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Theorem fin23lem36 8623
Description: Lemma for fin23 8664. Weak order property of  Y. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem36  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  A  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    B, a    F, a    ph, a,
j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    B( x, g, h, i, j)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem36
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5794 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  B ) )
21rneqd 5170 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 B ) )
32unieqd 4204 . . . . 5  |-  ( a  =  B  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  B )
)
43sseq1d 3486 . . . 4  |-  ( a  =  B  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  B )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
54imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  B  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  B ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
6 fveq2 5794 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  b ) )
76rneqd 5170 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 b ) )
87unieqd 4204 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
98sseq1d 3486 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
109imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
11 fveq2 5794 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( Y `  a
)  =  ( Y `
 suc  b )
)
1211rneqd 5170 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  ->  ran  ( Y `  a
)  =  ran  ( Y `  suc  b ) )
1312unieqd 4204 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  suc  b ) )
1413sseq1d 3486 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( U. ran  ( Y `  a )  C_ 
U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) )
1514imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )  <->  ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) ) )
16 fveq2 5794 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  A ) )
1716rneqd 5170 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 A ) )
1817unieqd 4204 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  A )
)
1918sseq1d 3486 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
2019imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
21 ssid 3478 . . . 4  |-  U. ran  ( Y `  B ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B )
2221a1ii 27 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( ph  ->  U. ran  ( Y `
 B )  C_  U.
ran  ( Y `  B ) ) )
23 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  ph )
24 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  -> 
b  e.  om )
25 fin23lem33.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
26 fin23lem.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
27 fin23lem.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
28 fin23lem.h . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
29 fin23lem.i . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
3025, 26, 27, 28, 29fin23lem35 8622 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C.  U. ran  ( Y `
 b ) )
3123, 24, 30syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C.  U. ran  ( Y `  b ) )
3231pssssd 3556 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  b ) )
33 sstr2 3466 . . . . . 6  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  ( Y `  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  -> 
( U. ran  ( Y `  b )  C_ 
U. ran  ( Y `  B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) )
3534expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  b )  ->  ( ph  ->  ( U. ran  ( Y `
 b )  C_  U.
ran  ( Y `  B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) ) )
3635a2d 26 . . 3  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  b )  ->  ( ( ph  ->  U. ran  ( Y `
 b )  C_  U.
ran  ( Y `  B ) )  -> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) ) )
375, 10, 15, 20, 22, 36findsg 6608 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  A )  ->  ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
3837impr 619 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  A  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2437   A.wral 2796   _Vcvv 3072    C_ wss 3431    C. wpss 3432   ~Pcpw 3963   U.cuni 4194   |^|cint 4231   suc csuc 4824   ran crn 4944    |` cres 4945   -1-1->wf1 5518   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   omcom 6581   reccrdg 6970    ^m cmap 7319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971
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