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Theorem fin23lem36 8513
Description: Lemma for fin23 8554. Weak order property of  Y. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem36  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  A  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    B, a    F, a    ph, a,
j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    B( x, g, h, i, j)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem36
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( a  =  B  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  B ) )
21rneqd 5063 . . . . . 6  |-  ( a  =  B  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 B ) )
32unieqd 4098 . . . . 5  |-  ( a  =  B  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  B )
)
43sseq1d 3380 . . . 4  |-  ( a  =  B  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  B )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
54imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  B  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  B ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
6 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  b ) )
76rneqd 5063 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 b ) )
87unieqd 4098 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  b )
)
98sseq1d 3380 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
109imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
11 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( Y `  a
)  =  ( Y `
 suc  b )
)
1211rneqd 5063 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  ->  ran  ( Y `  a
)  =  ran  ( Y `  suc  b ) )
1312unieqd 4098 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  suc  b ) )
1413sseq1d 3380 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( U. ran  ( Y `  a )  C_ 
U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) )
1514imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )  <->  ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) ) )
16 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( Y `  a )  =  ( Y `  A ) )
1716rneqd 5063 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ran  ( Y `  a )  =  ran  ( Y `
 A ) )
1817unieqd 4098 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  U. ran  ( Y `  a )  =  U. ran  ( Y `  A )
)
1918sseq1d 3380 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( U. ran  ( Y `  a )  C_  U. ran  ( Y `  B )  <->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
2019imbi2d 316 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  ->  U. ran  ( Y `  a ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) )  <-> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B ) ) ) )
21 ssid 3372 . . . 4  |-  U. ran  ( Y `  B ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B )
2221a1ii 27 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( ph  ->  U. ran  ( Y `
 B )  C_  U.
ran  ( Y `  B ) ) )
23 simprr 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  ph )
24 simpll 748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  -> 
b  e.  om )
25 fin23lem33.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
26 fin23lem.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
27 fin23lem.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
28 fin23lem.h . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
29 fin23lem.i . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
3025, 26, 27, 28, 29fin23lem35 8512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b ) 
C.  U. ran  ( Y `
 b ) )
3123, 24, 30syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C.  U. ran  ( Y `  b ) )
3231pssssd 3450 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  b ) )
33 sstr2 3360 . . . . . 6  |-  ( U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  b )  ->  ( U. ran  ( Y `  b ) 
C_  U. ran  ( Y `
 B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  b  /\  ph ) )  -> 
( U. ran  ( Y `  b )  C_ 
U. ran  ( Y `  B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) )
3534expr 612 . . . 4  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  b )  ->  ( ph  ->  ( U. ran  ( Y `
 b )  C_  U.
ran  ( Y `  B )  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) ) )
3635a2d 26 . . 3  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  b )  ->  ( ( ph  ->  U. ran  ( Y `
 b )  C_  U.
ran  ( Y `  B ) )  -> 
( ph  ->  U. ran  ( Y `  suc  b
)  C_  U. ran  ( Y `  B )
) ) )
375, 10, 15, 20, 22, 36findsg 6502 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  C_  A )  ->  ( ph  ->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) ) )
3837impr 616 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( B  C_  A  /\  ph ) )  ->  U. ran  ( Y `  A )  C_  U. ran  ( Y `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   _Vcvv 2970    C_ wss 3325    C. wpss 3326   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   |^|cint 4125   suc csuc 4717   ran crn 4837    |` cres 4838   -1-1->wf1 5412   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   omcom 6475   reccrdg 6861    ^m cmap 7210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862
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