Theorem fin23lem41 8723

Description: Lemma for fin23 8760. A set which satisfies the descending sequence condition must be III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem40.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }

Assertion

Ref	Expression
fin23lem41	|- ( A e. F -> A e. FinIII )

Distinct variable groups:   g, a, x, A   F, a

Allowed substitution hints:   F( x, g)

Proof of Theorem fin23lem41

Dummy variables b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 7520	. . . . 5 |- ( om ~<_ ~P A -> E. b b : om -1-1-> ~P A )
2		fin23lem40.f	. . . . . . . . . 10 |- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
3	2	fin23lem33 8716	. . . . . . . . 9 |- ( A e. F -> E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) )
4	3	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) -> E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) )
5		ssv 3509	. . . . . . . . . . 11 |- ~P A C_ _V
6		f1ss 5768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ ~P A C_ _V ) -> b : om -1-1-> _V )
7	5, 6	mpan2 669	. . . . . . . . . 10 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> b : om -1-1-> _V )
8	7	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> b : om -1-1-> _V )
9		f1f 5763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> b : om --> ~P A )
10		frn 5719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b : om --> ~P A -> ran b C_ ~P A )
11		uniss 4256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran b C_ ~P A -> U. ran b C_ U. ~P A )
12	9, 10, 11	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> U. ran b C_ U. ~P A )
13		unipw 4687	. . . . . . . . . . 11 |- U. ~P A = A
14	12, 13	syl6sseq 3535	. . . . . . . . . 10 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> U. ran b C_ A )
15	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> U. ran b C_ A )
16		f1eq1 5758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( d : om -1-1-> _V <-> e : om -1-1-> _V ) )
17		rneq 5217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = e -> ran d = ran e )
18	17	unieqd 4245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> U. ran d = U. ran e )
19	18	sseq1d 3516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( U. ran d C_ A <-> U. ran e C_ A ) )
20	16, 19	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = e -> ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) <-> ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) ) )
21		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> ( c ` d ) = ( c ` e ) )
22		f1eq1 5758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c ` d ) = ( c ` e ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V <-> ( c ` e ) : om -1-1-> _V ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V <-> ( c ` e ) : om -1-1-> _V ) )
24	21	rneqd 5219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = e -> ran ( c ` d ) = ran ( c ` e ) )
25	24	unieqd 4245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> U. ran ( c ` d ) = U. ran ( c ` e ) )
26	25, 18	psseq12d 3584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( U. ran ( c ` d ) C. U. ran d <-> U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) )
27	23, 26	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = e -> ( ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) <-> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
28	20, 27	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = e -> ( ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) <-> ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) ) )
29	28	cbvalv 2028	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) <-> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
30	29	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) -> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
31	30	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
32		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( c , b ) |` om ) = ( rec ( c , b ) |` om )
33	2, 8, 15, 31, 32	fin23lem39 8721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> -. A e. F )
34	4, 33	exlimddv 1731	. . . . . . 7 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) -> -. A e. F )
35	34	pm2.01da 440	. . . . . 6 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> -. A e. F )
36	35	exlimiv 1727	. . . . 5 |- ( E. b b : om -1-1-> ~P A -> -. A e. F )
37	1, 36	syl 16	. . . 4 |- ( om ~<_ ~P A -> -. A e. F )
38	37	con2i 120	. . 3 |- ( A e. F -> -. om ~<_ ~P A )
39		pwexg 4621	. . . 4 |- ( A e. F -> ~P A e. _V )
40		isfin4-2 8685	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P A ) )
41	39, 40	syl 16	. . 3 |- ( A e. F -> ( ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P A ) )
42	38, 41	mpbird 232	. 2 |- ( A e. F -> ~P A e. FinIV )
43		isfin3 8667	. 2 |- ( A e. FinIII <-> ~P A e. FinIV )
44	42, 43	sylibr 212	1 |- ( A e. F -> A e. FinIII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   C. wpss 3462   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   |^|cint 4271   class class class wbr 4439   suc csuc 4869   ran crn 4989   |` cres 4990   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673   reccrdg 7067   ^m cmap 7412   ~<_ cdom 7507  Fin^IVcfin4 8651  Fin^IIIcfin3 8652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-seqom 7105  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-fin4 8658  df-fin3 8659

This theorem is referenced by:  isf33lem  8737