Theorem fin23lem41 8800

Description: Lemma for fin23 8837. A set which satisfies the descending sequence condition must be III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin23lem40.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }

Assertion

Ref	Expression
fin23lem41	|- ( A e. F -> A e. FinIII )

Distinct variable groups:   g, a, x, A   F, a

Allowed substitution hints:   F( x, g)

Proof of Theorem fin23lem41

Dummy variables b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 7598	. . . . 5 |- ( om ~<_ ~P A -> E. b b : om -1-1-> ~P A )
2		fin23lem40.f	. . . . . . . . . 10 |- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
3	2	fin23lem33 8793	. . . . . . . . 9 |- ( A e. F -> E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) )
4	3	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) -> E. c A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) )
5		ssv 3438	. . . . . . . . . . 11 |- ~P A C_ _V
6		f1ss 5797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ ~P A C_ _V ) -> b : om -1-1-> _V )
7	5, 6	mpan2 685	. . . . . . . . . 10 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> b : om -1-1-> _V )
8	7	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> b : om -1-1-> _V )
9		f1f 5792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> b : om --> ~P A )
10		frn 5747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b : om --> ~P A -> ran b C_ ~P A )
11		uniss 4211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran b C_ ~P A -> U. ran b C_ U. ~P A )
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> U. ran b C_ U. ~P A )
13		unipw 4650	. . . . . . . . . . 11 |- U. ~P A = A
14	12, 13	syl6sseq 3464	. . . . . . . . . 10 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> U. ran b C_ A )
15	14	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> U. ran b C_ A )
16		f1eq1 5787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( d : om -1-1-> _V <-> e : om -1-1-> _V ) )
17		rneq 5066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = e -> ran d = ran e )
18	17	unieqd 4200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> U. ran d = U. ran e )
19	18	sseq1d 3445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( U. ran d C_ A <-> U. ran e C_ A ) )
20	16, 19	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = e -> ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) <-> ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) ) )
21		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> ( c ` d ) = ( c ` e ) )
22		f1eq1 5787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( c ` d ) = ( c ` e ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V <-> ( c ` e ) : om -1-1-> _V ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V <-> ( c ` e ) : om -1-1-> _V ) )
24	21	rneqd 5068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = e -> ran ( c ` d ) = ran ( c ` e ) )
25	24	unieqd 4200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d = e -> U. ran ( c ` d ) = U. ran ( c ` e ) )
26	25, 18	psseq12d 3513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = e -> ( U. ran ( c ` d ) C. U. ran d <-> U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) )
27	23, 26	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = e -> ( ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) <-> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
28	20, 27	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = e -> ( ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) <-> ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) ) )
29	28	cbvalv 2129	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) <-> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
30	29	biimpi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) -> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
31	30	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> A. e ( ( e : om -1-1-> _V /\ U. ran e C_ A ) -> ( ( c ` e ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` e ) C. U. ran e ) ) )
32		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( rec ( c , b ) |` om ) = ( rec ( c , b ) |` om )
33	2, 8, 15, 31, 32	fin23lem39 8798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) /\ A. d ( ( d : om -1-1-> _V /\ U. ran d C_ A ) -> ( ( c ` d ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( c ` d ) C. U. ran d ) ) ) -> -. A e. F )
34	4, 33	exlimddv 1789	. . . . . . 7 |- ( ( b : om -1-1-> ~P A /\ A e. F ) -> -. A e. F )
35	34	pm2.01da 449	. . . . . 6 |- ( b : om -1-1-> ~P A -> -. A e. F )
36	35	exlimiv 1784	. . . . 5 |- ( E. b b : om -1-1-> ~P A -> -. A e. F )
37	1, 36	syl 17	. . . 4 |- ( om ~<_ ~P A -> -. A e. F )
38	37	con2i 124	. . 3 |- ( A e. F -> -. om ~<_ ~P A )
39		pwexg 4585	. . . 4 |- ( A e. F -> ~P A e. _V )
40		isfin4-2 8762	. . . 4 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P A ) )
41	39, 40	syl 17	. . 3 |- ( A e. F -> ( ~P A e. FinIV <-> -. om ~<_ ~P A ) )
42	38, 41	mpbird 240	. 2 |- ( A e. F -> ~P A e. FinIV )
43		isfin3 8744	. 2 |- ( A e. FinIII <-> ~P A e. FinIV )
44	42, 43	sylibr 217	1 |- ( A e. F -> A e. FinIII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   C. wpss 3391   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|cint 4226   class class class wbr 4395   ran crn 4840   |` cres 4841   suc csuc 5432   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711   reccrdg 7145   ^m cmap 7490   ~<_ cdom 7585  Fin^IVcfin4 8728  Fin^IIIcfin3 8729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-seqom 7183  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-fin4 8735  df-fin3 8736

This theorem is referenced by:  isf33lem  8814