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Theorem fin23lem30 8798
Description: Lemma for fin23 8845. The residual is disjoint from the common set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
fin23lem17.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.b  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
fin23lem.c  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P  ( x  i^i  P ) 
~~  w ) )
fin23lem.d  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
fin23lem.e  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
Assertion
Ref Expression
fin23lem30  |-  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
Distinct variable groups:    g, i,
t, u, v, x, z, a    F, a, t    w, a, x, z, P    v, a, R, i, u    U, a, i, u, v, z    Z, a    g, a
Allowed substitution hints:    P( v, u, t, g, i)    Q( x, z, w, v, u, t, g, i, a)    R( x, z, w, t, g)    U( x, w, t, g)    F( x, z, w, v, u, g, i)    Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem30
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem.e . 2  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
2 eqif 3931 . . 3  |-  ( Z  =  if ( P  e.  Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )  <->  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) ) )
32biimpi 199 . 2  |-  ( Z  =  if ( P  e.  Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )  ->  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) ) )
4 simpr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  Fun  t )
5 fin23lem.d . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
65funmpt2 5638 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  R
7 funco 5639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  t  /\  Fun  R )  ->  Fun  ( t  o.  R ) )
84, 6, 7sylancl 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  Fun  ( t  o.  R
) )
9 elunirn 6181 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  ( t  o.  R
)  ->  ( a  e.  U. ran  ( t  o.  R )  <->  E. b  e.  dom  ( t  o.  R ) a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
) ) )
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
a  e.  U. ran  ( t  o.  R
)  <->  E. b  e.  dom  ( t  o.  R
) a  e.  ( ( t  o.  R
) `  b )
) )
11 dmcoss 5113 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
t  o.  R ) 
C_  dom  R
1211sseli 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  dom  ( t  o.  R )  -> 
b  e.  dom  R
)
13 fvco 5964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  R  /\  b  e.  dom  R )  -> 
( ( t  o.  R ) `  b
)  =  ( t `
 ( R `  b ) ) )
146, 13mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  dom  R  -> 
( ( t  o.  R ) `  b
)  =  ( t `
 ( R `  b ) ) )
1514adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( ( t  o.  R ) `  b )  =  ( t `  ( R `
 b ) ) )
1615eleq2d 2525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
)  <->  a  e.  ( t `  ( R `
 b ) ) ) )
17 incom 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t `  ( R `
 b ) )  i^i  |^| ran  U )  =  ( |^| ran  U  i^i  ( t `  ( R `  b ) ) )
18 difss 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( om 
\  P )  C_  om
19 ominf 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  -.  om  e.  Fin
20 fin23lem.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
21 ssrab2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  { v  e.  om  |  |^| ran 
U  C_  ( t `  v ) }  C_  om
2220, 21eqsstri 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  P  C_  om
23 undif 3860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P 
C_  om  <->  ( P  u.  ( om  \  P ) )  =  om )
2422, 23mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P  u.  ( om  \  P
) )  =  om
25 unfi 7864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  -> 
( P  u.  ( om  \  P ) )  e.  Fin )
2624, 25syl5eqelr 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  om  e.  Fin )
2726ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  Fin  ->  (
( om  \  P
)  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
2819, 27mtoi 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  Fin  ->  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )
2928ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )
305fin23lem22 8783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( om  \  P
)  C_  om  /\  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
3118, 29, 30sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P ) )
32 f1of 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
)  ->  R : om
--> ( om  \  P
) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  R : om --> ( om  \  P ) )
34 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  b  e.  dom  R )
35 fdm 5756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R : om --> ( om 
\  P )  ->  dom  R  =  om )
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  dom  R  =  om )
3734, 36eleqtrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  b  e.  om )
3833, 37ffvelrnd 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( R `  b )  e.  ( om  \  P ) )
3938eldifbd 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  ( R `  b )  e.  P
)
4020eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R `  b )  e.  P  <->  ( R `  b )  e.  {
v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  (
t `  v ) } )
4139, 40sylnib 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  ( R `  b )  e.  {
v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  (
t `  v ) } )
4238eldifad 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( R `  b )  e.  om )
43 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( R `  b )  ->  (
t `  v )  =  ( t `  ( R `  b ) ) )
4443sseq2d 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( R `  b )  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  v )  <->  |^|
ran  U  C_  ( t `
 ( R `  b ) ) ) )
4544elrab3 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R `  b )  e.  om  ->  (
( R `  b
)  e.  { v  e.  om  |  |^| ran 
U  C_  ( t `  v ) }  <->  |^| ran  U  C_  ( t `  ( R `  b )
) ) )
4642, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( ( R `
 b )  e. 
{ v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }  <->  |^| ran  U  C_  ( t `  ( R `  b )
) ) )
4741, 46mtbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  |^| ran  U  C_  ( t `  ( R `  b )
) )
48 fin23lem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
4948fin23lem20 8793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R `  b )  e.  om  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  ( R `  b ) )  \/  ( |^| ran  U  i^i  ( t `  ( R `  b )
) )  =  (/) ) )
5042, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( |^| ran  U 
C_  ( t `  ( R `  b ) )  \/  ( |^| ran 
U  i^i  ( t `  ( R `  b
) ) )  =  (/) ) )
51 orel1 388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
|^| ran  U  C_  (
t `  ( R `  b ) )  -> 
( ( |^| ran  U 
C_  ( t `  ( R `  b ) )  \/  ( |^| ran 
U  i^i  ( t `  ( R `  b
) ) )  =  (/) )  ->  ( |^| ran 
U  i^i  ( t `  ( R `  b
) ) )  =  (/) ) )
5247, 50, 51sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( |^| ran  U  i^i  ( t `  ( R `  b ) ) )  =  (/) )
5317, 52syl5eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( ( t `
 ( R `  b ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
54 disj 3817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t `  ( R `  b )
)  i^i  |^| ran  U
)  =  (/)  <->  A. a  e.  ( t `  ( R `  b )
)  -.  a  e. 
|^| ran  U )
5553, 54sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  A. a  e.  ( t `  ( R `
 b ) )  -.  a  e.  |^| ran 
U )
56 rsp 2766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. a  e.  ( t `  ( R `  b
) )  -.  a  e.  |^| ran  U  -> 
( a  e.  ( t `  ( R `
 b ) )  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U ) )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( a  e.  ( t `  ( R `  b )
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) )
5816, 57sylbid 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) )
5958ex 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
b  e.  dom  R  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R
) `  b )  ->  -.  a  e.  |^| ran 
U ) ) )
6012, 59syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
b  e.  dom  (
t  o.  R )  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) ) )
6160rexlimdv 2889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  ( E. b  e.  dom  ( t  o.  R
) a  e.  ( ( t  o.  R
) `  b )  ->  -.  a  e.  |^| ran 
U ) )
6210, 61sylbid 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
a  e.  U. ran  ( t  o.  R
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) )
6362ralrimiv 2812 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  A. a  e.  U. ran  ( t  o.  R )  -.  a  e.  |^| ran  U )
64 disj 3817 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  ( t  o.  R )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) 
<-> 
A. a  e.  U. ran  ( t  o.  R
)  -.  a  e. 
|^| ran  U )
6563, 64sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  ( U. ran  ( t  o.  R )  i^i  |^| ran 
U )  =  (/) )
66 rneq 5079 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ran  Z  =  ran  ( t  o.  R ) )
6766unieqd 4222 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  U. ran  Z  =  U. ran  (
t  o.  R ) )
6867ineq1d 3645 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran 
U )  =  ( U. ran  ( t  o.  R )  i^i  |^| ran  U ) )
6968eqeq1d 2464 . . . . . 6  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  (
( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/)  <->  ( U. ran  ( t  o.  R
)  i^i  |^| ran  U
)  =  (/) ) )
7065, 69syl5ibr 229 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  (
( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  -> 
( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
7170expd 442 . . . 4  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ( P  e.  Fin  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) ) )
7271impcom 436 . . 3  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  -> 
( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^|
ran  U )  =  (/) ) )
73 rneq 5079 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ran  Z  =  ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )
7473unieqd 4222 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  U. ran  Z  = 
U. ran  ( (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
) )
7574ineq1d 3645 . . . . . 6  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  i^i  |^| ran  U ) )
76 rncoss 5114 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q )  C_  ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )
7776unissi 4235 . . . . . . 7  |-  U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  C_  U.
ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )
78 disj 3817 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/)  <->  A. a  e.  U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  -.  a  e. 
|^| ran  U )
79 eluniab 4223 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  U. { b  |  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) }  <->  E. b
( a  e.  b  /\  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) )
80 eleq2 2529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  -> 
( a  e.  b  <-> 
a  e.  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) ) )
81 eldifn 3568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  ->  -.  a  e.  |^| ran  U )
8280, 81syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  -> 
( a  e.  b  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U ) )
8382rexlimivw 2888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  P  b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  -> 
( a  e.  b  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U ) )
8483impcom 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  b  /\  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U )
8584exlimiv 1787 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b ( a  e.  b  /\  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  ->  -.  a  e.  |^| ran  U )
8679, 85sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  U. { b  |  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) }  ->  -.  a  e.  |^| ran  U
)
87 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )
8887rnmpt 5099 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  =  {
b  |  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) }
8988unieqi 4221 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  = 
U. { b  |  E. z  e.  P  b  =  ( (
t `  z )  \  |^| ran  U ) }
9086, 89eleq2s 2558 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  U. ran  (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  ->  -.  a  e.  |^| ran  U
)
9178, 90mprgbir 2764 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/)
92 ssdisj 3826 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
)  C_  U. ran  (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  /\  ( U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )  ->  ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
9377, 91, 92mp2an 683 . . . . . 6  |-  ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  i^i  |^| ran  U )  =  (/)
9475, 93syl6eq 2512 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
9594a1d 26 . . . 4  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
9695adantl 472 . . 3  |-  ( ( -.  P  e.  Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
) )  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
9772, 96jaoi 385 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e.  Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) )  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
981, 3, 97mp2b 10 1  |-  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   {cab 2448   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   ifcif 3893   ~Pcpw 3963   U.cuni 4212   |^|cint 4248   class class class wbr 4416    |-> cmpt 4475   dom cdm 4853   ran crn 4854    o. ccom 4857   suc csuc 5444   Fun wfun 5595   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601   iota_crio 6276  (class class class)co 6315    |-> cmpt2 6317   omcom 6719  seq𝜔cseqom 7190    ^m cmap 7498    ~~ cen 7592   Fincfn 7595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-seqom 7191  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399
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