Theorem fin23lem30 8798

Description: Lemma for fin23 8845. The residual is disjoint from the common set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem.a	|- U = seq𝜔 ( ( i e. om , u e. _V |-> if ( ( ( t ` i ) i^i u ) = (/) , u , ( ( t ` i ) i^i u ) ) ) , U. ran t )
fin23lem17.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
fin23lem.b	|- P = { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) }
fin23lem.c	|- Q = ( w e. om |-> ( iota_ x e. P ( x i^i P ) ~~ w ) )
fin23lem.d	|- R = ( w e. om |-> ( iota_ x e. ( om \ P ) ( x i^i ( om \ P ) ) ~~ w ) )
fin23lem.e	|- Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )

Assertion

Ref	Expression
fin23lem30	|- ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) )

Distinct variable groups:   g, i, t, u, v, x, z, a   F, a, t   w, a, x, z, P   v, a, R, i, u   U, a, i, u, v, z   Z, a   g, a

Allowed substitution hints:   P( v, u, t, g, i)   Q( x, z, w, v, u, t, g, i, a)   R( x, z, w, t, g)   U( x, w, t, g)   F( x, z, w, v, u, g, i)   Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem30

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin23lem.e	. 2 |- Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
2		eqif 3931	. . 3 |- ( Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) <-> ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) )
3	2	biimpi 199	. 2 |- ( Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) -> ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) )
4		simpr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> Fun t )
5		fin23lem.d	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ( w e. om |-> ( iota_ x e. ( om \ P ) ( x i^i ( om \ P ) ) ~~ w ) )
6	5	funmpt2 5638	. . . . . . . . . . 11 |- Fun R
7		funco 5639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun t /\ Fun R ) -> Fun ( t o. R ) )
8	4, 6, 7	sylancl 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> Fun ( t o. R ) )
9		elunirn 6181	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun ( t o. R ) -> ( a e. U. ran ( t o. R ) <-> E. b e. dom ( t o. R ) a e. ( ( t o. R ) ` b ) ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( a e. U. ran ( t o. R ) <-> E. b e. dom ( t o. R ) a e. ( ( t o. R ) ` b ) ) )
11		dmcoss 5113	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( t o. R ) C_ dom R
12	11	sseli 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. dom ( t o. R ) -> b e. dom R )
13		fvco 5964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun R /\ b e. dom R ) -> ( ( t o. R ) ` b ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
14	6, 13	mpan 681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. dom R -> ( ( t o. R ) ` b ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
15	14	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( ( t o. R ) ` b ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
16	15	eleq2d 2525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) <-> a e. ( t ` ( R ` b ) ) ) )
17		incom 3637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t ` ( R ` b ) ) i^i |^| ran U ) = ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) )
18		difss 3572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( om \ P ) C_ om
19		ominf 7810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- -. om e. Fin
20		fin23lem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- P = { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) }
21		ssrab2 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } C_ om
22	20, 21	eqsstri 3474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- P C_ om
23		undif 3860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P C_ om <-> ( P u. ( om \ P ) ) = om )
24	22, 23	mpbi 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P u. ( om \ P ) ) = om
25		unfi 7864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P e. Fin /\ ( om \ P ) e. Fin ) -> ( P u. ( om \ P ) ) e. Fin )
26	24, 25	syl5eqelr 2545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( P e. Fin /\ ( om \ P ) e. Fin ) -> om e. Fin )
27	26	ex 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. Fin -> ( ( om \ P ) e. Fin -> om e. Fin ) )
28	19, 27	mtoi 183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. Fin -> -. ( om \ P ) e. Fin )
29	28	ad2antrr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. ( om \ P ) e. Fin )
30	5	fin23lem22 8783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( om \ P ) C_ om /\ -. ( om \ P ) e. Fin ) -> R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) )
31	18, 29, 30	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) )
32		f1of 5837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) -> R : om --> ( om \ P ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> R : om --> ( om \ P ) )
34		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> b e. dom R )
35		fdm 5756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R : om --> ( om \ P ) -> dom R = om )
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> dom R = om )
37	34, 36	eleqtrd 2542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> b e. om )
38	33, 37	ffvelrnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( R ` b ) e. ( om \ P ) )
39	38	eldifbd 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. ( R ` b ) e. P )
40	20	eleq2i 2532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R ` b ) e. P <-> ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } )
41	39, 40	sylnib 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } )
42	38	eldifad 3428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( R ` b ) e. om )
43		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = ( R ` b ) -> ( t ` v ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
44	43	sseq2d 3472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = ( R ` b ) -> ( |^| ran U C_ ( t ` v ) <-> |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) ) )
45	44	elrab3 3209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R ` b ) e. om -> ( ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } <-> |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) ) )
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } <-> |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) ) )
47	41, 46	mtbid 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) )
48		fin23lem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U = seq𝜔 ( ( i e. om , u e. _V |-> if ( ( ( t ` i ) i^i u ) = (/) , u , ( ( t ` i ) i^i u ) ) ) , U. ran t )
49	48	fin23lem20 8793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R ` b ) e. om -> ( |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) \/ ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) )
50	42, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) \/ ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) )
51		orel1 388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) -> ( ( |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) \/ ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) -> ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) )
52	47, 50, 51	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) )
53	17, 52	syl5eq 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( ( t ` ( R ` b ) ) i^i |^| ran U ) = (/) )
54		disj 3817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( t ` ( R ` b ) ) i^i |^| ran U ) = (/) <-> A. a e. ( t ` ( R ` b ) ) -. a e. |^| ran U )
55	53, 54	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> A. a e. ( t ` ( R ` b ) ) -. a e. |^| ran U )
56		rsp 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. a e. ( t ` ( R ` b ) ) -. a e. |^| ran U -> ( a e. ( t ` ( R ` b ) ) -> -. a e. |^| ran U ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( a e. ( t ` ( R ` b ) ) -> -. a e. |^| ran U ) )
58	16, 57	sylbid 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) )
59	58	ex 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( b e. dom R -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) ) )
60	12, 59	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( b e. dom ( t o. R ) -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) ) )
61	60	rexlimdv 2889	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( E. b e. dom ( t o. R ) a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) )
62	10, 61	sylbid 223	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( a e. U. ran ( t o. R ) -> -. a e. |^| ran U ) )
63	62	ralrimiv 2812	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> A. a e. U. ran ( t o. R ) -. a e. |^| ran U )
64		disj 3817	. . . . . . 7 |- ( ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) = (/) <-> A. a e. U. ran ( t o. R ) -. a e. |^| ran U )
65	63, 64	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) = (/) )
66		rneq 5079	. . . . . . . . 9 |- ( Z = ( t o. R ) -> ran Z = ran ( t o. R ) )
67	66	unieqd 4222	. . . . . . . 8 |- ( Z = ( t o. R ) -> U. ran Z = U. ran ( t o. R ) )
68	67	ineq1d 3645	. . . . . . 7 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) )
69	68	eqeq1d 2464	. . . . . 6 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) <-> ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) = (/) ) )
70	65, 69	syl5ibr 229	. . . . 5 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
71	70	expd 442	. . . 4 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( P e. Fin -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) ) )
72	71	impcom 436	. . 3 |- ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
73		rneq 5079	. . . . . . . 8 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ran Z = ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
74	73	unieqd 4222	. . . . . . 7 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> U. ran Z = U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
75	74	ineq1d 3645	. . . . . 6 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) i^i |^| ran U ) )
76		rncoss 5114	. . . . . . . 8 |- ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) C_ ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) )
77	76	unissi 4235	. . . . . . 7 |- U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) C_ U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) )
78		disj 3817	. . . . . . . 8 |- ( ( U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) i^i |^| ran U ) = (/) <-> A. a e. U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -. a e. |^| ran U )
79		eluniab 4223	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. U. { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) } <-> E. b ( a e. b /\ E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) )
80		eleq2 2529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> ( a e. b <-> a e. ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) )
81		eldifn 3568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> -. a e. |^| ran U )
82	80, 81	syl6bi 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> ( a e. b -> -. a e. |^| ran U ) )
83	82	rexlimivw 2888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> ( a e. b -> -. a e. |^| ran U ) )
84	83	impcom 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. b /\ E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -> -. a e. |^| ran U )
85	84	exlimiv 1787	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b ( a e. b /\ E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -> -. a e. |^| ran U )
86	79, 85	sylbi 200	. . . . . . . . 9 |- ( a e. U. { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) } -> -. a e. |^| ran U )
87		eqid 2462	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) = ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) )
88	87	rnmpt 5099	. . . . . . . . . 10 |- ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) = { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) }
89	88	unieqi 4221	. . . . . . . . 9 |- U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) = U. { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) }
90	86, 89	eleq2s 2558	. . . . . . . 8 |- ( a e. U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -> -. a e. |^| ran U )
91	78, 90	mprgbir 2764	. . . . . . 7 |- ( U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) i^i |^| ran U ) = (/)
92		ssdisj 3826	. . . . . . 7 |- ( ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) C_ U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) /\ ( U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) i^i |^| ran U ) = (/) ) -> ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) i^i |^| ran U ) = (/) )
93	77, 91, 92	mp2an 683	. . . . . 6 |- ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) i^i |^| ran U ) = (/)
94	75, 93	syl6eq 2512	. . . . 5 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) )
95	94	a1d 26	. . . 4 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
96	95	adantl 472	. . 3 |- ( ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
97	72, 96	jaoi 385	. 2 |- ( ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
98	1, 3, 97	mp2b 10	1 |- ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   {cab 2448   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   ifcif 3893   ~Pcpw 3963   U.cuni 4212   |^|cint 4248   class class class wbr 4416   |-> cmpt 4475   dom cdm 4853   ran crn 4854   o. ccom 4857   suc csuc 5444   Fun wfun 5595   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601   iota_crio 6276  (class class class)co 6315   |-> cmpt2 6317   omcom 6719  seq_𝜔cseqom 7190   ^m cmap 7498   ~~ cen 7592   Fincfn 7595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-seqom 7191  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399

This theorem is referenced by:  fin23lem31  8799