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Theorem fin23lem35 8739
Description: Lemma for fin23 8781. Strict order property of  Y. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem35  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A ) 
C.  U. ran  ( Y `
 A ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    F, a    ph, a, j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem35
StepHypRef Expression
1 fin23lem33.f . . . . 5  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
2 fin23lem.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
3 fin23lem.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
4 fin23lem.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
5 fin23lem.i . . . . 5  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
61, 2, 3, 4, 5fin23lem34 8738 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) )
7 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 A )  e. 
_V
8 f1eq1 5782 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
j : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
9 rneq 5234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ran  j  =  ran  ( Y `
 A ) )
109unieqd 4261 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  U. ran  j  =  U. ran  ( Y `  A )
)
1110sseq1d 3536 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ( U. ran  j  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  G
) )
128, 11anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( j : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  j  C_  G )  <->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) ) )
13 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
i `  j )  =  ( i `  ( Y `  A ) ) )
14 f1eq1 5782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i `  j )  =  ( i `  ( Y `  A ) )  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 A ) ) : om -1-1-> _V )
)
1613rneqd 5236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ran  ( i `  j
)  =  ran  (
i `  ( Y `  A ) ) )
1716unieqd 4261 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  U. ran  ( i `  j
)  =  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
) )
1817, 10psseq12d 3603 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ( U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j 
<-> 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A ) ) )
1915, 18anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j )  <->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) ) )
2012, 19imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( ( j : om -1-1-> _V  /\  U. ran  j  C_  G )  -> 
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j ) )  <-> 
( ( ( Y `
 A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A ) ) ) ) )
217, 20spcv 3209 . . . . . 6  |-  ( A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  j  C_  G
)  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  j
)  C.  U. ran  j
) )  ->  (
( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 A )  C_  G )  ->  (
( i `  ( Y `  A )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A ) ) ) )
224, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y `
 A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A ) ) ) )
2322adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
( Y `  A
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  A )  C_  G
)  ->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) ) )
246, 23mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) )
2524simprd 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  (
i `  ( Y `  A ) )  C.  U.
ran  ( Y `  A ) )
26 frsuc 7114 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  suc  A
)  =  ( i `
 ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  A ) ) )
2726adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  A )  =  ( i `  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  A ) ) )
285fveq1i 5873 . . . . . 6  |-  ( Y `
 suc  A )  =  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  A )
295fveq1i 5873 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 A )  =  ( ( rec (
i ,  h )  |`  om ) `  A
)
3029fveq2i 5875 . . . . . 6  |-  ( i `
 ( Y `  A ) )  =  ( i `  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  A ) )
3127, 28, 303eqtr4g 2533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( Y `  suc  A )  =  ( i `  ( Y `  A )
) )
3231rneqd 5236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ran  ( Y `
 suc  A )  =  ran  ( i `  ( Y `  A ) ) )
3332unieqd 4261 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A )  =  U. ran  (
i `  ( Y `  A ) ) )
3433psseq1d 3601 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( U. ran  ( Y `  suc  A )  C.  U. ran  ( Y `  A )  <->  U.
ran  ( i `  ( Y `  A ) )  C.  U. ran  ( Y `  A )
) )
3525, 34mpbird 232 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A ) 
C.  U. ran  ( Y `
 A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   _Vcvv 3118    C_ wss 3481    C. wpss 3482   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   |^|cint 4288   suc csuc 4886   ran crn 5006    |` cres 5007   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   omcom 6695   reccrdg 7087    ^m cmap 7432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088
This theorem is referenced by:  fin23lem36  8740  fin23lem38  8741  fin23lem39  8742
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