Theorem fin23lem34 8182

Description: Lemma for fin23 8225. Establish induction invariants on Y which parameterizes our contradictory chain of subsets. In this section, h is the hypothetically assumed family of subsets, g is the ground set, and i is the induction function constructed in the previous section. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem33.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
fin23lem.f	|- ( ph -> h : om -1-1-> _V )
fin23lem.g	|- ( ph -> U. ran h C_ G )
fin23lem.h	|- ( ph -> A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) )
fin23lem.i	|- Y = ( rec ( i , h ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
fin23lem34	|- ( ( ph /\ A e. om ) -> ( ( Y ` A ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` A ) C_ G ) )

Distinct variable groups:   g, a, i, j, x   A, a, j   h, a, G, g, i, j, x   F, a   ph, a, j   Y, a, j

Allowed substitution hints:   ph( x, g, h, i)   A( x, g, h, i)   F( x, g, h, i, j)   Y( x, g, h, i)

Proof of Theorem fin23lem34

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( Y ` a ) = ( Y ` (/) ) )
2		f1eq1 5593	. . . . . 6 |- ( ( Y ` a ) = ( Y ` (/) ) -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V ) )
4	1	rneqd 5056	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` (/) ) )
5	4	unieqd 3986	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` (/) ) )
6	5	sseq1d 3335	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ G <-> U. ran ( Y ` (/) ) C_ G ) )
7	3, 6	anbi12d 692	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) <-> ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` (/) ) C_ G ) ) )
8	7	imbi2d 308	. . 3 |- ( a = (/) -> ( ( ph -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) ) <-> ( ph -> ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` (/) ) C_ G ) ) ) )
9		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( Y ` a ) = ( Y ` b ) )
10		f1eq1 5593	. . . . . 6 |- ( ( Y ` a ) = ( Y ` b ) -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` b ) : om -1-1-> _V ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` b ) : om -1-1-> _V ) )
12	9	rneqd 5056	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` b ) )
13	12	unieqd 3986	. . . . . 6 |- ( a = b -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` b ) )
14	13	sseq1d 3335	. . . . 5 |- ( a = b -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ G <-> U. ran ( Y ` b ) C_ G ) )
15	11, 14	anbi12d 692	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) <-> ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) )
16	15	imbi2d 308	. . 3 |- ( a = b -> ( ( ph -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) ) <-> ( ph -> ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) ) )
17		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( a = suc b -> ( Y ` a ) = ( Y ` suc b ) )
18		f1eq1 5593	. . . . . 6 |- ( ( Y ` a ) = ( Y ` suc b ) -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . 5 |- ( a = suc b -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V ) )
20	17	rneqd 5056	. . . . . . 7 |- ( a = suc b -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` suc b ) )
21	20	unieqd 3986	. . . . . 6 |- ( a = suc b -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` suc b ) )
22	21	sseq1d 3335	. . . . 5 |- ( a = suc b -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ G <-> U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) )
23	19, 22	anbi12d 692	. . . 4 |- ( a = suc b -> ( ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) <-> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) ) )
24	23	imbi2d 308	. . 3 |- ( a = suc b -> ( ( ph -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) ) <-> ( ph -> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) ) ) )
25		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( a = A -> ( Y ` a ) = ( Y ` A ) )
26		f1eq1 5593	. . . . . 6 |- ( ( Y ` a ) = ( Y ` A ) -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` A ) : om -1-1-> _V ) )
27	25, 26	syl 16	. . . . 5 |- ( a = A -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V <-> ( Y ` A ) : om -1-1-> _V ) )
28	25	rneqd 5056	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ran ( Y ` a ) = ran ( Y ` A ) )
29	28	unieqd 3986	. . . . . 6 |- ( a = A -> U. ran ( Y ` a ) = U. ran ( Y ` A ) )
30	29	sseq1d 3335	. . . . 5 |- ( a = A -> ( U. ran ( Y ` a ) C_ G <-> U. ran ( Y ` A ) C_ G ) )
31	27, 30	anbi12d 692	. . . 4 |- ( a = A -> ( ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) <-> ( ( Y ` A ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` A ) C_ G ) ) )
32	31	imbi2d 308	. . 3 |- ( a = A -> ( ( ph -> ( ( Y ` a ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` a ) C_ G ) ) <-> ( ph -> ( ( Y ` A ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` A ) C_ G ) ) ) )
33		fin23lem.f	. . . 4 |- ( ph -> h : om -1-1-> _V )
34		fin23lem.g	. . . 4 |- ( ph -> U. ran h C_ G )
35		fin23lem.i	. . . . . . . 8 |- Y = ( rec ( i , h ) |` om )
36	35	fveq1i 5688	. . . . . . 7 |- ( Y ` (/) ) = ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` (/) )
37		vex 2919	. . . . . . . 8 |- h e. _V
38		fr0g 6652	. . . . . . . 8 |- ( h e. _V -> ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` (/) ) = h )
39	37, 38	ax-mp 8	. . . . . . 7 |- ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` (/) ) = h
40	36, 39	eqtri 2424	. . . . . 6 |- ( Y ` (/) ) = h
41		f1eq1 5593	. . . . . 6 |- ( ( Y ` (/) ) = h -> ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V <-> h : om -1-1-> _V ) )
42	40, 41	ax-mp 8	. . . . 5 |- ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V <-> h : om -1-1-> _V )
43	40	rneqi 5055	. . . . . . 7 |- ran ( Y ` (/) ) = ran h
44	43	unieqi 3985	. . . . . 6 |- U. ran ( Y ` (/) ) = U. ran h
45	44	sseq1i 3332	. . . . 5 |- ( U. ran ( Y ` (/) ) C_ G <-> U. ran h C_ G )
46	42, 45	anbi12i 679	. . . 4 |- ( ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` (/) ) C_ G ) <-> ( h : om -1-1-> _V /\ U. ran h C_ G ) )
47	33, 34, 46	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ph -> ( ( Y ` (/) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` (/) ) C_ G ) )
48		fin23lem.h	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) )
49		fvex 5701	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y ` b ) e. _V
50		f1eq1 5593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( j : om -1-1-> _V <-> ( Y ` b ) : om -1-1-> _V ) )
51		rneq 5054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( Y ` b ) -> ran j = ran ( Y ` b ) )
52	51	unieqd 3986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( Y ` b ) -> U. ran j = U. ran ( Y ` b ) )
53	52	sseq1d 3335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( U. ran j C_ G <-> U. ran ( Y ` b ) C_ G ) )
54	50, 53	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) <-> ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) )
55		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( i ` j ) = ( i ` ( Y ` b ) ) )
56		f1eq1 5593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i ` j ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V <-> ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V ) )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V <-> ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V ) )
58	55	rneqd 5056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = ( Y ` b ) -> ran ( i ` j ) = ran ( i ` ( Y ` b ) ) )
59	58	unieqd 3986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = ( Y ` b ) -> U. ran ( i ` j ) = U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) )
60	59, 52	psseq12d 3401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( U. ran ( i ` j ) C. U. ran j <-> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) )
61	57, 60	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) <-> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) ) )
62	54, 61	imbi12d 312	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( Y ` b ) -> ( ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) <-> ( ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) ) ) )
63	49, 62	spcv 3002	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j ( ( j : om -1-1-> _V /\ U. ran j C_ G ) -> ( ( i ` j ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` j ) C. U. ran j ) ) -> ( ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) ) )
64	48, 63	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) ) )
65	64	imp 419	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) )
66		pssss 3402	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) -> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ U. ran ( Y ` b ) )
67		sstr 3316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ U. ran ( Y ` b ) /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G )
68	66, 67	sylan 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G )
69	68	expcom 425	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ran ( Y ` b ) C_ G -> ( U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) -> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) )
70	69	anim2d 549	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran ( Y ` b ) C_ G -> ( ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) ) )
71	70	ad2antll 710	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C. U. ran ( Y ` b ) ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) ) )
72	65, 71	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) )
73	72	3adant1 975	. . . . . 6 |- ( ( b e. om /\ ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) )
74		frsuc 6653	. . . . . . . . 9 |- ( b e. om -> ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` suc b ) = ( i ` ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` b ) ) )
75	35	fveq1i 5688	. . . . . . . . 9 |- ( Y ` suc b ) = ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` suc b )
76	35	fveq1i 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( Y ` b ) = ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` b )
77	76	fveq2i 5690	. . . . . . . . 9 |- ( i ` ( Y ` b ) ) = ( i ` ( ( rec ( i , h ) |` om ) ` b ) )
78	74, 75, 77	3eqtr4g 2461	. . . . . . . 8 |- ( b e. om -> ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) )
79		f1eq1 5593	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V <-> ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V ) )
80		rneq 5054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> ran ( Y ` suc b ) = ran ( i ` ( Y ` b ) ) )
81	80	unieqd 3986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> U. ran ( Y ` suc b ) = U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) )
82	81	sseq1d 3335	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> ( U. ran ( Y ` suc b ) C_ G <-> U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) )
83	79, 82	anbi12d 692	. . . . . . . 8 |- ( ( Y ` suc b ) = ( i ` ( Y ` b ) ) -> ( ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) <-> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) ) )
84	78, 83	syl 16	. . . . . . 7 |- ( b e. om -> ( ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) <-> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) ) )
85	84	3ad2ant1 978	. . . . . 6 |- ( ( b e. om /\ ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) <-> ( ( i ` ( Y ` b ) ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( i ` ( Y ` b ) ) C_ G ) ) )
86	73, 85	mpbird 224	. . . . 5 |- ( ( b e. om /\ ph /\ ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) )
87	86	3exp 1152	. . . 4 |- ( b e. om -> ( ph -> ( ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) -> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) ) ) )
88	87	a2d 24	. . 3 |- ( b e. om -> ( ( ph -> ( ( Y ` b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` b ) C_ G ) ) -> ( ph -> ( ( Y ` suc b ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` suc b ) C_ G ) ) ) )
89	8, 16, 24, 32, 47, 88	finds 4830	. 2 |- ( A e. om -> ( ph -> ( ( Y ` A ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` A ) C_ G ) ) )
90	89	impcom 420	1 |- ( ( ph /\ A e. om ) -> ( ( Y ` A ) : om -1-1-> _V /\ U. ran ( Y ` A ) C_ G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   A.wal 1546   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   C. wpss 3281   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   |^|cint 4010   suc csuc 4543   omcom 4804   ran crn 4838   |` cres 4839   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   reccrdg 6626   ^m cmap 6977

This theorem is referenced by:  fin23lem35  8183  fin23lem39  8186

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627