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Theorem fin23lem28 8176
Description: Lemma for fin23 8225. The residual is also one-to-one. This preserves the induction invariant. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a  |-  U  = seq𝜔 ( ( i  e.  om ,  u  e.  _V  |->  if ( ( ( t `
 i )  i^i  u )  =  (/) ,  u ,  ( ( t `  i )  i^i  u ) ) ) ,  U. ran  t )
fin23lem17.f  |-  F  =  { g  |  A. a  e.  ( ~P g  ^m  om ) ( A. x  e.  om  ( a `  suc  x )  C_  (
a `  x )  ->  |^| ran  a  e. 
ran  a ) }
fin23lem.b  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
fin23lem.c  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P
( x  i^i  P
)  ~~  w )
)
fin23lem.d  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
fin23lem.e  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
Assertion
Ref Expression
fin23lem28  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  Z : om -1-1-> _V )
Distinct variable groups:    g, i,
t, u, v, x, z, a    F, a, t    w, a, x, z, P    v, a, R, i, u    U, a, i, u, v, z    Z, a    g, a
Allowed substitution hints:    P( v, u, t, g, i)    Q( x, z, w, v, u, t, g, i, a)    R( x, z, w, t, g)    U( x, w, t, g)    F( x, z, w, v, u, g, i)    Z( x, z, w, v, u, t, g, i)

Proof of Theorem fin23lem28
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem.e . . 3  |-  Z  =  if ( P  e. 
Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) )
2 eqif 3732 . . 3  |-  ( Z  =  if ( P  e.  Fin ,  ( t  o.  R ) ,  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) )  <->  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) ) )
31, 2mpbi 200 . 2  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) )  \/  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) )
4 difss 3434 . . . . . . . . 9  |-  ( om 
\  P )  C_  om
5 ominf 7280 . . . . . . . . . 10  |-  -.  om  e.  Fin
6 fin23lem.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  { v  e.  om  |  |^| ran  U  C_  ( t `  v
) }
7 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { v  e.  om  |  |^| ran 
U  C_  ( t `  v ) }  C_  om
86, 7eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  C_  om
9 undif 3668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P 
C_  om  <->  ( P  u.  ( om  \  P ) )  =  om )
108, 9mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  u.  ( om  \  P
) )  =  om
11 unfi 7333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  -> 
( P  u.  ( om  \  P ) )  e.  Fin )
1210, 11syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Fin  /\  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  om  e.  Fin )
1312ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Fin  ->  (
( om  \  P
)  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
145, 13mtoi 171 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Fin  ->  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )
15 fin23lem.d . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  ( om  \  P ) ( x  i^i  ( om  \  P ) ) 
~~  w ) )
1615fin23lem22 8163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om  \  P
)  C_  om  /\  -.  ( om  \  P )  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
174, 14, 16sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Fin  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
1817adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
) )
19 f1of1 5632 . . . . . . 7  |-  ( R : om -1-1-onto-> ( om  \  P
)  ->  R : om
-1-1-> ( om  \  P
) )
20 f1ss 5603 . . . . . . . 8  |-  ( ( R : om -1-1-> ( om  \  P )  /\  ( om  \  P
)  C_  om )  ->  R : om -1-1-> om )
214, 20mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( R : om -1-1-> ( om 
\  P )  ->  R : om -1-1-> om )
2218, 19, 213syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  R : om -1-1-> om )
23 f1co 5607 . . . . . 6  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  R : om -1-1-> om )  ->  ( t  o.  R ) : om -1-1-> _V )
2422, 23syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  ( t  o.  R
) : om -1-1-> _V )
25 f1eq1 5593 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  ( Z : om -1-1-> _V  <->  ( t  o.  R ) : om -1-1-> _V ) )
2624, 25syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  P  e.  Fin )  ->  ( Z  =  ( t  o.  R )  ->  Z : om -1-1-> _V ) )
2726impr 603 . . 3  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( P  e.  Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R ) ) )  ->  Z : om
-1-1-> _V )
28 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t `
 z )  e. 
_V
29 difexg 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t `  z )  e.  _V  ->  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V )
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U )  e.  _V
3130rgenw 2733 . . . . . . . . 9  |-  A. z  e.  P  ( (
t `  z )  \  |^| ran  U )  e.  _V
32 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )
3332fmpt 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  P  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V  <->  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) ) : P --> _V )
3431, 33mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) ) : P --> _V
3534a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) : P --> _V )
36 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  a  ->  (
t `  z )  =  ( t `  a ) )
3736difeq1d 3424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  a  ->  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  =  ( ( t `  a ) 
\  |^| ran  U ) )
38 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t `
 a )  e. 
_V
39 difexg 4311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t `  a )  e.  _V  ->  (
( t `  a
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t `  a ) 
\  |^| ran  U )  e.  _V
4137, 32, 40fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  P  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  a )  =  ( ( t `  a
)  \  |^| ran  U
) )
4241ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  a )  =  ( ( t `  a
)  \  |^| ran  U
) )
43 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  b  ->  (
t `  z )  =  ( t `  b ) )
4443difeq1d 3424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  b  ->  (
( t `  z
)  \  |^| ran  U
)  =  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U ) )
45 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t `
 b )  e. 
_V
46 difexg 4311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t `  b )  e.  _V  ->  (
( t `  b
)  \  |^| ran  U
)  e.  _V )
4745, 46ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U )  e.  _V
4844, 32, 47fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  P  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  b )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
) )
4948ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  b )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
) )
5042, 49eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 b )  <->  ( (
t `  a )  \  |^| ran  U )  =  ( ( t `
 b )  \  |^| ran  U ) ) )
51 uneq2 3455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t `  a
)  \  |^| ran  U
)  =  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U )  ->  ( |^| ran  U  u.  ( ( t `
 a )  \  |^| ran  U ) )  =  ( |^| ran  U  u.  ( ( t `
 b )  \  |^| ran  U ) ) )
52 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  a  ->  (
t `  v )  =  ( t `  a ) )
5352sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  a  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  v )  <->  |^|
ran  U  C_  ( t `
 a ) ) )
5453, 6elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  P  <->  ( a  e.  om  /\  |^| ran  U 
C_  ( t `  a ) ) )
5554simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  P  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  a ) )
5655ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  a ) )
57 undif 3668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( |^| ran 
U  C_  ( t `  a )  <->  ( |^| ran 
U  u.  ( ( t `  a ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( t `
 a ) )
5856, 57sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  ( |^| ran  U  u.  (
( t `  a
)  \  |^| ran  U
) )  =  ( t `  a ) )
59 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  b  ->  (
t `  v )  =  ( t `  b ) )
6059sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  b  ->  ( |^| ran  U  C_  (
t `  v )  <->  |^|
ran  U  C_  ( t `
 b ) ) )
6160, 6elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  P  <->  ( b  e.  om  /\  |^| ran  U 
C_  ( t `  b ) ) )
6261simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  P  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  b ) )
6362ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  |^| ran  U 
C_  ( t `  b ) )
64 undif 3668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( |^| ran 
U  C_  ( t `  b )  <->  ( |^| ran 
U  u.  ( ( t `  b ) 
\  |^| ran  U ) )  =  ( t `
 b ) )
6563, 64sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  ( |^| ran  U  u.  (
( t `  b
)  \  |^| ran  U
) )  =  ( t `  b ) )
6658, 65eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( |^| ran  U  u.  ( ( t `  a )  \  |^| ran 
U ) )  =  ( |^| ran  U  u.  ( ( t `  b )  \  |^| ran 
U ) )  <->  ( t `  a )  =  ( t `  b ) ) )
6751, 66syl5ib 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( t `  a )  \  |^| ran 
U )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
)  ->  ( t `  a )  =  ( t `  b ) ) )
688sseli 3304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  P  ->  a  e.  om )
698sseli 3304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  P  ->  b  e.  om )
7068, 69anim12i 550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  P  /\  b  e.  P )  ->  ( a  e.  om  /\  b  e.  om )
)
71 f1fveq 5967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  om  /\  b  e.  om )
)  ->  ( (
t `  a )  =  ( t `  b )  <->  a  =  b ) )
7270, 71sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( t `  a
)  =  ( t `
 b )  <->  a  =  b ) )
7367, 72sylibd 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( t `  a )  \  |^| ran 
U )  =  ( ( t `  b
)  \  |^| ran  U
)  ->  a  =  b ) )
7450, 73sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( a  e.  P  /\  b  e.  P
) )  ->  (
( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 b )  -> 
a  =  b ) )
7574ralrimivva 2758 . . . . . . 7  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  (
( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) ) `
 b )  -> 
a  =  b ) )
76 dff13 5963 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) : P -1-1-> _V  <->  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) : P --> _V  /\  A. a  e.  P  A. b  e.  P  ( (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  a )  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) `  b )  ->  a  =  b ) ) )
7735, 75, 76sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) ) : P -1-1-> _V )
78 fin23lem.c . . . . . . . . 9  |-  Q  =  ( w  e.  om  |->  ( iota_ x  e.  P
( x  i^i  P
)  ~~  w )
)
7978fin23lem22 8163 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  C_  om  /\  -.  P  e.  Fin )  ->  Q : om -1-1-onto-> P )
80 f1of1 5632 . . . . . . . 8  |-  ( Q : om -1-1-onto-> P  ->  Q : om
-1-1-> P )
8179, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( P  C_  om  /\  -.  P  e.  Fin )  ->  Q : om -1-1-> P
)
828, 81mpan 652 . . . . . 6  |-  ( -.  P  e.  Fin  ->  Q : om -1-1-> P )
83 f1co 5607 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) ) : P -1-1-> _V  /\  Q : om
-1-1-> P )  ->  (
( z  e.  P  |->  ( ( t `  z )  \  |^| ran 
U ) )  o.  Q ) : om -1-1-> _V )
8477, 82, 83syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\ 
-.  P  e.  Fin )  ->  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) : om -1-1-> _V )
85 f1eq1 5593 . . . . 5  |-  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  ( Z : om
-1-1-> _V  <->  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z ) 
\  |^| ran  U ) )  o.  Q ) : om -1-1-> _V )
)
8684, 85syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\ 
-.  P  e.  Fin )  ->  ( Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q )  ->  Z : om -1-1-> _V )
)
8786impr 603 . . 3  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( -.  P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `
 z )  \  |^| ran  U ) )  o.  Q ) ) )  ->  Z : om
-1-1-> _V )
8827, 87jaodan 761 . 2  |-  ( ( t : om -1-1-> _V  /\  ( ( P  e. 
Fin  /\  Z  =  ( t  o.  R
) )  \/  ( -.  P  e.  Fin  /\  Z  =  ( ( z  e.  P  |->  ( ( t `  z
)  \  |^| ran  U
) )  o.  Q
) ) ) )  ->  Z : om -1-1-> _V )
893, 88mpan2 653 1  |-  ( t : om -1-1-> _V  ->  Z : om -1-1-> _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   |^|cint 4010   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   suc csuc 4543   omcom 4804   ran crn 4838    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   iota_crio 6501  seq𝜔cseqom 6663    ^m cmap 6977    ~~ cen 7065   Fincfn 7068
This theorem is referenced by:  fin23lem32  8180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782
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