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Theorem fin23lem39 8515
Description: Lemma for fin23 8554. Thus, we have that  g could not have been in  F after all. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem39  |-  ( ph  ->  -.  G  e.  F
)
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x, h, G    F, a    ph, a,
j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem39
Dummy variables  c 
d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem33.f . . 3  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
2 fin23lem.f . . 3  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
3 fin23lem.g . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
4 fin23lem.h . . 3  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
5 fin23lem.i . . 3  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
61, 2, 3, 4, 5fin23lem38 8514 . 2  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) )  e.  ran  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) )
71, 2, 3, 4, 5fin23lem34 8511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  om )  ->  ( ( Y `  c ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  c ) 
C_  G ) )
87simprd 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  c )  C_  G )
98adantlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  F )  /\  c  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  c ) 
C_  G )
10 elpw2g 4452 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  F  ->  ( U. ran  ( Y `  c )  e.  ~P G 
<-> 
U. ran  ( Y `  c )  C_  G
) )
1110ad2antlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  F )  /\  c  e.  om )  ->  ( U. ran  ( Y `  c )  e.  ~P G 
<-> 
U. ran  ( Y `  c )  C_  G
) )
129, 11mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  G  e.  F )  /\  c  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  c )  e.  ~P G )
13 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) )  =  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) )
1412, 13fmptd 5864 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) : om --> ~P G )
15 pwexg 4473 . . . . 5  |-  ( G  e.  F  ->  ~P G  e.  _V )
16 vex 2973 . . . . . . 7  |-  h  e. 
_V
17 f1f 5603 . . . . . . 7  |-  ( h : om -1-1-> _V  ->  h : om --> _V )
18 dmfex 6534 . . . . . . 7  |-  ( ( h  e.  _V  /\  h : om --> _V )  ->  om  e.  _V )
1916, 17, 18sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( h : om -1-1-> _V  ->  om  e.  _V )
202, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  om  e.  _V )
21 elmapg 7223 . . . . 5  |-  ( ( ~P G  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )  ->  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om )  <->  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) : om --> ~P G
) )
2215, 20, 21syl2anr 475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om )  <->  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) : om --> ~P G
) )
2314, 22mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om ) )
241isfin3ds 8494 . . . . 5  |-  ( G  e.  F  ->  ( G  e.  F  <->  A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d ) ) )
2524ibi 241 . . . 4  |-  ( G  e.  F  ->  A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d ) )
2625adantl 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d ) )
271, 2, 3, 4, 5fin23lem35 8512 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C.  U. ran  ( Y `
 e ) )
2827pssssd 3450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C_  U. ran  ( Y `
 e ) )
29 peano2 6495 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  om  ->  suc  e  e.  om )
30 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  suc  e  -> 
( Y `  c
)  =  ( Y `
 suc  e )
)
3130rneqd 5063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  suc  e  ->  ran  ( Y `  c
)  =  ran  ( Y `  suc  e ) )
3231unieqd 4098 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  suc  e  ->  U. ran  ( Y `  c )  =  U. ran  ( Y `  suc  e ) )
33 fvex 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y `
 suc  e )  e.  _V
3433rnex 6511 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( Y `  suc  e )  e.  _V
3534uniex 6375 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  ( Y `  suc  e
)  e.  _V
3632, 13, 35fvmpt 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  e  e.  om  ->  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  =  U. ran  ( Y `  suc  e ) )
3729, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  om  ->  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  =  U. ran  ( Y `  suc  e ) )
38 fveq2 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  e  ->  ( Y `  c )  =  ( Y `  e ) )
3938rneqd 5063 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  e  ->  ran  ( Y `  c )  =  ran  ( Y `
 e ) )
4039unieqd 4098 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  e  ->  U. ran  ( Y `  c )  =  U. ran  ( Y `  e )
)
41 fvex 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y `
 e )  e. 
_V
4241rnex 6511 . . . . . . . . . 10  |-  ran  ( Y `  e )  e.  _V
4342uniex 6375 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( Y `  e )  e.  _V
4440, 13, 43fvmpt 5771 . . . . . . . 8  |-  ( e  e.  om  ->  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  =  U. ran  ( Y `  e
) )
4537, 44sseq12d 3382 . . . . . . 7  |-  ( e  e.  om  ->  (
( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 suc  e )  C_  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 e )  <->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C_  U. ran  ( Y `
 e ) ) )
4645adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  ( (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  C_  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  <->  U. ran  ( Y `  suc  e ) 
C_  U. ran  ( Y `
 e ) ) )
4728, 46mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  om )  ->  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  C_  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) )
4847ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. e  e.  om  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 suc  e )  C_  ( ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) `
 e ) )
4948adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  A. e  e.  om  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) )
50 fveq1 5687 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( d `  suc  e )  =  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e ) )
51 fveq1 5687 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( d `  e )  =  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) )
5250, 51sseq12d 3382 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( ( d `
 suc  e )  C_  ( d `  e
)  <->  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) ) )
5352ralbidv 2733 . . . . 5  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  <->  A. e  e.  om  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e )  C_  (
( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e ) ) )
54 rneq 5061 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ran  d  =  ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) )
5554inteqd 4130 . . . . . 6  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  |^| ran  d  = 
|^| ran  ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) )
5655, 54eleq12d 2509 . . . . 5  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( |^| ran  d  e.  ran  d  <->  |^| ran  (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) ) )
5753, 56imbi12d 320 . . . 4  |-  ( d  =  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) )  ->  ( ( A. e  e.  om  (
d `  suc  e ) 
C_  ( d `  e )  ->  |^| ran  d  e.  ran  d )  <-> 
( A. e  e. 
om  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  ->  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) ) ) )
5857rspcv 3066 . . 3  |-  ( ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e.  ( ~P G  ^m  om )  ->  ( A. d  e.  ( ~P G  ^m  om ) ( A. e  e.  om  ( d `  suc  e )  C_  (
d `  e )  ->  |^| ran  d  e. 
ran  d )  -> 
( A. e  e. 
om  ( ( c  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  c ) ) `  suc  e
)  C_  ( (
c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) ) `  e )  ->  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) ) ) )
5923, 26, 49, 58syl3c 61 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  e.  F )  ->  |^| ran  ( c  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  c ) )  e. 
ran  ( c  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 c ) ) )
606, 59mtand 654 1  |-  ( ph  ->  -.  G  e.  F
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3325    C. wpss 3326   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   |^|cint 4125    e. cmpt 4347   suc csuc 4717   ran crn 4837    |` cres 4838   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   omcom 6475   reccrdg 6861    ^m cmap 7210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-map 7212
This theorem is referenced by:  fin23lem41  8517
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