ran crn 4844   |` cres 4845   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   omcom 6479   reccrdg 6868   ^m cmap 7217   ~<_ cdom 7311  Fin^IVcfin4 8452  Fin^IIIcfin3 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-seqom 6906  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-card 8112  df-fin4 8459  df-fin3 8460

This theorem is referenced by:  isf33lem  8538