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Theorem fin23lem38 8725
Description: Lemma for fin23 8765. The contradictory chain has no minimum. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem38  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
g, i, j, x, h, G    F, a    ph, a, b, j    Y, a, b, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j, b)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem38
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 6698 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  om  ->  suc  d  e.  om )
2 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  ( Y `  suc  d
)  =  U. ran  ( Y `  suc  d
)
3 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( Y `  b
)  =  ( Y `
 suc  d )
)
43rneqd 5228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  suc  d  ->  ran  ( Y `  b
)  =  ran  ( Y `  suc  d ) )
54unieqd 4255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  suc  d  ->  U. ran  ( Y `  b )  =  U. ran  ( Y `  suc  d ) )
65eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b )  <->  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  suc  d ) ) )
76rspcev 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  d  e.  om  /\ 
U. ran  ( Y `  suc  d )  = 
U. ran  ( Y `  suc  d ) )  ->  E. b  e.  om  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) )
82, 7mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  d  e.  om  ->  E. b  e.  om  U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) )
9 fvex 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y `
 suc  d )  e.  _V
109rnex 6715 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( Y `  suc  d )  e.  _V
1110uniex 6578 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  ( Y `  suc  d
)  e.  _V
12 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )
1312elrnmpt 5247 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  _V  ->  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  <->  E. b  e.  om  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) ) )
1411, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  <->  E. b  e.  om  U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
158, 14sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( suc  d  e.  om  ->  U.
ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
161, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  om  ->  U. ran  ( Y `  suc  d
)  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) ) )
18 intss1 4297 . . . . . 6  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  ->  |^| ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) ) 
C_  U. ran  ( Y `
 suc  d )
)
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  |^| ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  suc  d ) )
20 fin23lem33.f . . . . . 6  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
21 fin23lem.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
22 fin23lem.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
23 fin23lem.h . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
24 fin23lem.i . . . . . 6  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
2520, 21, 22, 23, 24fin23lem35 8723 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  d ) 
C.  U. ran  ( Y `
 d ) )
2619, 25sspsstrd 3612 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  |^| ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d ) )
27 dfpss2 3589 . . . . 5  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d )  <->  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  d )  /\  -.  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
) )
2827simprbi 464 . . . 4  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d )  ->  -.  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
2926, 28syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  = 
U. ran  ( Y `  d ) )
3029nrexdv 2920 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. d  e. 
om  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  U. ran  ( Y `  d ) )
31 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( b  =  d  ->  ( Y `  b )  =  ( Y `  d ) )
3231rneqd 5228 . . . . . 6  |-  ( b  =  d  ->  ran  ( Y `  b )  =  ran  ( Y `
 d ) )
3332unieqd 4255 . . . . 5  |-  ( b  =  d  ->  U. ran  ( Y `  b )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
3433cbvmptv 4538 . . . 4  |-  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  ( d  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  d ) )
3534elrnmpt 5247 . . 3  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  ->  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  <->  E. d  e.  om  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
) )
3635ibi 241 . 2  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  ->  E. d  e.  om  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
3730, 36nsyl 121 1  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476    C. wpss 3477   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   |^|cint 4282    |-> cmpt 4505   suc csuc 4880   ran crn 5000    |` cres 5001   -1-1->wf1 5583   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   omcom 6678   reccrdg 7072    ^m cmap 7417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073
This theorem is referenced by:  fin23lem39  8726
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