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Theorem fin23lem26 8706
Description: Lemma for fin23lem22 8708. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin23lem26  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  i  e.  om )  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  i )
Distinct variable group:    i, j, S

Proof of Theorem fin23lem26
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4451 . . . 4  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( j  i^i  S ) 
~~  i  <->  ( j  i^i  S )  ~~  (/) ) )
21rexbidv 2973 . . 3  |-  ( i  =  (/)  ->  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S ) 
~~  i  <->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S )  ~~  (/) ) )
3 breq2 4451 . . . 4  |-  ( i  =  a  ->  (
( j  i^i  S
)  ~~  i  <->  ( j  i^i  S )  ~~  a
) )
43rexbidv 2973 . . 3  |-  ( i  =  a  ->  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  i  <->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S )  ~~  a
) )
5 breq2 4451 . . . 4  |-  ( i  =  suc  a  -> 
( ( j  i^i 
S )  ~~  i  <->  ( j  i^i  S ) 
~~  suc  a )
)
65rexbidv 2973 . . 3  |-  ( i  =  suc  a  -> 
( E. j  e.  S  ( j  i^i 
S )  ~~  i  <->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S ) 
~~  suc  a )
)
7 ordom 6694 . . . . . 6  |-  Ord  om
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  Ord  om )
9 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  C_  om )
10 0fin 7748 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  Fin
11 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  (/)  ->  ( S  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1210, 11mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( S  =  (/)  ->  S  e. 
Fin )
1312necon3bi 2696 . . . . . 6  |-  ( -.  S  e.  Fin  ->  S  =/=  (/) )
1413adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  S  =/=  (/) )
15 tz7.5 4899 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  S  C_ 
om  /\  S  =/=  (/) )  ->  E. j  e.  S  ( S  i^i  j )  =  (/) )
168, 9, 14, 15syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  E. j  e.  S  ( S  i^i  j
)  =  (/) )
17 en0 7579 . . . . . 6  |-  ( ( j  i^i  S ) 
~~  (/)  <->  ( j  i^i 
S )  =  (/) )
18 incom 3691 . . . . . . 7  |-  ( j  i^i  S )  =  ( S  i^i  j
)
1918eqeq1i 2474 . . . . . 6  |-  ( ( j  i^i  S )  =  (/)  <->  ( S  i^i  j )  =  (/) )
2017, 19bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( j  i^i  S ) 
~~  (/)  <->  ( S  i^i  j )  =  (/) )
2120rexbii 2965 . . . 4  |-  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S ) 
~~  (/)  <->  E. j  e.  S  ( S  i^i  j
)  =  (/) )
2216, 21sylibr 212 . . 3  |-  ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  (/) )
23 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  S  C_  om )
24 omsson 6689 . . . . . . . . . . 11  |-  om  C_  On
2523, 24syl6ss 3516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  S  C_  On )
2625ssdifssd 3642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( S  \  suc  j )  C_  On )
27 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  j  e.  S
)  ->  -.  S  e.  Fin )
28 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  om  /\  j  e.  S )  ->  j  e.  om )
29 onfin2 7710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
30 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
3129, 30eqsstri 3534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  om  C_  Fin
32 peano2 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  om )
3331, 32sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  om  ->  suc  j  e.  Fin )
3428, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  om  /\  j  e.  S )  ->  suc  j  e.  Fin )
3534adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  j  e.  S
)  ->  suc  j  e. 
Fin )
36 ssfi 7741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  j  e.  Fin  /\  S  C_  suc  j )  ->  S  e.  Fin )
3736ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  j  e.  Fin  ->  ( S  C_  suc  j  ->  S  e.  Fin )
)
3835, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  j  e.  S
)  ->  ( S  C_ 
suc  j  ->  S  e.  Fin ) )
3927, 38mtod 177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  j  e.  S
)  ->  -.  S  C_ 
suc  j )
40 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  suc  j  <->  ( S  \  suc  j )  =  (/) )
4140necon3bbii 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  S  C_  suc  j  <->  ( S  \  suc  j )  =/=  (/) )
4239, 41sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  j  e.  S
)  ->  ( S  \  suc  j )  =/=  (/) )
4342ad2ant2lr 747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( S  \  suc  j )  =/=  (/) )
44 onint 6615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  \  suc  j )  C_  On  /\  ( S  \  suc  j )  =/=  (/) )  ->  |^| ( S  \  suc  j )  e.  ( S  \  suc  j
) )
4526, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  |^| ( S 
\  suc  j )  e.  ( S  \  suc  j ) )
4645eldifad 3488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  |^| ( S 
\  suc  j )  e.  S )
47 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( j  i^i  S )  ~~  a
)
48 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  j  e. 
_V
49 vex 3116 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
50 en2sn 7596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  _V  /\  a  e.  _V )  ->  { j }  ~~  { a } )
5148, 49, 50mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  { j }  ~~  { a }
5251a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  { j }  ~~  { a } )
53 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  j  e.  S )
5423, 53sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  j  e.  om )
55 nnord 6693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  om  ->  Ord  j )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  Ord  j )
57 ordirr 4896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  j  ->  -.  j  e.  j )
58 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  i^i  S )  C_  j
5958sseli 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( j  i^i 
S )  ->  j  e.  j )
6057, 59nsyl 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  j  ->  -.  j  e.  ( j  i^i  S
) )
61 disjsn 4088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  i^i  S
)  i^i  { j } )  =  (/)  <->  -.  j  e.  ( j  i^i  S ) )
6260, 61sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  j  ->  ( (
j  i^i  S )  i^i  { j } )  =  (/) )
6356, 62syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( (
j  i^i  S )  i^i  { j } )  =  (/) )
64 nnord 6693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  om  ->  Ord  a )
65 ordirr 4896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  a  ->  -.  a  e.  a )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  om  ->  -.  a  e.  a )
67 disjsn 4088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  i^i  { a } )  =  (/)  <->  -.  a  e.  a )
6866, 67sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  om  ->  (
a  i^i  { a } )  =  (/) )
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( a  i^i  { a } )  =  (/) )
70 unen 7599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( j  i^i 
S )  ~~  a  /\  { j }  ~~  { a } )  /\  ( ( ( j  i^i  S )  i^i 
{ j } )  =  (/)  /\  (
a  i^i  { a } )  =  (/) ) )  ->  (
( j  i^i  S
)  u.  { j } )  ~~  (
a  u.  { a } ) )
7147, 52, 63, 69, 70syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( (
j  i^i  S )  u.  { j } ) 
~~  ( a  u. 
{ a } ) )
72 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  b  e.  S )
73 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  S  C_ 
om )
7473, 24syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  S  C_  On )
75 ordsuc 6634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord  j  <->  Ord  suc  j )
7656, 75sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  Ord  suc  j
)
7776adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  Ord  suc  j )
78 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  S  C_  On )
7978ssdifssd 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  ( S  \  suc  j ) 
C_  On )
80 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  -.  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  S )
81 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  -.  b  e.  suc  j )  ->  -.  b  e.  suc  j )
8280, 81eldifd 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  -.  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  ( S  \  suc  j ) )
8382ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  ( -.  b  e.  suc  j  ->  b  e.  ( S  \  suc  j
) ) )
84 onnmin 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  \  suc  j )  C_  On  /\  b  e.  ( S 
\  suc  j )
)  ->  -.  b  e.  |^| ( S  \  suc  j ) )
8579, 83, 84syl6an 545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  ( -.  b  e.  suc  j  ->  -.  b  e.  |^| ( S  \  suc  j ) ) )
8685con4d 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  (
b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  ->  b  e.  suc  j ) )
8786imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  |^| ( S 
\  suc  j )
)  ->  b  e.  suc  j )
88 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  Ord  suc  j )
89 ordsucss 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Ord 
suc  j  ->  (
b  e.  suc  j  ->  suc  b  C_  suc  j ) )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  (
b  e.  suc  j  ->  suc  b  C_  suc  j ) )
9190imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  suc  b  C_  suc  j )
9291sscond 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  ( S  \  suc  j )  C_  ( S  \  suc  b ) )
93 intss 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  \  suc  j
)  C_  ( S  \  suc  b )  ->  |^| ( S  \  suc  b )  C_  |^| ( S  \  suc  j ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  |^| ( S  \  suc  b )  C_  |^| ( S  \  suc  j ) )
95 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  S  C_  On )
96 ordelon 4902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Ord  suc  j  /\  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  On )
9788, 96sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  On )
98 onmindif 4967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  On  /\  b  e.  On )  ->  b  e.  |^| ( S  \  suc  b ) )
9995, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  |^| ( S  \  suc  b
) )
10094, 99sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  /\  b  e.  suc  j )  ->  b  e.  |^| ( S  \  suc  j
) )
10187, 100impbida 830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  S  /\  S  C_  On  /\  Ord  suc  j )  ->  (
b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  <-> 
b  e.  suc  j
) )
10272, 74, 77, 101syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  (
b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  <-> 
b  e.  suc  j
) )
103 df-suc 4884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  suc  j  =  ( j  u. 
{ j } )
104103eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  suc  j  <->  b  e.  ( j  u.  {
j } ) )
105102, 104syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
( j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )  /\  b  e.  S
) )  ->  (
b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  <-> 
b  e.  ( j  u.  { j } ) ) )
106105expr 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( b  e.  S  ->  ( b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  <->  b  e.  ( j  u.  {
j } ) ) ) )
107106pm5.32rd 640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( (
b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  /\  b  e.  S
)  <->  ( b  e.  ( j  u.  {
j } )  /\  b  e.  S )
) )
108 elin 3687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( |^| ( S  \  suc  j )  i^i  S )  <->  ( b  e.  |^| ( S  \  suc  j )  /\  b  e.  S ) )
109 elin 3687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( ( j  u.  { j } )  i^i  S )  <-> 
( b  e.  ( j  u.  { j } )  /\  b  e.  S ) )
110107, 108, 1093bitr4g 288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( b  e.  ( |^| ( S 
\  suc  j )  i^i  S )  <->  b  e.  ( ( j  u. 
{ j } )  i^i  S ) ) )
111110eqrdv 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( |^| ( S  \  suc  j
)  i^i  S )  =  ( ( j  u.  { j } )  i^i  S ) )
112 indir 3746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  u.  { j } )  i^i  S
)  =  ( ( j  i^i  S )  u.  ( { j }  i^i  S ) )
113111, 112syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( |^| ( S  \  suc  j
)  i^i  S )  =  ( ( j  i^i  S )  u.  ( { j }  i^i  S ) ) )
114 snssi 4171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  S  ->  { j }  C_  S )
115 df-ss 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { j }  C_  S  <->  ( { j }  i^i  S )  =  { j } )
116114, 115sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  S  ->  ( { j }  i^i  S )  =  { j } )
117116uneq2d 3658 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  S  ->  (
( j  i^i  S
)  u.  ( { j }  i^i  S
) )  =  ( ( j  i^i  S
)  u.  { j } ) )
118117ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( (
j  i^i  S )  u.  ( { j }  i^i  S ) )  =  ( ( j  i^i  S )  u. 
{ j } ) )
119113, 118eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( |^| ( S  \  suc  j
)  i^i  S )  =  ( ( j  i^i  S )  u. 
{ j } ) )
120 df-suc 4884 . . . . . . . . 9  |-  suc  a  =  ( a  u. 
{ a } )
121120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  suc  a  =  ( a  u.  {
a } ) )
12271, 119, 1213brtr4d 4477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  ( |^| ( S  \  suc  j
)  i^i  S )  ~~  suc  a )
123 ineq1 3693 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  |^| ( S 
\  suc  j )  ->  ( b  i^i  S
)  =  ( |^| ( S  \  suc  j
)  i^i  S )
)
124123breq1d 4457 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  |^| ( S 
\  suc  j )  ->  ( ( b  i^i 
S )  ~~  suc  a 
<->  ( |^| ( S 
\  suc  j )  i^i  S )  ~~  suc  a ) )
125124rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( (
|^| ( S  \  suc  j )  e.  S  /\  ( |^| ( S 
\  suc  j )  i^i  S )  ~~  suc  a )  ->  E. b  e.  S  ( b  i^i  S )  ~~  suc  a )
12646, 122, 125syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  /\  (
j  e.  S  /\  ( j  i^i  S
)  ~~  a )
)  ->  E. b  e.  S  ( b  i^i  S )  ~~  suc  a )
127126rexlimdvaa 2956 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  ->  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  a  ->  E. b  e.  S  ( b  i^i  S ) 
~~  suc  a )
)
128 ineq1 3693 . . . . . . 7  |-  ( b  =  j  ->  (
b  i^i  S )  =  ( j  i^i 
S ) )
129128breq1d 4457 . . . . . 6  |-  ( b  =  j  ->  (
( b  i^i  S
)  ~~  suc  a  <->  ( j  i^i  S )  ~~  suc  a ) )
130129cbvrexv 3089 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  S  ( b  i^i  S ) 
~~  suc  a  <->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S )  ~~  suc  a )
131127, 130syl6ib 226 . . . 4  |-  ( ( a  e.  om  /\  ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin ) )  ->  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  a  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S ) 
~~  suc  a )
)
132131ex 434 . . 3  |-  ( a  e.  om  ->  (
( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  ( E. j  e.  S  ( j  i^i  S )  ~~  a  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  suc  a ) ) )
1332, 4, 6, 22, 132finds2 6713 . 2  |-  ( i  e.  om  ->  (
( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  i )
)
134133impcom 430 1  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  -.  S  e.  Fin )  /\  i  e.  om )  ->  E. j  e.  S  ( j  i^i  S
)  ~~  i )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   |^|cint 4282   class class class wbr 4447   Ord word 4877   Oncon0 4878   suc csuc 4880   omcom 6685    ~~ cen 7514   Fincfn 7517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6686  df-1o 7131  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521
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