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Theorem fin23lem39 8524
Description: Lemma for fin23 8563. Thus, we have that  g could not have been in  F after all. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem39  |-  ( ph  ->  -.  G  e.  F
)
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x, h, G    F, a    ph, a,
j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem39
Dummy variables  c 
d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem33.f . . 3  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
2 fin23lem.f . . 3  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
3 fin23lem.g . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
4 fin23lem.h . . 3  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
5 fin23lem.i . . 3  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
61, 2, 3, 4, 5fin23lem38 8523 . 2  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) )  e.  ran  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) )
71, 2, 3, 4, 5fin23lem34 8520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  om )  ->  ( ( Y `  c ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  c ) 
C_  G ) )
87simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  c )  C_  G )
98adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  F )  /\  c  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  c ) 
C_  G )
10 elpw2g 4460 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  F  ->  ( U. ran  ( Y `  c )  e.  ~P G 
<-> 
U. ran  ( Y `  c )  C_  G
) )
1110ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  F )  /\  c  e.  om )  ->  ( U. ran  ( Y `  c )  e.  ~P G 
<-> 
U. ran  ( Y `  c )  C_  G
) )
129, 11mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  F )  /\  c  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  c )  e.  ~P G )
13 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) )  =  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) )
1412, 13fmptd 5872 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) : om --> ~P G )
15 pwexg 4481 . . . . 5  |-  ( G  e.  F  ->  ~P G  e.  _V )
16 vex 2980 . . . . . . 7  |-  h  e. 
_V
17 f1f 5611 . . . . . . 7  |-  ( h : om -1-1-> _V  ->  h : om --> _V )
18 dmfex 6540 . . . . . . 7  |-  ( ( h  e.  _V  /\  h : om --> _V )  ->  om  e.  _V )
1916, 17, 18sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( h : om -1-1-> _V  ->  om  e.  _V )
202, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  om  e.  _V )
21 elmapg 7232 . . . . 5  |-  ( ( ~P G  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )  ->  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om )  <->  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) : om --> ~P G
) )
2215, 20, 21syl2anr 478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om )  <->  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) : om --> ~P G
) )
2314, 22mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om ) )
241isfin3ds 8503 . . . . 5  |-  ( G  e.  F  ->  ( G  e.  F  <->  A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d ) ) )
2524ibi 241 . . . 4  |-  ( G  e.  F  ->  A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d ) )
2625adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d ) )
271, 2, 3, 4, 5fin23lem35 8521 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C.  U. ran  ( Y `
 e ) )
2827pssssd 3458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C_  U. ran  ( Y `
 e ) )
29 peano2 6501 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  om  ->  suc  e  e.  om )
30 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( Y `  c
)  =  ( Y `
 suc  e )
)
3130rneqd 5072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  suc  e  ->  ran  ( Y `  c
)  =  ran  ( Y `  suc  e ) )
3231unieqd 4106 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  suc  e  ->  U. ran  ( Y `  c )  =  U. ran  ( Y `  suc  e ) )
33 fvex 5706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y `
 suc  e )  e.  _V
3433rnex 6517 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( Y `  suc  e )  e.  _V
3534uniex 6381 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  ( Y `  suc  e
)  e.  _V
3632, 13, 35fvmpt 5779 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  e  e.  om  ->  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  =  U. ran  ( Y `  suc  e ) )
3729, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  om  ->  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  =  U. ran  ( Y `  suc  e ) )
38 fveq2 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  e  ->  ( Y `  c )  =  ( Y `  e ) )
3938rneqd 5072 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  e  ->  ran  ( Y `  c )  =  ran  ( Y `
 e ) )
4039unieqd 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  e  ->  U. ran  ( Y `  c )  =  U. ran  ( Y `  e )
)
41 fvex 5706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y `
 e )  e. 
_V
4241rnex 6517 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( Y `  e )  e.  _V
4342uniex 6381 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( Y `  e )  e.  _V
4440, 13, 43fvmpt 5779 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  om  ->  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  =  U. ran  ( Y `  e
) )
4537, 44sseq12d 3390 . . . . . . 7  |-  ( e  e.  om  ->  (
( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 suc  e )  C_  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 e )  <->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C_  U. ran  ( Y `
 e ) ) )
4645adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  ( (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  C_  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  <->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C_  U. ran  ( Y `
 e ) ) )
4728, 46mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  C_  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) )
4847ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. e  e.  om  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 suc  e )  C_  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 e ) )
4948adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  A. e  e.  om  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) )
50 fveq1 5695 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( d `  suc  e )  =  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e ) )
51 fveq1 5695 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( d `  e )  =  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) )
5250, 51sseq12d 3390 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( ( d `
 suc  e )  C_  ( d `  e
)  <->  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) ) )
5352ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  <->  A. e  e.  om  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  C_  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) ) )
54 rneq 5070 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ran  d  =  ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) )
5554inteqd 4138 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  |^| ran  d  = 
|^| ran  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) )
5655, 54eleq12d 2511 . . . . 5  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( |^| ran  d  e.  ran  d  <->  |^| ran  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) ) )
5753, 56imbi12d 320 . . . 4  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( ( A. e  e.  om  (
d `  suc  e ) 
C_  ( d `  e )  ->  |^| ran  d  e.  ran  d )  <-> 
( A. e  e. 
om  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  ->  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) ) ) )
5857rspcv 3074 . . 3  |-  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om )  ->  ( A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d )  -> 
( A. e  e. 
om  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  ->  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) ) ) )
5923, 26, 49, 58syl3c 61 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) )
606, 59mtand 659 1  |-  ( ph  ->  -.  G  e.  F
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   _Vcvv 2977    C_ wss 3333    C. wpss 3334   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096   |^|cint 4133    e. cmpt 4355   suc csuc 4726   ran crn 4846    |` cres 4847   -->wf 5419   -1-1->wf1 5420   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   omcom 6481   reccrdg 6870    ^m cmap 7219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-map 7221
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