Theorem fin23lem26 8722

Description: Lemma for fin23lem22 8724. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem26	|- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ i e. om ) -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i )

Distinct variable group:   i, j, S

Proof of Theorem fin23lem26

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4460	. . . 4 |- ( i = (/) -> ( ( j i^i S ) ~~ i <-> ( j i^i S ) ~~ (/) ) )
2	1	rexbidv 2968	. . 3 |- ( i = (/) -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i <-> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ (/) ) )
3		breq2 4460	. . . 4 |- ( i = a -> ( ( j i^i S ) ~~ i <-> ( j i^i S ) ~~ a ) )
4	3	rexbidv 2968	. . 3 |- ( i = a -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i <-> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ a ) )
5		breq2 4460	. . . 4 |- ( i = suc a -> ( ( j i^i S ) ~~ i <-> ( j i^i S ) ~~ suc a ) )
6	5	rexbidv 2968	. . 3 |- ( i = suc a -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i <-> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ suc a ) )
7		ordom 6708	. . . . . 6 |- Ord om
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> Ord om )
9		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> S C_ om )
10		0fin 7766	. . . . . . . 8 |- (/) e. Fin
11		eleq1 2529	. . . . . . . 8 |- ( S = (/) -> ( S e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
12	10, 11	mpbiri 233	. . . . . . 7 |- ( S = (/) -> S e. Fin )
13	12	necon3bi 2686	. . . . . 6 |- ( -. S e. Fin -> S =/= (/) )
14	13	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> S =/= (/) )
15		tz7.5 4908	. . . . 5 |- ( ( Ord om /\ S C_ om /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S ( S i^i j ) = (/) )
16	8, 9, 14, 15	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> E. j e. S ( S i^i j ) = (/) )
17		en0 7597	. . . . . 6 |- ( ( j i^i S ) ~~ (/) <-> ( j i^i S ) = (/) )
18		incom 3687	. . . . . . 7 |- ( j i^i S ) = ( S i^i j )
19	18	eqeq1i 2464	. . . . . 6 |- ( ( j i^i S ) = (/) <-> ( S i^i j ) = (/) )
20	17, 19	bitri 249	. . . . 5 |- ( ( j i^i S ) ~~ (/) <-> ( S i^i j ) = (/) )
21	20	rexbii 2959	. . . 4 |- ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ (/) <-> E. j e. S ( S i^i j ) = (/) )
22	16, 21	sylibr 212	. . 3 |- ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ (/) )
23		simplrl 761	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> S C_ om )
24		omsson 6703	. . . . . . . . . . 11 |- om C_ On
25	23, 24	syl6ss 3511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> S C_ On )
26	25	ssdifssd 3638	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( S \ suc j ) C_ On )
27		simplr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ j e. S ) -> -. S e. Fin )
28		ssel2 3494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ om /\ j e. S ) -> j e. om )
29		onfin2 7728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- om = ( On i^i Fin )
30		inss2 3715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( On i^i Fin ) C_ Fin
31	29, 30	eqsstri 3529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- om C_ Fin
32		peano2 6719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. om -> suc j e. om )
33	31, 32	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. om -> suc j e. Fin )
34	28, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ om /\ j e. S ) -> suc j e. Fin )
35	34	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ j e. S ) -> suc j e. Fin )
36		ssfi 7759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( suc j e. Fin /\ S C_ suc j ) -> S e. Fin )
37	36	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc j e. Fin -> ( S C_ suc j -> S e. Fin ) )
38	35, 37	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ j e. S ) -> ( S C_ suc j -> S e. Fin ) )
39	27, 38	mtod 177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ j e. S ) -> -. S C_ suc j )
40		ssdif0 3888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ suc j <-> ( S \ suc j ) = (/) )
41	40	necon3bbii 2718	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. S C_ suc j <-> ( S \ suc j ) =/= (/) )
42	39, 41	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ j e. S ) -> ( S \ suc j ) =/= (/) )
43	42	ad2ant2lr 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( S \ suc j ) =/= (/) )
44		onint 6629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S \ suc j ) C_ On /\ ( S \ suc j ) =/= (/) ) -> |^| ( S \ suc j ) e. ( S \ suc j ) )
45	26, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> |^| ( S \ suc j ) e. ( S \ suc j ) )
46	45	eldifad 3483	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> |^| ( S \ suc j ) e. S )
47		simprr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( j i^i S ) ~~ a )
48		vex 3112	. . . . . . . . . . 11 |- j e. _V
49		vex 3112	. . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
50		en2sn 7614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. _V /\ a e. _V ) -> { j } ~~ { a } )
51	48, 49, 50	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- { j } ~~ { a }
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> { j } ~~ { a } )
53		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> j e. S )
54	23, 53	sseldd 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> j e. om )
55		nnord 6707	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> Ord j )
56	54, 55	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> Ord j )
57		ordirr 4905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord j -> -. j e. j )
58		inss1 3714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j i^i S ) C_ j
59	58	sseli 3495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( j i^i S ) -> j e. j )
60	57, 59	nsyl 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord j -> -. j e. ( j i^i S ) )
61		disjsn 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j i^i S ) i^i { j } ) = (/) <-> -. j e. ( j i^i S ) )
62	60, 61	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord j -> ( ( j i^i S ) i^i { j } ) = (/) )
63	56, 62	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( ( j i^i S ) i^i { j } ) = (/) )
64		nnord 6707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. om -> Ord a )
65		ordirr 4905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord a -> -. a e. a )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. om -> -. a e. a )
67		disjsn 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a i^i { a } ) = (/) <-> -. a e. a )
68	66, 67	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. om -> ( a i^i { a } ) = (/) )
69	68	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( a i^i { a } ) = (/) )
70		unen 7617	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( j i^i S ) ~~ a /\ { j } ~~ { a } ) /\ ( ( ( j i^i S ) i^i { j } ) = (/) /\ ( a i^i { a } ) = (/) ) ) -> ( ( j i^i S ) u. { j } ) ~~ ( a u. { a } ) )
71	47, 52, 63, 69, 70	syl22anc 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( ( j i^i S ) u. { j } ) ~~ ( a u. { a } ) )
72		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> b e. S )
73		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> S C_ om )
74	73, 24	syl6ss 3511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> S C_ On )
75		ordsuc 6648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Ord j <-> Ord suc j )
76	56, 75	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> Ord suc j )
77	76	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> Ord suc j )
78		simp2 997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> S C_ On )
79	78	ssdifssd 3638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( S \ suc j ) C_ On )
80		simpl1 999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ -. b e. suc j ) -> b e. S )
81		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ -. b e. suc j ) -> -. b e. suc j )
82	80, 81	eldifd 3482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ -. b e. suc j ) -> b e. ( S \ suc j ) )
83	82	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( -. b e. suc j -> b e. ( S \ suc j ) ) )
84		onnmin 6637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S \ suc j ) C_ On /\ b e. ( S \ suc j ) ) -> -. b e. |^| ( S \ suc j ) )
85	79, 83, 84	syl6an 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( -. b e. suc j -> -. b e. |^| ( S \ suc j ) ) )
86	85	con4d 105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( b e. |^| ( S \ suc j ) -> b e. suc j ) )
87	86	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. |^| ( S \ suc j ) ) -> b e. suc j )
88		simp3 998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> Ord suc j )
89		ordsucss 6652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Ord suc j -> ( b e. suc j -> suc b C_ suc j ) )
90	88, 89	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( b e. suc j -> suc b C_ suc j ) )
91	90	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> suc b C_ suc j )
92	91	sscond 3637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> ( S \ suc j ) C_ ( S \ suc b ) )
93		intss 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S \ suc j ) C_ ( S \ suc b ) -> |^| ( S \ suc b ) C_ |^| ( S \ suc j ) )
94	92, 93	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> |^| ( S \ suc b ) C_ |^| ( S \ suc j ) )
95		simpl2 1000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> S C_ On )
96		ordelon 4911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Ord suc j /\ b e. suc j ) -> b e. On )
97	88, 96	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> b e. On )
98		onmindif 4976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S C_ On /\ b e. On ) -> b e. |^| ( S \ suc b ) )
99	95, 97, 98	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> b e. |^| ( S \ suc b ) )
100	94, 99	sseldd 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> b e. |^| ( S \ suc j ) )
101	87, 100	impbida 832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( b e. |^| ( S \ suc j ) <-> b e. suc j ) )
102	72, 74, 77, 101	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> ( b e. |^| ( S \ suc j ) <-> b e. suc j ) )
103		df-suc 4893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc j = ( j u. { j } )
104	103	eleq2i 2535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. suc j <-> b e. ( j u. { j } ) )
105	102, 104	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> ( b e. |^| ( S \ suc j ) <-> b e. ( j u. { j } ) ) )
106	105	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( b e. S -> ( b e. |^| ( S \ suc j ) <-> b e. ( j u. { j } ) ) ) )
107	106	pm5.32rd 640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( ( b e. |^| ( S \ suc j ) /\ b e. S ) <-> ( b e. ( j u. { j } ) /\ b e. S ) ) )
108		elin 3683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) <-> ( b e. |^| ( S \ suc j ) /\ b e. S ) )
109		elin 3683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( ( j u. { j } ) i^i S ) <-> ( b e. ( j u. { j } ) /\ b e. S ) )
110	107, 108, 109	3bitr4g 288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( b e. ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) <-> b e. ( ( j u. { j } ) i^i S ) ) )
111	110	eqrdv 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) = ( ( j u. { j } ) i^i S ) )
112		indir 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j u. { j } ) i^i S ) = ( ( j i^i S ) u. ( { j } i^i S ) )
113	111, 112	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) = ( ( j i^i S ) u. ( { j } i^i S ) ) )
114		snssi 4176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. S -> { j } C_ S )
115		df-ss 3485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { j } C_ S <-> ( { j } i^i S ) = { j } )
116	114, 115	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. S -> ( { j } i^i S ) = { j } )
117	116	uneq2d 3654	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. S -> ( ( j i^i S ) u. ( { j } i^i S ) ) = ( ( j i^i S ) u. { j } ) )
118	117	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( ( j i^i S ) u. ( { j } i^i S ) ) = ( ( j i^i S ) u. { j } ) )
119	113, 118	eqtrd 2498	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) = ( ( j i^i S ) u. { j } ) )
120		df-suc 4893	. . . . . . . . 9 |- suc a = ( a u. { a } )
121	120	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> suc a = ( a u. { a } ) )
122	71, 119, 121	3brtr4d 4486	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) ~~ suc a )
123		ineq1 3689	. . . . . . . . 9 |- ( b = |^| ( S \ suc j ) -> ( b i^i S ) = ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) )
124	123	breq1d 4466	. . . . . . . 8 |- ( b = |^| ( S \ suc j ) -> ( ( b i^i S ) ~~ suc a <-> ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) ~~ suc a ) )
125	124	rspcev 3210	. . . . . . 7 |- ( ( |^| ( S \ suc j ) e. S /\ ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) ~~ suc a ) -> E. b e. S ( b i^i S ) ~~ suc a )
126	46, 122, 125	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> E. b e. S ( b i^i S ) ~~ suc a )
127	126	rexlimdvaa 2950	. . . . 5 |- ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ a -> E. b e. S ( b i^i S ) ~~ suc a ) )
128		ineq1 3689	. . . . . . 7 |- ( b = j -> ( b i^i S ) = ( j i^i S ) )
129	128	breq1d 4466	. . . . . 6 |- ( b = j -> ( ( b i^i S ) ~~ suc a <-> ( j i^i S ) ~~ suc a ) )
130	129	cbvrexv 3085	. . . . 5 |- ( E. b e. S ( b i^i S ) ~~ suc a <-> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ suc a )
131	127, 130	syl6ib 226	. . . 4 |- ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ a -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ suc a ) )
132	131	ex 434	. . 3 |- ( a e. om -> ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ a -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ suc a ) ) )
133	2, 4, 6, 22, 132	finds2 6727	. 2 |- ( i e. om -> ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i ) )
134	133	impcom 430	1 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ i e. om ) -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   |^|cint 4288   class class class wbr 4456   Ord word 4886   Oncon0 4887   suc csuc 4889   omcom 6699   ~~ cen 7532   Fincfn 7535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539

This theorem is referenced by:  fin23lem23  8723