Theorem fin23lem30 8507

Description: Lemma for fin23 8554. The residual is disjoint from the common set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem.a	|- U = seq𝜔 ( ( i e. om , u e. _V |-> if ( ( ( t ` i ) i^i u ) = (/) , u , ( ( t ` i ) i^i u ) ) ) , U. ran t )
fin23lem17.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m om ) ( A. x e. om ( a ` suc x ) C_ ( a ` x ) -> |^| ran a e. ran a ) }
fin23lem.b	|- P = { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) }
fin23lem.c	|- Q = ( w e. om |-> ( iota_ x e. P ( x i^i P ) ~~ w ) )
fin23lem.d	|- R = ( w e. om |-> ( iota_ x e. ( om \ P ) ( x i^i ( om \ P ) ) ~~ w ) )
fin23lem.e	|- Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )

Assertion

Ref	Expression
fin23lem30	|- ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) )

Distinct variable groups:   g, i, t, u, v, x, z, a   F, a, t   w, a, x, z, P   v, a, R, i, u   U, a, i, u, v, z   Z, a   g, a

Allowed substitution hints:   P( v, u, t, g, i)   Q( x, z, w, v, u, t, g, i, a)   R( x, z, w, t, g)   U( x, w, t, g)   F( x, z, w, v, u, g, i)   Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem30

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin23lem.e	. 2 |- Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
2		eqif 3824	. . 3 |- ( Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) <-> ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) )
3	2	biimpi 194	. 2 |- ( Z = if ( P e. Fin , ( t o. R ) , ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) -> ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) )
4		simpr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> Fun t )
5		fin23lem.d	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ( w e. om |-> ( iota_ x e. ( om \ P ) ( x i^i ( om \ P ) ) ~~ w ) )
6	5	funmpt2 5452	. . . . . . . . . . 11 |- Fun R
7		funco 5453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun t /\ Fun R ) -> Fun ( t o. R ) )
8	4, 6, 7	sylancl 657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> Fun ( t o. R ) )
9		elunirn 5965	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun ( t o. R ) -> ( a e. U. ran ( t o. R ) <-> E. b e. dom ( t o. R ) a e. ( ( t o. R ) ` b ) ) )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( a e. U. ran ( t o. R ) <-> E. b e. dom ( t o. R ) a e. ( ( t o. R ) ` b ) ) )
11		dmcoss 5095	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( t o. R ) C_ dom R
12	11	sseli 3349	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. dom ( t o. R ) -> b e. dom R )
13		fvco 5764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun R /\ b e. dom R ) -> ( ( t o. R ) ` b ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
14	6, 13	mpan 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. dom R -> ( ( t o. R ) ` b ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
15	14	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( ( t o. R ) ` b ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
16	15	eleq2d 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) <-> a e. ( t ` ( R ` b ) ) ) )
17		incom 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t ` ( R ` b ) ) i^i |^| ran U ) = ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) )
18		difss 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( om \ P ) C_ om
19		ominf 7521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- -. om e. Fin
20		fin23lem.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- P = { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) }
21		ssrab2 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } C_ om
22	20, 21	eqsstri 3383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- P C_ om
23		undif 3756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( P C_ om <-> ( P u. ( om \ P ) ) = om )
24	22, 23	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( P u. ( om \ P ) ) = om
25		unfi 7575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( P e. Fin /\ ( om \ P ) e. Fin ) -> ( P u. ( om \ P ) ) e. Fin )
26	24, 25	syl5eqelr 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( P e. Fin /\ ( om \ P ) e. Fin ) -> om e. Fin )
27	26	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. Fin -> ( ( om \ P ) e. Fin -> om e. Fin ) )
28	19, 27	mtoi 178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. Fin -> -. ( om \ P ) e. Fin )
29	28	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. ( om \ P ) e. Fin )
30	5	fin23lem22 8492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( om \ P ) C_ om /\ -. ( om \ P ) e. Fin ) -> R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) )
31	18, 29, 30	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) )
32		f1of 5638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R : om -1-1-onto-> ( om \ P ) -> R : om --> ( om \ P ) )
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> R : om --> ( om \ P ) )
34		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> b e. dom R )
35		fdm 5560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R : om --> ( om \ P ) -> dom R = om )
36	33, 35	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> dom R = om )
37	34, 36	eleqtrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> b e. om )
38	33, 37	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( R ` b ) e. ( om \ P ) )
39	38	eldifbd 3338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. ( R ` b ) e. P )
40	20	eleq2i 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R ` b ) e. P <-> ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } )
41	39, 40	sylnib 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } )
42	38	eldifad 3337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( R ` b ) e. om )
43		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v = ( R ` b ) -> ( t ` v ) = ( t ` ( R ` b ) ) )
44	43	sseq2d 3381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v = ( R ` b ) -> ( |^| ran U C_ ( t ` v ) <-> |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) ) )
45	44	elrab3 3115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R ` b ) e. om -> ( ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } <-> |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) ) )
46	42, 45	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( ( R ` b ) e. { v e. om | |^| ran U C_ ( t ` v ) } <-> |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) ) )
47	41, 46	mtbid 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> -. |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) )
48		fin23lem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U = seq𝜔 ( ( i e. om , u e. _V |-> if ( ( ( t ` i ) i^i u ) = (/) , u , ( ( t ` i ) i^i u ) ) ) , U. ran t )
49	48	fin23lem20 8502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R ` b ) e. om -> ( |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) \/ ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) )
50	42, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) \/ ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) )
51		orel1 382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) -> ( ( |^| ran U C_ ( t ` ( R ` b ) ) \/ ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) -> ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) ) )
52	47, 50, 51	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( |^| ran U i^i ( t ` ( R ` b ) ) ) = (/) )
53	17, 52	syl5eq 2485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( ( t ` ( R ` b ) ) i^i |^| ran U ) = (/) )
54		disj 3716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( t ` ( R ` b ) ) i^i |^| ran U ) = (/) <-> A. a e. ( t ` ( R ` b ) ) -. a e. |^| ran U )
55	53, 54	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> A. a e. ( t ` ( R ` b ) ) -. a e. |^| ran U )
56		rsp 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. a e. ( t ` ( R ` b ) ) -. a e. |^| ran U -> ( a e. ( t ` ( R ` b ) ) -> -. a e. |^| ran U ) )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( a e. ( t ` ( R ` b ) ) -> -. a e. |^| ran U ) )
58	16, 57	sylbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. Fin /\ Fun t ) /\ b e. dom R ) -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) )
59	58	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( b e. dom R -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) ) )
60	12, 59	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( b e. dom ( t o. R ) -> ( a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) ) )
61	60	rexlimdv 2838	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( E. b e. dom ( t o. R ) a e. ( ( t o. R ) ` b ) -> -. a e. |^| ran U ) )
62	10, 61	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( a e. U. ran ( t o. R ) -> -. a e. |^| ran U ) )
63	62	ralrimiv 2796	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> A. a e. U. ran ( t o. R ) -. a e. |^| ran U )
64		disj 3716	. . . . . . 7 |- ( ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) = (/) <-> A. a e. U. ran ( t o. R ) -. a e. |^| ran U )
65	63, 64	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) = (/) )
66		rneq 5061	. . . . . . . . 9 |- ( Z = ( t o. R ) -> ran Z = ran ( t o. R ) )
67	66	unieqd 4098	. . . . . . . 8 |- ( Z = ( t o. R ) -> U. ran Z = U. ran ( t o. R ) )
68	67	ineq1d 3548	. . . . . . 7 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) )
69	68	eqeq1d 2449	. . . . . 6 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) <-> ( U. ran ( t o. R ) i^i |^| ran U ) = (/) ) )
70	65, 69	syl5ibr 221	. . . . 5 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( ( P e. Fin /\ Fun t ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
71	70	exp3a 436	. . . 4 |- ( Z = ( t o. R ) -> ( P e. Fin -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) ) )
72	71	impcom 430	. . 3 |- ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
73		rneq 5061	. . . . . . . 8 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ran Z = ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
74	73	unieqd 4098	. . . . . . 7 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> U. ran Z = U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) )
75	74	ineq1d 3548	. . . . . 6 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) i^i |^| ran U ) )
76		rncoss 5096	. . . . . . . 8 |- ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) C_ ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) )
77	76	unissi 4111	. . . . . . 7 |- U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) C_ U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) )
78		disj 3716	. . . . . . . 8 |- ( ( U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) i^i |^| ran U ) = (/) <-> A. a e. U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -. a e. |^| ran U )
79		eluniab 4099	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. U. { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) } <-> E. b ( a e. b /\ E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) )
80		eleq2 2502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> ( a e. b <-> a e. ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) )
81		eldifn 3476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> -. a e. |^| ran U )
82	80, 81	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> ( a e. b -> -. a e. |^| ran U ) )
83	82	rexlimivw 2835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) -> ( a e. b -> -. a e. |^| ran U ) )
84	83	impcom 430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. b /\ E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -> -. a e. |^| ran U )
85	84	exlimiv 1693	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b ( a e. b /\ E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -> -. a e. |^| ran U )
86	79, 85	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( a e. U. { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) } -> -. a e. |^| ran U )
87		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) = ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) )
88	87	rnmpt 5081	. . . . . . . . . 10 |- ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) = { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) }
89	88	unieqi 4097	. . . . . . . . 9 |- U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) = U. { b | E. z e. P b = ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) }
90	86, 89	eleq2s 2533	. . . . . . . 8 |- ( a e. U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) -> -. a e. |^| ran U )
91	78, 90	mprgbir 2784	. . . . . . 7 |- ( U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) i^i |^| ran U ) = (/)
92		ssdisj 3725	. . . . . . 7 |- ( ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) C_ U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) /\ ( U. ran ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) i^i |^| ran U ) = (/) ) -> ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) i^i |^| ran U ) = (/) )
93	77, 91, 92	mp2an 667	. . . . . 6 |- ( U. ran ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) i^i |^| ran U ) = (/)
94	75, 93	syl6eq 2489	. . . . 5 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) )
95	94	a1d 25	. . . 4 |- ( Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
96	95	adantl 463	. . 3 |- ( ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
97	72, 96	jaoi 379	. 2 |- ( ( ( P e. Fin /\ Z = ( t o. R ) ) \/ ( -. P e. Fin /\ Z = ( ( z e. P |-> ( ( t ` z ) \ |^| ran U ) ) o. Q ) ) ) -> ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) ) )
98	1, 3, 97	mp2b 10	1 |- ( Fun t -> ( U. ran Z i^i |^| ran U ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1364   E.wex 1591   e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   u. cun 3323   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   |^|cint 4125   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   suc csuc 4717   dom cdm 4836   ran crn 4837   o. ccom 4840   Fun wfun 5409   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415   iota_crio 6048  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   omcom 6475  seq_𝜔cseqom 6898   ^m cmap 7210   ~~ cen 7303   Fincfn 7306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-seqom 6899  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105

This theorem is referenced by:  fin23lem31  8508