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Theorem fin23lem35 8537
Description: Lemma for fin23 8579. Strict order property of  Y. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.f  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
fin23lem.h  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
fin23lem.i  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
fin23lem35  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A ) 
C.  U. ran  ( Y `
 A ) )
Distinct variable groups:    g, a,
i, j, x    A, a, j    h, a, G, g, i, j, x    F, a    ph, a, j    Y, a, j
Allowed substitution hints:    ph( x, g, h, i)    A( x, g, h, i)    F( x, g, h, i, j)    Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem35
StepHypRef Expression
1 fin23lem33.f . . . . 5  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
2 fin23lem.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  h : om -1-1-> _V )
3 fin23lem.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ran  h  C_  G )
4 fin23lem.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  j  C_  G )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j ) ) )
5 fin23lem.i . . . . 5  |-  Y  =  ( rec ( i ,  h )  |`  om )
61, 2, 3, 4, 5fin23lem34 8536 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) )
7 fvex 5722 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 A )  e. 
_V
8 f1eq1 5622 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
j : om -1-1-> _V  <->  ( Y `  A ) : om -1-1-> _V )
)
9 rneq 5086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ran  j  =  ran  ( Y `
 A ) )
109unieqd 4122 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  U. ran  j  =  U. ran  ( Y `  A )
)
1110sseq1d 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ( U. ran  j  C_  G  <->  U.
ran  ( Y `  A )  C_  G
) )
128, 11anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( j : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  j  C_  G )  <->  ( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G ) ) )
13 fveq2 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
i `  j )  =  ( i `  ( Y `  A ) ) )
14 f1eq1 5622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i `  j )  =  ( i `  ( Y `  A ) )  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( i `  j
) : om -1-1-> _V  <->  ( i `  ( Y `
 A ) ) : om -1-1-> _V )
)
1613rneqd 5088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ran  ( i `  j
)  =  ran  (
i `  ( Y `  A ) ) )
1716unieqd 4122 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  U. ran  ( i `  j
)  =  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
) )
1817, 10psseq12d 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  ( U. ran  ( i `  j )  C.  U. ran  j 
<-> 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A ) ) )
1915, 18anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j )  <->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) ) )
2012, 19imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( Y `  A )  ->  (
( ( j : om -1-1-> _V  /\  U. ran  j  C_  G )  -> 
( ( i `  j ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( i `
 j )  C.  U.
ran  j ) )  <-> 
( ( ( Y `
 A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A ) ) ) ) )
217, 20spcv 3084 . . . . . 6  |-  ( A. j ( ( j : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  j  C_  G
)  ->  ( (
i `  j ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  j
)  C.  U. ran  j
) )  ->  (
( ( Y `  A ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( Y `
 A )  C_  G )  ->  (
( i `  ( Y `  A )
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A ) ) ) )
224, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y `
 A ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( Y `  A ) 
C_  G )  -> 
( ( i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( i `  ( Y `  A
) )  C.  U. ran  ( Y `  A ) ) ) )
2322adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
( Y `  A
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( Y `  A )  C_  G
)  ->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) ) )
246, 23mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( (
i `  ( Y `  A ) ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( i `  ( Y `  A )
)  C.  U. ran  ( Y `  A )
) )
2524simprd 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  (
i `  ( Y `  A ) )  C.  U.
ran  ( Y `  A ) )
26 frsuc 6913 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  suc  A
)  =  ( i `
 ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  A ) ) )
2726adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  A )  =  ( i `  ( ( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  A ) ) )
285fveq1i 5713 . . . . . 6  |-  ( Y `
 suc  A )  =  ( ( rec ( i ,  h
)  |`  om ) `  suc  A )
295fveq1i 5713 . . . . . . 7  |-  ( Y `
 A )  =  ( ( rec (
i ,  h )  |`  om ) `  A
)
3029fveq2i 5715 . . . . . 6  |-  ( i `
 ( Y `  A ) )  =  ( i `  (
( rec ( i ,  h )  |`  om ) `  A ) )
3127, 28, 303eqtr4g 2500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( Y `  suc  A )  =  ( i `  ( Y `  A )
) )
3231rneqd 5088 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ran  ( Y `
 suc  A )  =  ran  ( i `  ( Y `  A ) ) )
3332unieqd 4122 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A )  =  U. ran  (
i `  ( Y `  A ) ) )
3433psseq1d 3469 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  ( U. ran  ( Y `  suc  A )  C.  U. ran  ( Y `  A )  <->  U.
ran  ( i `  ( Y `  A ) )  C.  U. ran  ( Y `  A )
) )
3525, 34mpbird 232 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  om )  ->  U. ran  ( Y `  suc  A ) 
C.  U. ran  ( Y `
 A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2736   _Vcvv 2993    C_ wss 3349    C. wpss 3350   ~Pcpw 3881   U.cuni 4112   |^|cint 4149   suc csuc 4742   ran crn 4862    |` cres 4863   -1-1->wf1 5436   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   omcom 6497   reccrdg 6886    ^m cmap 7235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887
This theorem is referenced by:  fin23lem36  8538  fin23lem38  8539  fin23lem39  8540
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