Theorem fin23lem34 8738

Description: Lemma for fin23 8781. Establish induction invariants on Y which parameterizes our contradictory chain of subsets. In this section, h is the hypothetically assumed family of subsets, g is the ground set, and i is the induction function constructed in the previous section. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem33.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
fin23lem.f	|- ( ph -> h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g	|- ( ph -> U. ran h C_ G )
fin23lem.h	|- ( ph -> A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) )
fin23lem.i	|- Y = ( rec ( i , h ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
fin23lem34	|- ( ( ph /\ A e. om ) -> ( ( Y ` A ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` A ) C_ G ) )

Distinct variable groups:   g, a, i, j, x   A, a, j   h, a, G, g, i, j, x   F, a   ph, a, j   Y, a, j

Allowed substitution hints:   ph( x, g, h, i)   A( x, g, h, i)   F( x, g, h, i, j)   Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem34

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( Y ` a ) = ( Y ` (/) ) )
2		f1eq1 5782	. . . . . 6 |- ( ( Y ` a ) = ( Y ` (/) ) -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V ) )
4	1	rneqd 5236	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` (/) ) )
5	4	unieqd 4261	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` (/) ) )
6	5	sseq1d 3536	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ G <-> U. ran ( Y ` (/) ) C_ G ) )
7	3, 6	anbi12d 710	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) <-> ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` (/) ) C_ G ) ) )
8	7	imbi2d 316	. . 3 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) ) <-> ( ph -> ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` (/) ) C_ G ) ) ) )
9		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( Y ` a ) = ( Y ` b ) )
10		f1eq1 5782	. . . . . 6 |- ( ( Y ` a ) = ( Y ` b ) -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` b ) : om -1-1-> _V ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` b ) : om -1-1-> _V ) )
12	9	rneqd 5236	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` b ) )
13	12	unieqd 4261	. . . . . 6 |- ( a = b -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` b ) )
14	13	sseq1d 3536	. . . . 5 |- ( a = b -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ G <-> U. ran ( Y ` b ) C_ G ) )
15	11, 14	anbi12d 710	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) <-> ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) )
16	15	imbi2d 316	. . 3 |- ( a = b -> ( ( ph -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) ) <-> ( ph -> ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) ) )
17		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( a = suc b -> ( Y ` a ) = ( Y ` suc b ) )
18		f1eq1 5782	. . . . . 6 |- ( ( Y ` a ) = ( Y ` suc b ) -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . 5 |- ( a = suc b -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V ) )
20	17	rneqd 5236	. . . . . . 7 |- ( a = suc b -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` suc b ) )
21	20	unieqd 4261	. . . . . 6 |- ( a = suc b -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` suc b ) )
22	21	sseq1d 3536	. . . . 5 |- ( a = suc b -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ G <-> U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) )
23	19, 22	anbi12d 710	. . . 4 |- ( a = suc b -> ( ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) <-> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) ) )
24	23	imbi2d 316	. . 3 |- ( a = suc b -> ( ( ph -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) ) <-> ( ph -> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) ) ) )
25		fveq2 5872	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( Y ` a ) = ( Y ` A ) )
26		f1eq1 5782	. . . . . 6 |- ( ( Y ` a ) = ( Y ` A ) -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` A ) : om -1-1-> _V ) )
27	25, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` A ) : om -1-1-> _V ) )
28	25	rneqd 5236	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` A ) )
29	28	unieqd 4261	. . . . . 6 |- ( a = A -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` A ) )
30	29	sseq1d 3536	. . . . 5 |- ( a = A -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ G <-> U. ran ( Y ` A ) C_ G ) )
31	27, 30	anbi12d 710	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) <-> ( ( Y ` A ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` A ) C_ G ) ) )
32	31	imbi2d 316	. . 3 |- ( a = A -> ( ( ph -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) ) <-> ( ph -> ( ( Y ` A ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` A ) C_ G ) ) ) )
33		fin23lem.f	. . . 4 |- ( ph -> h : om -1-1-> _V )
34		fin23lem.g	. . . 4 |- ( ph -> U. ran h C_ G )
35		fin23lem.i	. . . . . . . 8 |- Y = ( rec ( i , h ) |` om )
36	35	fveq1i 5873	. . . . . . 7 |- ( Y ` (/) ) = ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` (/) )
37		vex 3121	. . . . . . . 8 |- h e. _V
38		fr0g 7113	. . . . . . . 8 |- ( h e. _V -> ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` (/) ) = h )
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` (/) ) = h
40	36, 39	eqtri 2496	. . . . . 6 |- ( Y ` (/) ) = h
41		f1eq1 5782	. . . . . 6 |- ( ( Y ` (/) ) = h -> ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V <-> h : om -1-1-> _V ) )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V <-> h : om -1-1-> _V )
43	40	rneqi 5235	. . . . . . 7 |- ran ( Y ` (/) ) = ran h
44	43	unieqi 4260	. . . . . 6 |- U. ran ( Y ` (/) ) = U. ran h
45	44	sseq1i 3533	. . . . 5 |- ( U. ran ( Y ` (/) ) C_ G <-> U. ran h C_ G )
46	42, 45	anbi12i 697	. . . 4 |- ( ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` (/) ) C_ G ) <-> ( h : om -1-1-> _V /\ U. ran h C_ G ) )
47	33, 34, 46	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ph -> ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` (/) ) C_ G ) )
48		fin23lem.h	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) )
49		fvex 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y ` b ) e. _V
50		f1eq1 5782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( j : om -1-1-> _V <-> ( Y ` b ) : om -1-1-> _V ) )
51		rneq 5234	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( Y ` b ) -> ran j = ran ( Y ` b ) )
52	51	unieqd 4261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( Y ` b ) -> U. ran j = U. ran ( Y ` b ) )
53	52	sseq1d 3536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( U. ran j C_ G <-> U. ran ( Y ` b ) C_ G ) )
54	50, 53	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) <-> ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) )
55		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( i ` j ) = ( i ` ( Y ` b ) ) )
56		f1eq1 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i ` j ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V <-> ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V ) )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V <-> ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V ) )
58	55	rneqd 5236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( Y ` b ) -> ran ( i ` j ) = ran ( i ` ( Y ` b ) ) )
59	58	unieqd 4261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( Y ` b ) -> U. ran ( i ` j ) = U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) )
60	59, 52	psseq12d 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( U. ran ( i ` j ) C. U. ran j <-> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) )
61	57, 60	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) <-> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) ) )
62	54, 61	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) <-> ( ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) ) ) )
63	49, 62	spcv 3209	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) -> ( ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) ) )
64	48, 63	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) ) )
65	64	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) )
66		pssss 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) -> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ U. ran ( Y ` b ) )
67		sstr 3517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ U. ran ( Y ` b ) /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G )
68	66, 67	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G )
69	68	expcom 435	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ran ( Y ` b ) C_ G -> ( U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) -> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) )
70	69	anim2d 565	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran ( Y ` b ) C_ G -> ( ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) ) )
71	70	ad2antll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) ) )
72	65, 71	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) )
73	72	3adant1 1014	. . . . . 6 |- ( ( b e. om /\ ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) )
74		frsuc 7114	. . . . . . . . 9 |- ( b e. om -> ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` suc b ) = ( i ` ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` b ) ) )
75	35	fveq1i 5873	. . . . . . . . 9 |- ( Y ` suc b ) = ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` suc b )
76	35	fveq1i 5873	. . . . . . . . . 10 |- ( Y ` b ) = ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` b )
77	76	fveq2i 5875	. . . . . . . . 9 |- ( i ` ( Y ` b ) ) = ( i ` ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` b ) )
78	74, 75, 77	3eqtr4g 2533	. . . . . . . 8 |- ( b e. om -> ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) )
79		f1eq1 5782	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V <-> ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V ) )
80		rneq 5234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> ran ( Y ` suc b ) = ran ( i ` ( Y ` b ) ) )
81	80	unieqd 4261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> U. ran ( Y ` suc b ) = U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) )
82	81	sseq1d 3536	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> ( U. ran ( Y ` suc b ) C_ G <-> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) )
83	79, 82	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> ( ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) <-> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) ) )
84	78, 83	syl 16	. . . . . . 7 |- ( b e. om -> ( ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) <-> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) ) )
85	84	3ad2ant1 1017	. . . . . 6 |- ( ( b e. om /\ ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) <-> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) ) )
86	73, 85	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( b e. om /\ ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) )
87	86	3exp 1195	. . . 4 |- ( b e. om -> ( ph -> ( ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) ) ) )
88	87	a2d 26	. . 3 |- ( b e. om -> ( ( ph -> ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ph -> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) ) ) )
89	8, 16, 24, 32, 47, 88	finds 6721	. 2 |- ( A e. om -> ( ph -> ( ( Y ` A ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` A ) C_ G ) ) )
90	89	impcom 430	1 |- ( ( ph /\ A e. om ) -> ( ( Y ` A ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` A ) C_ G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   C. wpss 3482   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   |^|cint 4288   suc csuc 4886   ran crn 5006   |` cres 5007   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   omcom 6695   reccrdg 7087   ^m cmap 7432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088

This theorem is referenced by:  fin23lem35  8739  fin23lem39  8742