MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem32 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fin23lem32 8799
Description: Lemma for fin23 8844. Wrap the previous construction into a function to hide the hypotheses. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
fin23lem17.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.b  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
fin23lem.c  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P  ( x  i^i  P ) 
~~  w ) )
fin23lem.d  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
fin23lem.e  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
Assertion
Ref Expression
fin23lem32  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
)  ->  ( (
f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
)  C.  U. ran  b
) ) )
Distinct variable groups:    g, i,
t, u, v, x, z    a, b, i, u, t    F, a, t    w, a, x, z, P, b    v,
a, R, b, i, u    U, a, b, i, u, v, z    f,
a, Z, b    g,
a, G, b, t, f, x
Allowed substitution hints:    P( v, u, t, f, g, i)    Q( x, z, w, v, u, t, f, g, i, a, b)    R( x, z, w, t, f, g)    U( x, w, t, f, g)    F( x, z, w, v, u, f, g, i, b)    G( z, w, v, u, i)    Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem32
StepHypRef Expression
1 fin23lem.a . . . . . . . 8  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
2 fin23lem17.f . . . . . . . 8  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
3 fin23lem.b . . . . . . . 8  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
4 fin23lem.c . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P  ( x  i^i  P ) 
~~  w ) )
5 fin23lem.d . . . . . . . 8  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
6 fin23lem.e . . . . . . . 8  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem28 8795 . . . . . . 7  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  Z : om -1-1-> _V )
87ad2antrl 739 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z : om -1-1-> _V )
9 simprl 769 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om -1-1-> _V )
10 simpl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  G  e.  F )
11 simprr 771 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  U. ran  t  C_  G
)
121, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem31 8798 . . . . . . 7  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  G  e.  F  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  U. ran  Z  C. 
U. ran  t )
139, 10, 11, 12syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  U. ran  Z  C.  U. ran  t )
14 f1fn 5802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t  Fn  om )
15 dffn3 5758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  Fn  om  <->  t : om
--> ran  t )
1614, 15sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t : om --> ran  t
)
1716ad2antrl 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om --> ran  t
)
18 sspwuni 4380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  t  C_  ~P G  <->  U.
ran  t  C_  G
)
1918biimpri 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  t  C_  G  ->  ran  t  C_  ~P G
)
2019ad2antll 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  ran  t  C_  ~P G
)
2117, 20fssd 5760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om --> ~P G
)
22 pwexg 4600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  F  ->  ~P G  e.  _V )
2322adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  ~P G  e.  _V )
24 vex 3059 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
25 f1f 5801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t : om --> _V )
26 dmfex 6777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  _V  /\  t : om --> _V )  ->  om  e.  _V )
2724, 25, 26sylancr 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  om  e.  _V )
2827ad2antrl 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  om  e.  _V )
2923, 28elmapd 7511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( t  e.  ( ~P G  ^m  om ) 
<->  t : om --> ~P G
) )
3021, 29mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t  e.  ( ~P G  ^m  om )
)
31 f1f 5801 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z : om -1-1-> _V  ->  Z : om --> _V )
328, 31syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z : om --> _V )
33 fex 6162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z : om --> _V  /\  om  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
3432, 28, 33syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z  e.  _V )
35 eqid 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
3635fvmpt2 5979 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t )  =  Z )
3730, 34, 36syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z )
38 f1eq1 5796 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  <->  Z : om -1-1-> _V )
)
39 rneq 5078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  =  ran  Z
)
4039unieqd 4221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  =  U. ran  Z )
4140psseq1d 3536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t 
<-> 
U. ran  Z  C.  U. ran  t ) )
4238, 41anbi12d 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( Z : om
-1-1-> _V  /\  U. ran  Z 
C.  U. ran  t ) ) )
4337, 42syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( Z : om
-1-1-> _V  /\  U. ran  Z 
C.  U. ran  t ) ) )
448, 13, 43mpbir2and 938 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) )
4544ex 440 . . . 4  |-  ( G  e.  F  ->  (
( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G )  ->  (
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
4645alrimiv 1783 . . 3  |-  ( G  e.  F  ->  A. t
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) ) )
47 ovex 6342 . . . . 5  |-  ( ~P G  ^m  om )  e.  _V
4847mptex 6160 . . . 4  |-  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  e.  _V
49 nfmpt1 4505 . . . . . 6  |-  F/_ t
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
5049nfeq2 2617 . . . . 5  |-  F/ t  f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
51 fveq1 5886 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( f `  t
)  =  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) )
52 f1eq1 5796 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  t )  =  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V  <->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V ) )
5351, 52syl 17 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V  <->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V ) )
5451rneqd 5080 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  ->  ran  ( f `  t
)  =  ran  (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) )
5554unieqd 4221 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  ->  U. ran  ( f `  t )  =  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) )
5655psseq1d 3536 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( U. ran  (
f `  t )  C. 
U. ran  t  <->  U. ran  (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) )
5753, 56anbi12d 722 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( ( f `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
5857imbi2d 322 . . . . 5  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) )  <->  ( (
t : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  t  C_  G )  ->  (
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) ) )
5950, 58albid 1973 . . . 4  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( A. t ( ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G )  ->  (
( f `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( f `  t )  C.  U. ran  t ) )  <->  A. t
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) ) ) )
6048, 59spcev 3152 . . 3  |-  ( A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) )  ->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
6146, 60syl 17 . 2  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
62 f1eq1 5796 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  (
b : om -1-1-> _V  <->  t : om -1-1-> _V )
)
63 rneq 5078 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  t  ->  ran  b  =  ran  t )
6463unieqd 4221 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  U. ran  b  =  U. ran  t
)
6564sseq1d 3470 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  ( U. ran  b  C_  G  <->  U.
ran  t  C_  G
) )
6662, 65anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( b  =  t  ->  (
( b : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  b  C_  G )  <->  ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G ) ) )
67 fveq2 5887 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  (
f `  b )  =  ( f `  t ) )
68 f1eq1 5796 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  b )  =  ( f `  t )  ->  (
( f `  b
) : om -1-1-> _V  <->  ( f `  t ) : om -1-1-> _V )
)
6967, 68syl 17 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  (
( f `  b
) : om -1-1-> _V  <->  ( f `  t ) : om -1-1-> _V )
)
7067rneqd 5080 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  t  ->  ran  ( f `  b
)  =  ran  (
f `  t )
)
7170unieqd 4221 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  U. ran  ( f `  b
)  =  U. ran  ( f `  t
) )
7271, 64psseq12d 3538 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  ( U. ran  ( f `  b )  C.  U. ran  b 
<-> 
U. ran  ( f `  t )  C.  U. ran  t ) )
7369, 72anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( b  =  t  ->  (
( ( f `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 b )  C.  U.
ran  b )  <->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
7466, 73imbi12d 326 . . . 4  |-  ( b  =  t  ->  (
( ( b : om -1-1-> _V  /\  U. ran  b  C_  G )  -> 
( ( f `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 b )  C.  U.
ran  b ) )  <-> 
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 t )  C.  U.
ran  t ) ) ) )
7574cbvalv 2126 . . 3  |-  ( A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
)  ->  ( (
f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
)  C.  U. ran  b
) )  <->  A. t
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 t )  C.  U.
ran  t ) ) )
7675exbii 1728 . 2  |-  ( E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  b  C_  G )  ->  (
( f `  b
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( f `  b )  C.  U. ran  b ) )  <->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
7761, 76sylibr 217 1  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
)  ->  ( (
f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
)  C.  U. ran  b
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1452    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897   {cab 2447   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056    \ cdif 3412    i^i cin 3414    C_ wss 3415    C. wpss 3416   (/)c0 3742   ifcif 3892   ~Pcpw 3962   U.cuni 4211   |^|cint 4247   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   ran crn 4853    o. ccom 4856   suc csuc 5443    Fn wfn 5595   -->wf 5596   -1-1->wf1 5597   ` cfv 5600   iota_crio 6275  (class class class)co 6314    |-> cmpt2 6316   omcom 6718  seq𝜔cseqom 7189    ^m cmap 7497    ~~ cen 7591   Fincfn 7594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-seqom 7190  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398
This theorem is referenced by:  fin23lem33  8800
  Copyright terms: Public domain W3C validator