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Theorem fin23lem30 8507
Description: Lemma for fin23 8554. The residual is disjoint from the common set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
fin23lem17.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.b  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
fin23lem.c  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P  ( x  i^i  P ) 
~~  w ) )
fin23lem.d  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
fin23lem.e  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
Assertion
Ref Expression
fin23lem30  |-  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
Distinct variable groups:    g, i,
t, u, v, x, z, a    F, a, t    w, a, x, z, P    v, a, R, i, u    U, a, i, u, v, z    Z, a    g, a
Allowed substitution hints:    P( v, u, t, g, i)    Q( x, z, w, v, u, t, g, i, a)    R( x, z, w, t, g)    U( x, w, t, g)    F( x, z, w, v, u, g, i)    Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem30
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem.e . 2  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
2 eqif 3824 . . 3  |-  ( Z  =  if ( P  e.  Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )  <->  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) ) )
32biimpi 194 . 2  |-  ( Z  =  if ( P  e.  Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )  ->  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) ) )
4 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  Fun  t )
5 fin23lem.d . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
65funmpt2 5452 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  R
7 funco 5453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  t  /\  Fun  R )  ->  Fun  ( t  o.  R ) )
84, 6, 7sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  Fun  ( t  o.  R
) )
9 elunirn 5965 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun  ( t  o.  R
)  ->  ( a  e.  U. ran  ( t  o.  R )  <->  E. b  e.  dom  ( t  o.  R ) a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
a  e.  U. ran  ( t  o.  R
)  <->  E. b  e.  dom  ( t  o.  R
) a  e.  ( ( t  o.  R
) `  b )
) )
11 dmcoss 5095 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
t  o.  R ) 
C_  dom  R
1211sseli 3349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  dom  ( t  o.  R )  -> 
b  e.  dom  R
)
13 fvco 5764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  R  /\  b  e.  dom  R )  -> 
( ( t  o.  R ) `  b
)  =  ( t `
 ( R `  b ) ) )
146, 13mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  dom  R  -> 
( ( t  o.  R ) `  b
)  =  ( t `
 ( R `  b ) ) )
1514adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( ( t  o.  R ) `  b )  =  ( t `  ( R `
 b ) ) )
1615eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
)  <->  a  e.  ( t `  ( R `
 b ) ) ) )
17 incom 3540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t `  ( R `
 b ) )  i^i  |^| ran  U )  =  ( |^| ran  U  i^i  ( t `  ( R `  b ) ) )
18 difss 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( om 
\  P )  C_  om
19 ominf 7521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  -.  om  e.  Fin
20 fin23lem.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
21 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  { v  e.  om  |  |^| ran 
U  C_  ( t `  v ) }  C_  om
2220, 21eqsstri 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  P  C_  om
23 undif 3756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( P 
C_  om  <->  ( P  u.  ( om  \  P ) )  =  om )
2422, 23mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( P  u.  ( om  \  P
) )  =  om
25 unfi 7575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  -> 
( P  u.  ( om  \  P ) )  e.  Fin )
2624, 25syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  om  e.  Fin )
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  Fin  ->  (
( om  \  P
)  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
2819, 27mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  Fin  ->  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )
2928ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )
305fin23lem22 8492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( om  \  P
)  C_  om  /\  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
3118, 29, 30sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P ) )
32 f1of 5638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
)  ->  R : om
--> ( om  \  P
) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  R : om --> ( om  \  P ) )
34 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  b  e.  dom  R )
35 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( R : om --> ( om 
\  P )  ->  dom  R  =  om )
3633, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  dom  R  =  om )
3734, 36eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  b  e.  om )
3833, 37ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( R `  b )  e.  ( om  \  P ) )
3938eldifbd 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  ( R `  b )  e.  P
)
4020eleq2i 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R `  b )  e.  P  <->  ( R `  b )  e.  {
v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  (
t `  v ) } )
4139, 40sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  ( R `  b )  e.  {
v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  (
t `  v ) } )
4238eldifad 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( R `  b )  e.  om )
43 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  ( R `  b )  ->  (
t `  v )  =  ( t `  ( R `  b ) ) )
4443sseq2d 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  ( R `  b )  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  v )  <->  |^|
ran  U  C_  ( t `
 ( R `  b ) ) ) )
4544elrab3 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R `  b )  e.  om  ->  (
( R `  b
)  e.  { v  e.  om  |  |^| ran 
U  C_  ( t `  v ) }  <->  |^| ran  U  C_  ( t `  ( R `  b )
) ) )
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( ( R `
 b )  e. 
{ v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }  <->  |^| ran  U  C_  ( t `  ( R `  b )
) ) )
4741, 46mtbid 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  -.  |^| ran  U  C_  ( t `  ( R `  b )
) )
48 fin23lem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
4948fin23lem20 8502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R `  b )  e.  om  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  ( R `  b ) )  \/  ( |^| ran  U  i^i  ( t `  ( R `  b )
) )  =  (/) ) )
5042, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( |^| ran  U 
C_  ( t `  ( R `  b ) )  \/  ( |^| ran 
U  i^i  ( t `  ( R `  b
) ) )  =  (/) ) )
51 orel1 382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
|^| ran  U  C_  (
t `  ( R `  b ) )  -> 
( ( |^| ran  U 
C_  ( t `  ( R `  b ) )  \/  ( |^| ran 
U  i^i  ( t `  ( R `  b
) ) )  =  (/) )  ->  ( |^| ran 
U  i^i  ( t `  ( R `  b
) ) )  =  (/) ) )
5247, 50, 51sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( |^| ran  U  i^i  ( t `  ( R `  b ) ) )  =  (/) )
5317, 52syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( ( t `
 ( R `  b ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
54 disj 3716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( t `  ( R `  b )
)  i^i  |^| ran  U
)  =  (/)  <->  A. a  e.  ( t `  ( R `  b )
)  -.  a  e. 
|^| ran  U )
5553, 54sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  A. a  e.  ( t `  ( R `
 b ) )  -.  a  e.  |^| ran 
U )
56 rsp 2774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. a  e.  ( t `  ( R `  b
) )  -.  a  e.  |^| ran  U  -> 
( a  e.  ( t `  ( R `
 b ) )  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( a  e.  ( t `  ( R `  b )
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) )
5816, 57sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  /\  b  e.  dom  R )  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) )
5958ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
b  e.  dom  R  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R
) `  b )  ->  -.  a  e.  |^| ran 
U ) ) )
6012, 59syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
b  e.  dom  (
t  o.  R )  ->  ( a  e.  ( ( t  o.  R ) `  b
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) ) )
6160rexlimdv 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  ( E. b  e.  dom  ( t  o.  R
) a  e.  ( ( t  o.  R
) `  b )  ->  -.  a  e.  |^| ran 
U ) )
6210, 61sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  (
a  e.  U. ran  ( t  o.  R
)  ->  -.  a  e.  |^| ran  U ) )
6362ralrimiv 2796 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  A. a  e.  U. ran  ( t  o.  R )  -.  a  e.  |^| ran  U )
64 disj 3716 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  ( t  o.  R )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) 
<-> 
A. a  e.  U. ran  ( t  o.  R
)  -.  a  e. 
|^| ran  U )
6563, 64sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Fun  t )  ->  ( U. ran  ( t  o.  R )  i^i  |^| ran 
U )  =  (/) )
66 rneq 5061 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ran  Z  =  ran  ( t  o.  R ) )
6766unieqd 4098 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  U. ran  Z  =  U. ran  (
t  o.  R ) )
6867ineq1d 3548 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran 
U )  =  ( U. ran  ( t  o.  R )  i^i  |^| ran  U ) )
6968eqeq1d 2449 . . . . . 6  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  (
( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/)  <->  ( U. ran  ( t  o.  R
)  i^i  |^| ran  U
)  =  (/) ) )
7065, 69syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  (
( P  e.  Fin  /\ 
Fun  t )  -> 
( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
7170exp3a 436 . . . 4  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ( P  e.  Fin  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) ) )
7271impcom 430 . . 3  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  -> 
( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^|
ran  U )  =  (/) ) )
73 rneq 5061 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ran  Z  =  ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )
7473unieqd 4098 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  U. ran  Z  = 
U. ran  ( (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
) )
7574ineq1d 3548 . . . . . 6  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  i^i  |^| ran  U ) )
76 rncoss 5096 . . . . . . . 8  |-  ran  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q )  C_  ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )
7776unissi 4111 . . . . . . 7  |-  U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  C_  U.
ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )
78 disj 3716 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/)  <->  A. a  e.  U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  -.  a  e. 
|^| ran  U )
79 eluniab 4099 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  U. { b  |  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) }  <->  E. b
( a  e.  b  /\  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) )
80 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  -> 
( a  e.  b  <-> 
a  e.  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) ) )
81 eldifn 3476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  ->  -.  a  e.  |^| ran  U )
8280, 81syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  -> 
( a  e.  b  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U ) )
8382rexlimivw 2835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  P  b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U )  -> 
( a  e.  b  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U ) )
8483impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  b  /\  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  ->  -.  a  e.  |^|
ran  U )
8584exlimiv 1693 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. b ( a  e.  b  /\  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  ->  -.  a  e.  |^| ran  U )
8679, 85sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  U. { b  |  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) }  ->  -.  a  e.  |^| ran  U
)
87 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )
8887rnmpt 5081 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  =  {
b  |  E. z  e.  P  b  =  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) }
8988unieqi 4097 . . . . . . . . 9  |-  U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  = 
U. { b  |  E. z  e.  P  b  =  ( (
t `  z )  \  |^| ran  U ) }
9086, 89eleq2s 2533 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  U. ran  (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  ->  -.  a  e.  |^| ran  U
)
9178, 90mprgbir 2784 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/)
92 ssdisj 3725 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
)  C_  U. ran  (
z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  /\  ( U. ran  ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )  ->  ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
9377, 91, 92mp2an 667 . . . . . 6  |-  ( U. ran  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  i^i  |^| ran  U )  =  (/)
9475, 93syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
9594a1d 25 . . . 4  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
9695adantl 463 . . 3  |-  ( ( -.  P  e.  Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
) )  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
9772, 96jaoi 379 . 2  |-  ( ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e.  Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) )  ->  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) ) )
981, 3, 97mp2b 10 1  |-  ( Fun  t  ->  ( U. ran  Z  i^i  |^| ran  U )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   |^|cint 4125   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   suc csuc 4717   dom cdm 4836   ran crn 4837    o. ccom 4840   Fun wfun 5409   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415   iota_crio 6048  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   omcom 6475  seq𝜔cseqom 6898    ^m cmap 7210    ~~ cen 7303   Fincfn 7306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-seqom 6899  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105
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