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Theorem fin23lem41 8800
Description: Lemma for fin23 8837. A set which satisfies the descending sequence condition must be III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem40.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
Assertion
Ref Expression
fin23lem41  |-  ( A  e.  F  ->  A  e. FinIII )
Distinct variable groups:    g, a, x, A    F, a
Allowed substitution hints:    F( x, g)

Proof of Theorem fin23lem41
Dummy variables  b 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7598 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  ~P A  ->  E. b 
b : om -1-1-> ~P A )
2 fin23lem40.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
32fin23lem33 8793 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  F  ->  E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )
43adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )
5 ssv 3438 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P A  C_ 
_V
6 f1ss 5797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  ~P A  C_  _V )  ->  b : om -1-1-> _V )
75, 6mpan2 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  b : om -1-1-> _V )
87ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  -> 
b : om -1-1-> _V )
9 f1f 5792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  b : om --> ~P A
)
10 frn 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b : om --> ~P A  ->  ran  b  C_  ~P A )
11 uniss 4211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  b  C_  ~P A  ->  U. ran  b  C_  U. ~P A )
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  U. ran  b  C_  U. ~P A )
13 unipw 4650 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ~P A  =  A
1412, 13syl6sseq 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  U. ran  b  C_  A )
1514ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  U. ran  b  C_  A
)
16 f1eq1 5787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  (
d : om -1-1-> _V  <->  e : om -1-1-> _V )
)
17 rneq 5066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  e  ->  ran  d  =  ran  e )
1817unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  U. ran  d  =  U. ran  e
)
1918sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  ( U. ran  d  C_  A  <->  U.
ran  e  C_  A
) )
2016, 19anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  e  ->  (
( d : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  d  C_  A )  <->  ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A ) ) )
21 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  (
c `  d )  =  ( c `  e ) )
22 f1eq1 5787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c `  d )  =  ( c `  e )  ->  (
( c `  d
) : om -1-1-> _V  <->  ( c `  e ) : om -1-1-> _V )
)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  (
( c `  d
) : om -1-1-> _V  <->  ( c `  e ) : om -1-1-> _V )
)
2421rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  e  ->  ran  ( c `  d
)  =  ran  (
c `  e )
)
2524unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  U. ran  ( c `  d
)  =  U. ran  ( c `  e
) )
2625, 18psseq12d 3513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  ( U. ran  ( c `  d )  C.  U. ran  d 
<-> 
U. ran  ( c `  e )  C.  U. ran  e ) )
2723, 26anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( c `  d ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 d )  C.  U.
ran  d )  <->  ( (
c `  e ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  e
)  C.  U. ran  e
) ) )
2820, 27imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( d : om -1-1-> _V  /\  U. ran  d  C_  A )  -> 
( ( c `  d ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 d )  C.  U.
ran  d ) )  <-> 
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) ) )
2928cbvalv 2129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) )  <->  A. e
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) )
3029biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) )  ->  A. e
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) )
3130adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  A. e ( ( e : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  e  C_  A
)  ->  ( (
c `  e ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  e
)  C.  U. ran  e
) ) )
32 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( c ,  b )  |`  om )  =  ( rec (
c ,  b )  |`  om )
332, 8, 15, 31, 32fin23lem39 8798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  -.  A  e.  F
)
344, 33exlimddv 1789 . . . . . . 7  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  -.  A  e.  F )
3534pm2.01da 449 . . . . . 6  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  -.  A  e.  F
)
3635exlimiv 1784 . . . . 5  |-  ( E. b  b : om -1-1-> ~P A  ->  -.  A  e.  F )
371, 36syl 17 . . . 4  |-  ( om  ~<_  ~P A  ->  -.  A  e.  F )
3837con2i 124 . . 3  |-  ( A  e.  F  ->  -.  om  ~<_  ~P A )
39 pwexg 4585 . . . 4  |-  ( A  e.  F  ->  ~P A  e.  _V )
40 isfin4-2 8762 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P A
) )
4139, 40syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  F  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P A
) )
4238, 41mpbird 240 . 2  |-  ( A  e.  F  ->  ~P A  e. FinIV )
43 isfin3 8744 . 2  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
4442, 43sylibr 217 1  |-  ( A  e.  F  ->  A  e. FinIII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390    C. wpss 3391   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|cint 4226   class class class wbr 4395   ran crn 4840    |` cres 4841   suc csuc 5432   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711   reccrdg 7145    ^m cmap 7490    ~<_ cdom 7585  FinIVcfin4 8728  FinIIIcfin3 8729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-seqom 7183  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-fin4 8735  df-fin3 8736
This theorem is referenced by:  isf33lem  8814
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