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Theorem fin23lem32 8736
Description: Lemma for fin23 8781. Wrap the previous construction into a function to hide the hypotheses. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
fin23lem17.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.b  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
fin23lem.c  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P  ( x  i^i  P ) 
~~  w ) )
fin23lem.d  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
fin23lem.e  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
Assertion
Ref Expression
fin23lem32  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
)  ->  ( (
f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
)  C.  U. ran  b
) ) )
Distinct variable groups:    g, i,
t, u, v, x, z    a, b, i, u, t    F, a, t    w, a, x, z, P, b    v,
a, R, b, i, u    U, a, b, i, u, v, z    f,
a, Z, b    g,
a, G, b, t, f, x
Allowed substitution hints:    P( v, u, t, f, g, i)    Q( x, z, w, v, u, t, f, g, i, a, b)    R( x, z, w, t, f, g)    U( x, w, t, f, g)    F( x, z, w, v, u, f, g, i, b)    G( z, w, v, u, i)    Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem32
StepHypRef Expression
1 fin23lem.a . . . . . . . 8  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
2 fin23lem17.f . . . . . . . 8  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
3 fin23lem.b . . . . . . . 8  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
4 fin23lem.c . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P  ( x  i^i  P ) 
~~  w ) )
5 fin23lem.d . . . . . . . 8  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
6 fin23lem.e . . . . . . . 8  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem28 8732 . . . . . . 7  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  Z : om -1-1-> _V )
87ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z : om -1-1-> _V )
9 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om -1-1-> _V )
10 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  G  e.  F )
11 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  U. ran  t  C_  G
)
121, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem31 8735 . . . . . . 7  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  G  e.  F  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  U. ran  Z  C. 
U. ran  t )
139, 10, 11, 12syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  U. ran  Z  C.  U. ran  t )
14 f1fn 5788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t  Fn  om )
15 dffn3 5744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  Fn  om  <->  t : om
--> ran  t )
1614, 15sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t : om --> ran  t
)
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om --> ran  t
)
18 sspwuni 4417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  t  C_  ~P G  <->  U.
ran  t  C_  G
)
1918biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  t  C_  G  ->  ran  t  C_  ~P G
)
2019ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  ran  t  C_  ~P G
)
21 fss 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om --> ran  t  /\  ran  t  C_  ~P G )  ->  t : om --> ~P G )
2217, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om --> ~P G
)
23 pwexg 4637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  F  ->  ~P G  e.  _V )
2423adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  ~P G  e.  _V )
25 vex 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
26 f1f 5787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t : om --> _V )
27 dmfex 6753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  _V  /\  t : om --> _V )  ->  om  e.  _V )
2825, 26, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  om  e.  _V )
2928ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  om  e.  _V )
30 elmapg 7445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P G  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )  ->  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om ) 
<->  t : om --> ~P G
) )
3124, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( t  e.  ( ~P G  ^m  om ) 
<->  t : om --> ~P G
) )
3222, 31mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t  e.  ( ~P G  ^m  om )
)
33 f1f 5787 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z : om -1-1-> _V  ->  Z : om --> _V )
348, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z : om --> _V )
35 fex 6144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z : om --> _V  /\  om  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
3634, 29, 35syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z  e.  _V )
37 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
3837fvmpt2 5964 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t )  =  Z )
3932, 36, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z )
40 f1eq1 5782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  <->  Z : om -1-1-> _V )
)
41 rneq 5234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  =  ran  Z
)
4241unieqd 4261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  =  U. ran  Z )
4342psseq1d 3601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t 
<-> 
U. ran  Z  C.  U. ran  t ) )
4440, 43anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( Z : om
-1-1-> _V  /\  U. ran  Z 
C.  U. ran  t ) ) )
4539, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( Z : om
-1-1-> _V  /\  U. ran  Z 
C.  U. ran  t ) ) )
468, 13, 45mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) )
4746ex 434 . . . 4  |-  ( G  e.  F  ->  (
( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G )  ->  (
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
4847alrimiv 1695 . . 3  |-  ( G  e.  F  ->  A. t
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) ) )
49 ovex 6320 . . . . 5  |-  ( ~P G  ^m  om )  e.  _V
5049mptex 6142 . . . 4  |-  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  e.  _V
51 nfmpt1 4542 . . . . . 6  |-  F/_ t
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
5251nfeq2 2646 . . . . 5  |-  F/ t  f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
53 fveq1 5871 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( f `  t
)  =  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) )
54 f1eq1 5782 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  t )  =  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V  <->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V  <->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V ) )
5653rneqd 5236 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  ->  ran  ( f `  t
)  =  ran  (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) )
5756unieqd 4261 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  ->  U. ran  ( f `  t )  =  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) )
5857psseq1d 3601 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( U. ran  (
f `  t )  C. 
U. ran  t  <->  U. ran  (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) )
5955, 58anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( ( f `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
6059imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) )  <->  ( (
t : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  t  C_  G )  ->  (
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) ) )
6152, 60albid 1833 . . . 4  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( A. t ( ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G )  ->  (
( f `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( f `  t )  C.  U. ran  t ) )  <->  A. t
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) ) ) )
6250, 61spcev 3210 . . 3  |-  ( A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) )  ->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
6348, 62syl 16 . 2  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
64 f1eq1 5782 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  (
b : om -1-1-> _V  <->  t : om -1-1-> _V )
)
65 rneq 5234 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  t  ->  ran  b  =  ran  t )
6665unieqd 4261 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  U. ran  b  =  U. ran  t
)
6766sseq1d 3536 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  ( U. ran  b  C_  G  <->  U.
ran  t  C_  G
) )
6864, 67anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( b  =  t  ->  (
( b : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  b  C_  G )  <->  ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G ) ) )
69 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  (
f `  b )  =  ( f `  t ) )
70 f1eq1 5782 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  b )  =  ( f `  t )  ->  (
( f `  b
) : om -1-1-> _V  <->  ( f `  t ) : om -1-1-> _V )
)
7169, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  (
( f `  b
) : om -1-1-> _V  <->  ( f `  t ) : om -1-1-> _V )
)
7269rneqd 5236 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  t  ->  ran  ( f `  b
)  =  ran  (
f `  t )
)
7372unieqd 4261 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  U. ran  ( f `  b
)  =  U. ran  ( f `  t
) )
7473, 66psseq12d 3603 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  ( U. ran  ( f `  b )  C.  U. ran  b 
<-> 
U. ran  ( f `  t )  C.  U. ran  t ) )
7571, 74anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( b  =  t  ->  (
( ( f `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 b )  C.  U.
ran  b )  <->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
7668, 75imbi12d 320 . . . 4  |-  ( b  =  t  ->  (
( ( b : om -1-1-> _V  /\  U. ran  b  C_  G )  -> 
( ( f `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 b )  C.  U.
ran  b ) )  <-> 
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 t )  C.  U.
ran  t ) ) ) )
7776cbvalv 1996 . . 3  |-  ( A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
)  ->  ( (
f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
)  C.  U. ran  b
) )  <->  A. t
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 t )  C.  U.
ran  t ) ) )
7877exbii 1644 . 2  |-  ( E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  b  C_  G )  ->  (
( f `  b
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U. ran  ( f `  b )  C.  U. ran  b ) )  <->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
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)  C.  U. ran  t
) ) )
7963, 78sylibr 212 1  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
)  ->  ( (
f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
)  C.  U. ran  b
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    i^i cin 3480    C_ wss 3481    C. wpss 3482   (/)c0 3790   ifcif 3945   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   |^|cint 4288   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   suc csuc 4886   ran crn 5006    o. ccom 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594   iota_crio 6255  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   omcom 6695  seq𝜔cseqom 7124    ^m cmap 7432    ~~ cen 7525   Fincfn 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-seqom 7125  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332
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