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Theorem fin23lem28 8720
Description: Lemma for fin23 8769. The residual is also one-to-one. This preserves the induction invariant. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
fin23lem17.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.b  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
fin23lem.c  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P  ( x  i^i  P ) 
~~  w ) )
fin23lem.d  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
fin23lem.e  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
Assertion
Ref Expression
fin23lem28  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  Z : om -1-1-> _V )
Distinct variable groups:    g, i,
t, u, v, x, z, a    F, a, t    w, a, x, z, P    v, a, R, i, u    U, a, i, u, v, z    Z, a    g, a
Allowed substitution hints:    P( v, u, t, g, i)    Q( x, z, w, v, u, t, g, i, a)    R( x, z, w, t, g)    U( x, w, t, g)    F( x, z, w, v, u, g, i)    Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem28
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem.e . . 3  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
2 eqif 3977 . . 3  |-  ( Z  =  if ( P  e.  Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )  <->  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) ) )
31, 2mpbi 208 . 2  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) )
4 difss 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( om 
\  P )  C_  om
5 ominf 7732 . . . . . . . . . 10  |-  -.  om  e.  Fin
6 fin23lem.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
7 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { v  e.  om  |  |^| ran 
U  C_  ( t `  v ) }  C_  om
86, 7eqsstri 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  C_  om
9 undif 3907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P 
C_  om  <->  ( P  u.  ( om  \  P ) )  =  om )
108, 9mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  u.  ( om  \  P
) )  =  om
11 unfi 7787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  -> 
( P  u.  ( om  \  P ) )  e.  Fin )
1210, 11syl5eqelr 2560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  om  e.  Fin )
1312ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Fin  ->  (
( om  \  P
)  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
145, 13mtoi 178 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Fin  ->  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )
15 fin23lem.d . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
1615fin23lem22 8707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om  \  P
)  C_  om  /\  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
174, 14, 16sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Fin  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
1817adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
19 f1of1 5815 . . . . . . 7  |-  ( R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
)  ->  R : om
-1-1-> ( om  \  P
) )
20 f1ss 5786 . . . . . . . 8  |-  ( ( R : om -1-1-> ( om  \  P )  /\  ( om  \  P
)  C_  om )  ->  R : om -1-1-> om )
214, 20mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( R : om -1-1-> ( om 
\  P )  ->  R : om -1-1-> om )
2218, 19, 213syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-> om )
23 f1co 5790 . . . . . 6  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  R : om -1-1-> om )  ->  ( t  o.  R ) : om -1-1-> _V )
2422, 23syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  ( t  o.  R
) : om -1-1-> _V )
25 f1eq1 5776 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ( Z : om -1-1-> _V  <->  ( t  o.  R ) : om -1-1-> _V ) )
2624, 25syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  Z : om -1-1-> _V ) )
2726impr 619 . . 3  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) ) )  ->  Z : om
-1-1-> _V )
28 fvex 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t `
 z )  e. 
_V
29 difexg 4595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t `  z )  e.  _V  ->  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U )  e.  _V
3130rgenw 2825 . . . . . . . . 9  |-  A. z  e.  P  ( (
t `  z )  \  |^| ran  U )  e.  _V
32 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )
3332fmpt 6042 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  P  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V  <->  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) ) : P --> _V )
3431, 33mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) ) : P --> _V
3534a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) : P --> _V )
36 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  a  ->  (
t `  z )  =  ( t `  a ) )
3736difeq1d 3621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  a  ->  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  =  ( ( t `  a ) 
\  |^| ran  U ) )
38 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t `
 a )  e. 
_V
39 difexg 4595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t `  a )  e.  _V  ->  (
( t `  a
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t `  a ) 
\  |^| ran  U )  e.  _V
4137, 32, 40fvmpt 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  P  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  a )  =  ( ( t `  a
)  \  |^| ran  U
) )
4241ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  a )  =  ( ( t `  a
)  \  |^| ran  U
) )
43 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  b  ->  (
t `  z )  =  ( t `  b ) )
4443difeq1d 3621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  b  ->  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  =  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U ) )
45 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t `
 b )  e. 
_V
46 difexg 4595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t `  b )  e.  _V  ->  (
( t `  b
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U )  e.  _V
4844, 32, 47fvmpt 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  P  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  b )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
) )
4948ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  b )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
) )
5042, 49eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 b )  <->  ( (
t `  a )  \  |^| ran  U )  =  ( ( t `
 b )  \  |^| ran  U ) ) )
51 uneq2 3652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t `  a
)  \  |^| ran  U
)  =  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U )  ->  ( |^| ran  U  u.  ( ( t `
 a )  \  |^| ran  U ) )  =  ( |^| ran  U  u.  ( ( t `
 b )  \  |^| ran  U ) ) )
52 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  a  ->  (
t `  v )  =  ( t `  a ) )
5352sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  a  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  v )  <->  |^|
ran  U  C_  ( t `
 a ) ) )
5453, 6elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  P  <->  ( a  e.  om  /\  |^| ran  U 
C_  ( t `  a ) ) )
5554simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  P  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  a ) )
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  a ) )
57 undif 3907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( |^| ran 
U  C_  ( t `  a )  <->  ( |^| ran 
U  u.  ( ( t `  a ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( t `
 a ) )
5856, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  ( |^| ran  U  u.  (
( t `  a
)  \  |^| ran  U
) )  =  ( t `  a ) )
59 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  b  ->  (
t `  v )  =  ( t `  b ) )
6059sseq2d 3532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  b  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  v )  <->  |^|
ran  U  C_  ( t `
 b ) ) )
6160, 6elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  P  <->  ( b  e.  om  /\  |^| ran  U 
C_  ( t `  b ) ) )
6261simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  P  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  b ) )
6362ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  b ) )
64 undif 3907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( |^| ran 
U  C_  ( t `  b )  <->  ( |^| ran 
U  u.  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( t `
 b ) )
6563, 64sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  ( |^| ran  U  u.  (
( t `  b
)  \  |^| ran  U
) )  =  ( t `  b ) )
6658, 65eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( |^| ran  U  u.  ( ( t `  a )  \  |^| ran 
U ) )  =  ( |^| ran  U  u.  ( ( t `  b )  \  |^| ran 
U ) )  <->  ( t `  a )  =  ( t `  b ) ) )
6751, 66syl5ib 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( t `  a )  \  |^| ran 
U )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
)  ->  ( t `  a )  =  ( t `  b ) ) )
688sseli 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  P  ->  a  e.  om )
698sseli 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  P  ->  b  e.  om )
7068, 69anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  P  /\  b  e.  P )  ->  ( a  e.  om  /\  b  e.  om )
)
71 f1fveq 6158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  om  /\  b  e.  om )
)  ->  ( (
t `  a )  =  ( t `  b )  <->  a  =  b ) )
7270, 71sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( t `  a
)  =  ( t `
 b )  <->  a  =  b ) )
7367, 72sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( t `  a )  \  |^| ran 
U )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
)  ->  a  =  b ) )
7450, 73sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 b )  -> 
a  =  b ) )
7574ralrimivva 2885 . . . . . . 7  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  (
( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 b )  -> 
a  =  b ) )
76 dff13 6154 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) : P -1-1-> _V  <->  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) : P --> _V  /\  A. a  e.  P  A. b  e.  P  ( (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  b )  ->  a  =  b ) ) )
7735, 75, 76sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) : P -1-1-> _V )
78 fin23lem.c . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P  ( x  i^i  P ) 
~~  w ) )
7978fin23lem22 8707 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  C_  om  /\  -.  P  e.  Fin )  ->  Q : om -1-1-onto-> P )
80 f1of1 5815 . . . . . . . 8  |-  ( Q : om -1-1-onto-> P  ->  Q : om
-1-1-> P )
8179, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( P  C_  om  /\  -.  P  e.  Fin )  ->  Q : om -1-1-> P
)
828, 81mpan 670 . . . . . 6  |-  ( -.  P  e.  Fin  ->  Q : om -1-1-> P )
83 f1co 5790 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) : P -1-1-> _V  /\  Q : om
-1-1-> P )  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) : om -1-1-> _V )
8477, 82, 83syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\ 
-.  P  e.  Fin )  ->  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) : om -1-1-> _V )
85 f1eq1 5776 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( Z : om
-1-1-> _V  <->  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) : om -1-1-> _V )
)
8684, 85syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\ 
-.  P  e.  Fin )  ->  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  Z : om -1-1-> _V )
)
8786impr 619 . . 3  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) )  ->  Z : om
-1-1-> _V )
8827, 87jaodan 783 . 2  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( ( P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R
) )  \/  ( -.  P  e.  Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
) ) ) )  ->  Z : om -1-1-> _V )
893, 88mpan2 671 1  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  Z : om -1-1-> _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   |^|cint 4282   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   suc csuc 4880   ran crn 5000    o. ccom 5003   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588   iota_crio 6244  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   omcom 6684  seq𝜔cseqom 7112    ^m cmap 7420    ~~ cen 7513   Fincfn 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320
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