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Theorem fin23lem41 8524
Description: Lemma for fin23 8561. A set which satisfies the descending sequence condition must be III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem40.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
Assertion
Ref Expression
fin23lem41  |-  ( A  e.  F  ->  A  e. FinIII )
Distinct variable groups:    g, a, x, A    F, a
Allowed substitution hints:    F( x, g)

Proof of Theorem fin23lem41
Dummy variables  b 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 7324 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  ~P A  ->  E. b 
b : om -1-1-> ~P A )
2 fin23lem40.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
32fin23lem33 8517 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  F  ->  E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )
43adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )
5 ssv 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P A  C_ 
_V
6 f1ss 5614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  ~P A  C_  _V )  ->  b : om -1-1-> _V )
75, 6mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  b : om -1-1-> _V )
87ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  -> 
b : om -1-1-> _V )
9 f1f 5609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  b : om --> ~P A
)
10 frn 5568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b : om --> ~P A  ->  ran  b  C_  ~P A )
11 uniss 4115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  b  C_  ~P A  ->  U. ran  b  C_  U. ~P A )
129, 10, 113syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  U. ran  b  C_  U. ~P A )
13 unipw 4545 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ~P A  =  A
1412, 13syl6sseq 3405 . . . . . . . . . 10  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  U. ran  b  C_  A )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  U. ran  b  C_  A
)
16 f1eq1 5604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  (
d : om -1-1-> _V  <->  e : om -1-1-> _V )
)
17 rneq 5068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  e  ->  ran  d  =  ran  e )
1817unieqd 4104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  U. ran  d  =  U. ran  e
)
1918sseq1d 3386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  ( U. ran  d  C_  A  <->  U.
ran  e  C_  A
) )
2016, 19anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  e  ->  (
( d : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  d  C_  A )  <->  ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A ) ) )
21 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  (
c `  d )  =  ( c `  e ) )
22 f1eq1 5604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c `  d )  =  ( c `  e )  ->  (
( c `  d
) : om -1-1-> _V  <->  ( c `  e ) : om -1-1-> _V )
)
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  (
( c `  d
) : om -1-1-> _V  <->  ( c `  e ) : om -1-1-> _V )
)
2421rneqd 5070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  e  ->  ran  ( c `  d
)  =  ran  (
c `  e )
)
2524unieqd 4104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  e  ->  U. ran  ( c `  d
)  =  U. ran  ( c `  e
) )
2625, 18psseq12d 3453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  e  ->  ( U. ran  ( c `  d )  C.  U. ran  d 
<-> 
U. ran  ( c `  e )  C.  U. ran  e ) )
2723, 26anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( c `  d ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 d )  C.  U.
ran  d )  <->  ( (
c `  e ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  e
)  C.  U. ran  e
) ) )
2820, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( d : om -1-1-> _V  /\  U. ran  d  C_  A )  -> 
( ( c `  d ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 d )  C.  U.
ran  d ) )  <-> 
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) ) )
2928cbvalv 1971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) )  <->  A. e
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) )
3029biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) )  ->  A. e
( ( e : om -1-1-> _V  /\  U. ran  e  C_  A )  -> 
( ( c `  e ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( c `
 e )  C.  U.
ran  e ) ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  A. e ( ( e : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  e  C_  A
)  ->  ( (
c `  e ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  e
)  C.  U. ran  e
) ) )
32 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( c ,  b )  |`  om )  =  ( rec (
c ,  b )  |`  om )
332, 8, 15, 31, 32fin23lem39 8522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F )  /\  A. d ( ( d : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  d  C_  A
)  ->  ( (
c `  d ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( c `  d
)  C.  U. ran  d
) ) )  ->  -.  A  e.  F
)
344, 33exlimddv 1692 . . . . . . 7  |-  ( ( b : om -1-1-> ~P A  /\  A  e.  F
)  ->  -.  A  e.  F )
3534pm2.01da 442 . . . . . 6  |-  ( b : om -1-1-> ~P A  ->  -.  A  e.  F
)
3635exlimiv 1688 . . . . 5  |-  ( E. b  b : om -1-1-> ~P A  ->  -.  A  e.  F )
371, 36syl 16 . . . 4  |-  ( om  ~<_  ~P A  ->  -.  A  e.  F )
3837con2i 120 . . 3  |-  ( A  e.  F  ->  -.  om  ~<_  ~P A )
39 pwexg 4479 . . . 4  |-  ( A  e.  F  ->  ~P A  e.  _V )
40 isfin4-2 8486 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P A
) )
4139, 40syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  F  ->  ( ~P A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  ~P A
) )
4238, 41mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  F  ->  ~P A  e. FinIV )
43 isfin3 8468 . 2  |-  ( A  e. FinIII  <->  ~P A  e. FinIV )
4442, 43sylibr 212 1  |-  ( A  e.  F  ->  A  e. FinIII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   _Vcvv 2975    C_ wss 3331    C. wpss 3332   ~Pcpw 3863   U.cuni 4094   |^|cint 4131   class class class wbr 4295   suc csuc 4724   ran crn 4844    |` cres 4845   -->wf 5417   -1-1->wf1 5418   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   omcom 6479   reccrdg 6868    ^m cmap 7217    ~<_ cdom 7311  FinIVcfin4 8452  FinIIIcfin3 8453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-seqom 6906  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-card 8112  df-fin4 8459  df-fin3 8460
This theorem is referenced by:  isf33lem  8538
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