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Theorem fin23lem32 8180
Description: Lemma for fin23 8225. Wrap the previous construction into a function to hide the hypotheses. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
fin23lem17.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.b  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
fin23lem.c  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P
( x  i^i  P
)  ~~  w )
)
fin23lem.d  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
fin23lem.e  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
Assertion
Ref Expression
fin23lem32  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
)  ->  ( (
f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
)  C.  U. ran  b
) ) )
Distinct variable groups:    g, i,
t, u, v, x, z    a, b, i, u, t    F, a, t    w, a, x, z, P, b    v,
a, R, b, i, u    U, a, b, i, u, v, z    f,
a, Z, b    g,
a, G, b, t, f, x
Allowed substitution hints:    P( v, u, t, f, g, i)    Q( x, z, w, v, u, t, f, g, i, a, b)    R( x, z, w, t, f, g)    U( x, w, t, f, g)    F( x, z, w, v, u, f, g, i, b)    G( z, w, v, u, i)    Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem32
StepHypRef Expression
1 fin23lem.a . . . . . . . 8  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
2 fin23lem17.f . . . . . . . 8  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
3 fin23lem.b . . . . . . . 8  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
4 fin23lem.c . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P
( x  i^i  P
)  ~~  w )
)
5 fin23lem.d . . . . . . . 8  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
6 fin23lem.e . . . . . . . 8  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem28 8176 . . . . . . 7  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  Z : om -1-1-> _V )
87ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z : om -1-1-> _V )
9 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om -1-1-> _V )
10 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  G  e.  F )
11 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  U. ran  t  C_  G
)
121, 2, 3, 4, 5, 6fin23lem31 8179 . . . . . . 7  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  G  e.  F  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  U. ran  Z  C.  U. ran  t )
139, 10, 11, 12syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  U. ran  Z  C.  U. ran  t )
14 f1fn 5599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t  Fn  om )
15 dffn3 5557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  Fn  om  <->  t : om
--> ran  t )
1614, 15sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t : om --> ran  t
)
1716ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om --> ran  t
)
18 sspwuni 4136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  t  C_  ~P G  <->  U.
ran  t  C_  G
)
1918biimpri 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  t  C_  G  ->  ran  t  C_  ~P G
)
2019ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  ran  t  C_  ~P G
)
21 fss 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om --> ran  t  /\  ran  t  C_  ~P G )  ->  t : om --> ~P G )
2217, 20, 21syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t : om --> ~P G
)
23 pwexg 4343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  F  ->  ~P G  e.  _V )
2423adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  ~P G  e.  _V )
25 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  t  e. 
_V
26 f1f 5598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  t : om --> _V )
27 dmfex 5585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  _V  /\  t : om --> _V )  ->  om  e.  _V )
2825, 26, 27sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  om  e.  _V )
2928ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  om  e.  _V )
30 elmapg 6990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P G  e.  _V  /\ 
om  e.  _V )  ->  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om ) 
<->  t : om --> ~P G
) )
3124, 29, 30syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( t  e.  ( ~P G  ^m  om ) 
<->  t : om --> ~P G
) )
3222, 31mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
t  e.  ( ~P G  ^m  om )
)
33 f1f 5598 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z : om -1-1-> _V  ->  Z : om --> _V )
348, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z : om --> _V )
35 fex 5928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z : om --> _V  /\  om  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
3634, 29, 35syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  ->  Z  e.  _V )
37 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
3837fvmpt2 5771 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t )  =  Z )
3932, 36, 38syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z )
40 f1eq1 5593 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  <->  Z : om -1-1-> _V )
)
41 rneq 5054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  =  ran  Z
)
4241unieqd 3986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  =  U. ran  Z )
4342psseq1d 3399 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t  <->  U. ran  Z  C.  U.
ran  t ) )
4440, 43anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  =  Z  ->  ( ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( Z : om
-1-1-> _V  /\  U. ran  Z 
C.  U. ran  t ) ) )
4539, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( Z : om
-1-1-> _V  /\  U. ran  Z 
C.  U. ran  t ) ) )
468, 13, 45mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  F  /\  ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G ) )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) )
4746ex 424 . . . 4  |-  ( G  e.  F  ->  (
( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G )  ->  (
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
4847alrimiv 1638 . . 3  |-  ( G  e.  F  ->  A. t
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) ) )
49 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( ~P G  ^m  om )  e.  _V
5049mptex 5925 . . . 4  |-  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  e.  _V
51 nfmpt1 4258 . . . . . 6  |-  F/_ t
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
5251nfeq2 2551 . . . . 5  |-  F/ t  f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )
53 fveq1 5686 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( f `  t
)  =  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) )
54 f1eq1 5593 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  t )  =  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V  <->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V  <->  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V ) )
5653rneqd 5056 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  ->  ran  ( f `  t
)  =  ran  (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) )
5756unieqd 3986 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  ->  U. ran  ( f `  t )  =  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) )
5857psseq1d 3399 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( U. ran  (
f `  t )  C.  U. ran  t  <->  U. ran  (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) )
5955, 58anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( ( f `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
)  <->  ( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( (
t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
6059imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) )  <->  ( (
t : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  t  C_  G )  ->  (
( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) ) ) )
6152, 60albid 1784 . . . 4  |-  ( f  =  ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z )  -> 
( A. t ( ( t : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  t  C_  G )  ->  (
( f `  t
) : om -1-1-> _V  /\ 
U. ran  ( f `  t )  C.  U. ran  t ) )  <->  A. t
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `
 t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t )  C.  U. ran  t ) ) ) )
6250, 61spcev 3003 . . 3  |-  ( A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( ( t  e.  ( ~P G  ^m  om )  |->  Z ) `  t
)  C.  U. ran  t
) )  ->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
6348, 62syl 16 . 2  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
)  ->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
64 f1eq1 5593 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  (
b : om -1-1-> _V  <->  t : om -1-1-> _V )
)
65 rneq 5054 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  t  ->  ran  b  =  ran  t )
6665unieqd 3986 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  U. ran  b  =  U. ran  t
)
6766sseq1d 3335 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  ( U. ran  b  C_  G  <->  U.
ran  t  C_  G
) )
6864, 67anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( b  =  t  ->  (
( b : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  b  C_  G )  <->  ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G ) ) )
69 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  (
f `  b )  =  ( f `  t ) )
70 f1eq1 5593 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  b )  =  ( f `  t )  ->  (
( f `  b
) : om -1-1-> _V  <->  ( f `  t ) : om -1-1-> _V )
)
7169, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  (
( f `  b
) : om -1-1-> _V  <->  ( f `  t ) : om -1-1-> _V )
)
7269rneqd 5056 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  t  ->  ran  ( f `  b
)  =  ran  (
f `  t )
)
7372unieqd 3986 . . . . . . 7  |-  ( b  =  t  ->  U. ran  ( f `  b
)  =  U. ran  ( f `  t
) )
7473, 66psseq12d 3401 . . . . . 6  |-  ( b  =  t  ->  ( U. ran  ( f `  b )  C.  U. ran  b  <->  U. ran  ( f `
 t )  C.  U.
ran  t ) )
7571, 74anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( b  =  t  ->  (
( ( f `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 b )  C.  U.
ran  b )  <->  ( (
f `  t ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  t
)  C.  U. ran  t
) ) )
7668, 75imbi12d 312 . . . 4  |-  ( b  =  t  ->  (
( ( b : om -1-1-> _V  /\  U. ran  b  C_  G )  -> 
( ( f `  b ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 b )  C.  U.
ran  b ) )  <-> 
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 t )  C.  U.
ran  t ) ) ) )
7776cbvalv 2052 . . 3  |-  ( A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
)  ->  ( (
f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
)  C.  U. ran  b
) )  <->  A. t
( ( t : om -1-1-> _V  /\  U. ran  t  C_  G )  -> 
( ( f `  t ) : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  ( f `
 t )  C.  U.
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7877exbii 1589 . 2  |-  ( E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V 
/\  U. ran  b  C_  G )  ->  (
( f `  b
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U. ran  ( f `  b )  C.  U. ran  b ) )  <->  E. f A. t ( ( t : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  t  C_  G
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)  C.  U. ran  t
) ) )
7963, 78sylibr 204 1  |-  ( G  e.  F  ->  E. f A. b ( ( b : om -1-1-> _V  /\  U.
ran  b  C_  G
)  ->  ( (
f `  b ) : om -1-1-> _V  /\  U. ran  ( f `  b
)  C.  U. ran  b
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280    C. wpss 3281   (/)c0 3588   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   |^|cint 4010   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   suc csuc 4543   omcom 4804   ran crn 4838    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   iota_crio 6501  seq𝜔cseqom 6663    ^m cmap 6977    ~~ cen 7065   Fincfn 7068
This theorem is referenced by:  fin23lem33  8181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-seqom 6664  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782
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