Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem34 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fin23lem34 8794
 Description: Lemma for fin23 8837. Establish induction invariants on which parameterizes our contradictory chain of subsets. In this section, is the hypothetically assumed family of subsets, is the ground set, and is the induction function constructed in the previous section. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem33.f
fin23lem.f
fin23lem.g
fin23lem.h
fin23lem.i
Assertion
Ref Expression
fin23lem34
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem fin23lem34
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . 6
2 f1eq1 5787 . . . . . 6
31, 2syl 17 . . . . 5
41rneqd 5068 . . . . . . 7
54unieqd 4200 . . . . . 6
65sseq1d 3445 . . . . 5
73, 6anbi12d 725 . . . 4
87imbi2d 323 . . 3
9 fveq2 5879 . . . . . 6
10 f1eq1 5787 . . . . . 6
119, 10syl 17 . . . . 5
129rneqd 5068 . . . . . . 7
1312unieqd 4200 . . . . . 6
1413sseq1d 3445 . . . . 5
1511, 14anbi12d 725 . . . 4
1615imbi2d 323 . . 3
17 fveq2 5879 . . . . . 6
18 f1eq1 5787 . . . . . 6
1917, 18syl 17 . . . . 5
2017rneqd 5068 . . . . . . 7
2120unieqd 4200 . . . . . 6
2221sseq1d 3445 . . . . 5
2319, 22anbi12d 725 . . . 4
2423imbi2d 323 . . 3
25 fveq2 5879 . . . . . 6
26 f1eq1 5787 . . . . . 6
2725, 26syl 17 . . . . 5
2825rneqd 5068 . . . . . . 7
2928unieqd 4200 . . . . . 6
3029sseq1d 3445 . . . . 5
3127, 30anbi12d 725 . . . 4
3231imbi2d 323 . . 3
33 fin23lem.f . . . 4
34 fin23lem.g . . . 4
35 fin23lem.i . . . . . . . 8
3635fveq1i 5880 . . . . . . 7
37 vex 3034 . . . . . . . 8
38 fr0g 7171 . . . . . . . 8
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7
4036, 39eqtri 2493 . . . . . 6
41 f1eq1 5787 . . . . . 6
4240, 41ax-mp 5 . . . . 5
4340rneqi 5067 . . . . . . 7
4443unieqi 4199 . . . . . 6
4544sseq1i 3442 . . . . 5
4642, 45anbi12i 711 . . . 4
4733, 34, 46sylanbrc 677 . . 3
48 fin23lem.h . . . . . . . . . 10
49 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
50 f1eq1 5787 . . . . . . . . . . . . 13
51 rneq 5066 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . 14
5352sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . 13
5450, 53anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12
55 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
56 f1eq1 5787 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
5855rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . 14
6059, 52psseq12d 3513 . . . . . . . . . . . . 13
6157, 60anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12
6254, 61imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11
6349, 62spcv 3126 . . . . . . . . . 10
6448, 63syl 17 . . . . . . . . 9
6564imp 436 . . . . . . . 8
66 pssss 3514 . . . . . . . . . . . 12
67 sstr 3426 . . . . . . . . . . . 12
6866, 67sylan 479 . . . . . . . . . . 11
6968expcom 442 . . . . . . . . . 10
7069anim2d 575 . . . . . . . . 9
7170ad2antll 743 . . . . . . . 8
7265, 71mpd 15 . . . . . . 7
73723adant1 1048 . . . . . 6
74 frsuc 7172 . . . . . . . . 9
7535fveq1i 5880 . . . . . . . . 9
7635fveq1i 5880 . . . . . . . . . 10
7776fveq2i 5882 . . . . . . . . 9
7874, 75, 773eqtr4g 2530 . . . . . . . 8
79 f1eq1 5787 . . . . . . . . 9
80 rneq 5066 . . . . . . . . . . 11
8180unieqd 4200 . . . . . . . . . 10
8281sseq1d 3445 . . . . . . . . 9
8379, 82anbi12d 725 . . . . . . . 8
8478, 83syl 17 . . . . . . 7
85843ad2ant1 1051 . . . . . 6
8673, 85mpbird 240 . . . . 5
87863exp 1230 . . . 4
8887a2d 28 . . 3
898, 16, 24, 32, 47, 88finds 6738 . 2
9089impcom 437 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007  wal 1450   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457  wral 2756  cvv 3031   wss 3390   wpss 3391  c0 3722  cpw 3942  cuni 4190  cint 4226   crn 4840   cres 4841   csuc 5432  wf1 5586  cfv 5589  (class class class)co 6308  com 6711  crdg 7145   cmap 7490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146 This theorem is referenced by:  fin23lem35  8795  fin23lem39  8798
 Copyright terms: Public domain W3C validator