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Theorem fin23lem38 8523
Description: Lemma for fin23 8563. The contradictory chain has no minimum. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem38  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
g, i, j, x, h, G    F, a    ph, a, b, j    Y, a, b, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j, b)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem38
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 6501 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  om  ->  suc  d  e.  om )
2 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  ( Y `  suc  d
)  =  U. ran  ( Y `  suc  d
)
3 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( Y `  b
)  =  ( Y `
 suc  d )
)
43rneqd 5072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  suc  d  ->  ran  ( Y `  b
)  =  ran  ( Y `  suc  d ) )
54unieqd 4106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  suc  d  ->  U. ran  ( Y `  b )  =  U. ran  ( Y `  suc  d ) )
65eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  suc  d  -> 
( U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b )  <->  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  suc  d ) ) )
76rspcev 3078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  d  e.  om  /\ 
U. ran  ( Y `  suc  d )  = 
U. ran  ( Y `  suc  d ) )  ->  E. b  e.  om  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) )
82, 7mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  d  e.  om  ->  E. b  e.  om  U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) )
9 fvex 5706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y `
 suc  d )  e.  _V
109rnex 6517 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( Y `  suc  d )  e.  _V
1110uniex 6381 . . . . . . . . . 10  |-  U. ran  ( Y `  suc  d
)  e.  _V
12 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )
1312elrnmpt 5091 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  _V  ->  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  <->  E. b  e.  om  U.
ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b
) ) )
1411, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  <->  E. b  e.  om  U. ran  ( Y `  suc  d )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
158, 14sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( suc  d  e.  om  ->  U.
ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
161, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  om  ->  U. ran  ( Y `  suc  d
)  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) ) )
18 intss1 4148 . . . . . 6  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  d )  e.  ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  ->  |^| ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) ) 
C_  U. ran  ( Y `
 suc  d )
)
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  |^| ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  suc  d ) )
20 fin23lem33.f . . . . . 6  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
21 fin23lem.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
22 fin23lem.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
23 fin23lem.h . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
24 fin23lem.i . . . . . 6  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
2520, 21, 22, 23, 24fin23lem35 8521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  d ) 
C.  U. ran  ( Y `
 d ) )
2619, 25sspsstrd 3469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  |^| ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d ) )
27 dfpss2 3446 . . . . 5  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d )  <->  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C_  U.
ran  ( Y `  d )  /\  -.  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
) )
2827simprbi 464 . . . 4  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  C.  U.
ran  ( Y `  d )  ->  -.  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
2926, 28syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  om )  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  = 
U. ran  ( Y `  d ) )
3029nrexdv 2824 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. d  e. 
om  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  U. ran  ( Y `  d ) )
31 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( b  =  d  ->  ( Y `  b )  =  ( Y `  d ) )
3231rneqd 5072 . . . . . 6  |-  ( b  =  d  ->  ran  ( Y `  b )  =  ran  ( Y `
 d ) )
3332unieqd 4106 . . . . 5  |-  ( b  =  d  ->  U. ran  ( Y `  b )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
3433cbvmptv 4388 . . . 4  |-  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  =  ( d  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  d ) )
3534elrnmpt 5091 . . 3  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  ->  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  <->  E. d  e.  om  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
) )
3635ibi 241 . 2  |-  ( |^| ran  ( b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) )  e. 
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  ->  E. d  e.  om  |^|
ran  ( b  e. 
om  |->  U. ran  ( Y `
 b ) )  =  U. ran  ( Y `  d )
)
3730, 36nsyl 121 1  |-  ( ph  ->  -.  |^| ran  ( b  e.  om  |->  U. ran  ( Y `  b ) )  e.  ran  (
b  e.  om  |->  U.
ran  ( Y `  b ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    C_ wss 3333    C. wpss 3334   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096   |^|cint 4133    e. cmpt 4355   suc csuc 4726   ran crn 4846    |` cres 4847   -1-1->wf1 5420   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   omcom 6481   reccrdg 6870    ^m cmap 7219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871
This theorem is referenced by:  fin23lem39  8524
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