Theorem fin23lem41 8728

Description: Lemma for fin23 8765. A set which satisfies the descending sequence condition must be III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem40.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }

Assertion

Ref	Expression
fin23lem41	|- ( A e. F -> A e. FinIII )

Distinct variable groups:   g, a, x, A   F, a

Allowed substitution hints:   F( x, g)

Proof of Theorem fin23lem41

Dummy variables b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 7524	. . . . 5 |- ( om ~<_ ~P A -> E. b b : om -1-1-> ~P A )
2		fin23lem40.f	. . . . . . . . . 10 |- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
3	2	fin23lem33 8721	. . . . . . . . 9 |- ( A e. F -> E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) )
4	3	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) -> E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) )
5		ssv 3524	. . . . . . . . . . 11 |- ~P A C_ _V
6		f1ss 5784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ ~P A C_ _V ) -> b : om -1-1-> _V )
7	5, 6	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> b : om -1-1-> _V )
8	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> b : om -1-1-> _V )
9		f1f 5779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> b : om --> ~P A )
10		frn 5735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b : om --> ~P A -> ran b C_ ~P A )
11		uniss 4266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran b C_ ~P A -> U. ran b C_ U. ~P A )
12	9, 10, 11	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> U. ran b C_ U. ~P A )
13		unipw 4697	. . . . . . . . . . 11 |- U. ~P A = A
14	12, 13	syl6sseq 3550	. . . . . . . . . 10 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> U. ran b C_ A )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> U. ran b C_ A )
16		f1eq1 5774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( d : om -1-1-> _V <-> e : om -1-1-> _V ) )
17		rneq 5226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = e -> ran d = ran e )
18	17	unieqd 4255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> U. ran d = U. ran e )
19	18	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( U. ran d C_ A <-> U. ran e C_ A ) )
20	16, 19	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = e -> ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) <-> ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) ) )
21		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> ( c ` d ) = ( c ` e ) )
22		f1eq1 5774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c ` d ) = ( c ` e ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V <-> ( c ` e ) : om -1-1-> _V ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V <-> ( c ` e ) : om -1-1-> _V ) )
24	21	rneqd 5228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = e -> ran ( c ` d ) = ran ( c ` e ) )
25	24	unieqd 4255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> U. ran ( c ` d ) = U. ran ( c ` e ) )
26	25, 18	psseq12d 3598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( U. ran ( c ` d ) C. U. ran d <-> U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) )
27	23, 26	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = e -> ( ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) <-> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
28	20, 27	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = e -> ( ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) <-> ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) ) )
29	28	cbvalv 1996	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) <-> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
30	29	biimpi 194	. . . . . . . . . 10 |- ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) -> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
31	30	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
32		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( c , b ) |` om ) = ( rec ( c , b ) |` om )
33	2, 8, 15, 31, 32	fin23lem39 8726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> -. A e. F )
34	4, 33	exlimddv 1702	. . . . . . 7 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) -> -. A e. F )
35	34	pm2.01da 442	. . . . . 6 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> -. A e. F )
36	35	exlimiv 1698	. . . . 5 |- ( E. b b : om -1-1-> ~P A -> -. A e. F )
37	1, 36	syl 16	. . . 4 |- ( om ~<_ ~P A -> -. A e. F )
38	37	con2i 120	. . 3 |- ( A e. F -> -. om ~<_ ~P A )
39		pwexg 4631	. . . 4 |- ( A e. F -> ~P A e. _V )
40		isfin4-2 8690	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P A ) )
41	39, 40	syl 16	. . 3 |- ( A e. F -> ( ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P A ) )
42	38, 41	mpbird 232	. 2 |- ( A e. F -> ~P A e. FinIV )
43		isfin3 8672	. 2 |- ( A e. FinIII <-> ~P A e. FinIV )
44	42, 43	sylibr 212	1 |- ( A e. F -> A e. FinIII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   C. wpss 3477   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   |^|cint 4282   class class class wbr 4447   suc csuc 4880   ran crn 5000   |` cres 5001   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   omcom 6678   reccrdg 7072   ^m cmap 7417   ~<_ cdom 7511  Fin^IVcfin4 8656  Fin^IIIcfin3 8657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-seqom 7110  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-fin4 8663  df-fin3 8664

This theorem is referenced by:  isf33lem  8742