Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem39 Structured version   Unicode version

Theorem fin23lem39 8742
 Description: Lemma for fin23 8781. Thus, we have that could not have been in after all. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f
fin23lem.f
fin23lem.g
fin23lem.h
fin23lem.i
Assertion
Ref Expression
fin23lem39
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem fin23lem39
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem33.f . . 3
2 fin23lem.f . . 3
3 fin23lem.g . . 3
4 fin23lem.h . . 3
5 fin23lem.i . . 3
61, 2, 3, 4, 5fin23lem38 8741 . 2
71, 2, 3, 4, 5fin23lem34 8738 . . . . . . . 8
87simprd 463 . . . . . . 7
98adantlr 714 . . . . . 6
10 elpw2g 4616 . . . . . . 7
1110ad2antlr 726 . . . . . 6
129, 11mpbird 232 . . . . 5
13 eqid 2467 . . . . 5
1412, 13fmptd 6056 . . . 4
15 pwexg 4637 . . . . 5
16 vex 3121 . . . . . . 7
17 f1f 5787 . . . . . . 7
18 dmfex 6753 . . . . . . 7
1916, 17, 18sylancr 663 . . . . . 6
202, 19syl 16 . . . . 5
21 elmapg 7445 . . . . 5
2215, 20, 21syl2anr 478 . . . 4
2314, 22mpbird 232 . . 3
241isfin3ds 8721 . . . . 5
2524ibi 241 . . . 4
2625adantl 466 . . 3
271, 2, 3, 4, 5fin23lem35 8739 . . . . . . 7
2827pssssd 3606 . . . . . 6
29 peano2 6715 . . . . . . . . 9
30 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12
3130rneqd 5236 . . . . . . . . . . 11
3231unieqd 4261 . . . . . . . . . 10
33 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12
3433rnex 6729 . . . . . . . . . . 11
3534uniex 6591 . . . . . . . . . 10
3632, 13, 35fvmpt 5957 . . . . . . . . 9
3729, 36syl 16 . . . . . . . 8
38 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11
3938rneqd 5236 . . . . . . . . . 10
4039unieqd 4261 . . . . . . . . 9
41 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11
4241rnex 6729 . . . . . . . . . 10
4342uniex 6591 . . . . . . . . 9
4440, 13, 43fvmpt 5957 . . . . . . . 8
4537, 44sseq12d 3538 . . . . . . 7
4645adantl 466 . . . . . 6
4728, 46mpbird 232 . . . . 5
4847ralrimiva 2881 . . . 4
4948adantr 465 . . 3
50 fveq1 5871 . . . . . . 7
51 fveq1 5871 . . . . . . 7
5250, 51sseq12d 3538 . . . . . 6
5352ralbidv 2906 . . . . 5
54 rneq 5234 . . . . . . 7
5554inteqd 4293 . . . . . 6
5655, 54eleq12d 2549 . . . . 5
5753, 56imbi12d 320 . . . 4
5857rspcv 3215 . . 3
5923, 26, 49, 58syl3c 61 . 2
606, 59mtand 659 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369  wal 1377   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452  wral 2817  cvv 3118   wss 3481   wpss 3482  cpw 4016  cuni 4251  cint 4288   cmpt 4511   csuc 4886   crn 5006   cres 5007  wf 5590  wf1 5591  cfv 5594  (class class class)co 6295  com 6695  crdg 7087   cmap 7432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-map 7434 This theorem is referenced by:  fin23lem41  8744
 Copyright terms: Public domain W3C validator