Theorem fin23lem26 8755

Description: Lemma for fin23lem22 8757. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem26	|- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ i e. om ) -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i )

Distinct variable group:   i, j, S

Proof of Theorem fin23lem26

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4406	. . . 4 |- ( i = (/) -> ( ( j i^i S ) ~~ i <-> ( j i^i S ) ~~ (/) ) )
2	1	rexbidv 2901	. . 3 |- ( i = (/) -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i <-> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ (/) ) )
3		breq2 4406	. . . 4 |- ( i = a -> ( ( j i^i S ) ~~ i <-> ( j i^i S ) ~~ a ) )
4	3	rexbidv 2901	. . 3 |- ( i = a -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i <-> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ a ) )
5		breq2 4406	. . . 4 |- ( i = suc a -> ( ( j i^i S ) ~~ i <-> ( j i^i S ) ~~ suc a ) )
6	5	rexbidv 2901	. . 3 |- ( i = suc a -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i <-> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ suc a ) )
7		ordom 6701	. . . . . 6 |- Ord om
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> Ord om )
9		simpl 459	. . . . 5 |- ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> S C_ om )
10		0fin 7799	. . . . . . . 8 |- (/) e. Fin
11		eleq1 2517	. . . . . . . 8 |- ( S = (/) -> ( S e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
12	10, 11	mpbiri 237	. . . . . . 7 |- ( S = (/) -> S e. Fin )
13	12	necon3bi 2650	. . . . . 6 |- ( -. S e. Fin -> S =/= (/) )
14	13	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> S =/= (/) )
15		tz7.5 5444	. . . . 5 |- ( ( Ord om /\ S C_ om /\ S =/= (/) ) -> E. j e. S ( S i^i j ) = (/) )
16	8, 9, 14, 15	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> E. j e. S ( S i^i j ) = (/) )
17		en0 7632	. . . . . 6 |- ( ( j i^i S ) ~~ (/) <-> ( j i^i S ) = (/) )
18		incom 3625	. . . . . . 7 |- ( j i^i S ) = ( S i^i j )
19	18	eqeq1i 2456	. . . . . 6 |- ( ( j i^i S ) = (/) <-> ( S i^i j ) = (/) )
20	17, 19	bitri 253	. . . . 5 |- ( ( j i^i S ) ~~ (/) <-> ( S i^i j ) = (/) )
21	20	rexbii 2889	. . . 4 |- ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ (/) <-> E. j e. S ( S i^i j ) = (/) )
22	16, 21	sylibr 216	. . 3 |- ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ (/) )
23		simplrl 770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> S C_ om )
24		omsson 6696	. . . . . . . . . . 11 |- om C_ On
25	23, 24	syl6ss 3444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> S C_ On )
26	25	ssdifssd 3571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( S \ suc j ) C_ On )
27		simplr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ j e. S ) -> -. S e. Fin )
28		ssel2 3427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ om /\ j e. S ) -> j e. om )
29		onfin2 7764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- om = ( On i^i Fin )
30		inss2 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( On i^i Fin ) C_ Fin
31	29, 30	eqsstri 3462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- om C_ Fin
32		peano2 6713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. om -> suc j e. om )
33	31, 32	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. om -> suc j e. Fin )
34	28, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ om /\ j e. S ) -> suc j e. Fin )
35	34	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ j e. S ) -> suc j e. Fin )
36		ssfi 7792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( suc j e. Fin /\ S C_ suc j ) -> S e. Fin )
37	36	ex 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( suc j e. Fin -> ( S C_ suc j -> S e. Fin ) )
38	35, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ j e. S ) -> ( S C_ suc j -> S e. Fin ) )
39	27, 38	mtod 181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ j e. S ) -> -. S C_ suc j )
40		ssdif0 3823	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ suc j <-> ( S \ suc j ) = (/) )
41	40	necon3bbii 2671	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. S C_ suc j <-> ( S \ suc j ) =/= (/) )
42	39, 41	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ j e. S ) -> ( S \ suc j ) =/= (/) )
43	42	ad2ant2lr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( S \ suc j ) =/= (/) )
44		onint 6622	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S \ suc j ) C_ On /\ ( S \ suc j ) =/= (/) ) -> |^| ( S \ suc j ) e. ( S \ suc j ) )
45	26, 43, 44	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> |^| ( S \ suc j ) e. ( S \ suc j ) )
46	45	eldifad 3416	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> |^| ( S \ suc j ) e. S )
47		simprr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( j i^i S ) ~~ a )
48		vex 3048	. . . . . . . . . . 11 |- j e. _V
49		vex 3048	. . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
50		en2sn 7649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. _V /\ a e. _V ) -> { j } ~~ { a } )
51	48, 49, 50	mp2an 678	. . . . . . . . . 10 |- { j } ~~ { a }
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> { j } ~~ { a } )
53		simprl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> j e. S )
54	23, 53	sseldd 3433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> j e. om )
55		nnord 6700	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. om -> Ord j )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> Ord j )
57		ordirr 5441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord j -> -. j e. j )
58		inss1 3652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j i^i S ) C_ j
59	58	sseli 3428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( j i^i S ) -> j e. j )
60	57, 59	nsyl 125	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord j -> -. j e. ( j i^i S ) )
61		disjsn 4032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j i^i S ) i^i { j } ) = (/) <-> -. j e. ( j i^i S ) )
62	60, 61	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord j -> ( ( j i^i S ) i^i { j } ) = (/) )
63	56, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( ( j i^i S ) i^i { j } ) = (/) )
64		nnord 6700	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. om -> Ord a )
65		ordirr 5441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord a -> -. a e. a )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. om -> -. a e. a )
67		disjsn 4032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a i^i { a } ) = (/) <-> -. a e. a )
68	66, 67	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. om -> ( a i^i { a } ) = (/) )
69	68	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( a i^i { a } ) = (/) )
70		unen 7652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( j i^i S ) ~~ a /\ { j } ~~ { a } ) /\ ( ( ( j i^i S ) i^i { j } ) = (/) /\ ( a i^i { a } ) = (/) ) ) -> ( ( j i^i S ) u. { j } ) ~~ ( a u. { a } ) )
71	47, 52, 63, 69, 70	syl22anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( ( j i^i S ) u. { j } ) ~~ ( a u. { a } ) )
72		simprr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> b e. S )
73		simplrl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> S C_ om )
74	73, 24	syl6ss 3444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> S C_ On )
75		ordsuc 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Ord j <-> Ord suc j )
76	56, 75	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> Ord suc j )
77	76	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> Ord suc j )
78		simp2 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> S C_ On )
79	78	ssdifssd 3571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( S \ suc j ) C_ On )
80		simpl1 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ -. b e. suc j ) -> b e. S )
81		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ -. b e. suc j ) -> -. b e. suc j )
82	80, 81	eldifd 3415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ -. b e. suc j ) -> b e. ( S \ suc j ) )
83	82	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( -. b e. suc j -> b e. ( S \ suc j ) ) )
84		onnmin 6630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S \ suc j ) C_ On /\ b e. ( S \ suc j ) ) -> -. b e. |^| ( S \ suc j ) )
85	79, 83, 84	syl6an 548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( -. b e. suc j -> -. b e. |^| ( S \ suc j ) ) )
86	85	con4d 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( b e. |^| ( S \ suc j ) -> b e. suc j ) )
87	86	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. |^| ( S \ suc j ) ) -> b e. suc j )
88		simp3 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> Ord suc j )
89		ordsucss 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Ord suc j -> ( b e. suc j -> suc b C_ suc j ) )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( b e. suc j -> suc b C_ suc j ) )
91	90	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> suc b C_ suc j )
92	91	sscond 3570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> ( S \ suc j ) C_ ( S \ suc b ) )
93		intss 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S \ suc j ) C_ ( S \ suc b ) -> |^| ( S \ suc b ) C_ |^| ( S \ suc j ) )
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> |^| ( S \ suc b ) C_ |^| ( S \ suc j ) )
95		simpl2 1012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> S C_ On )
96		ordelon 5447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Ord suc j /\ b e. suc j ) -> b e. On )
97	88, 96	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> b e. On )
98		onmindif 5512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S C_ On /\ b e. On ) -> b e. |^| ( S \ suc b ) )
99	95, 97, 98	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> b e. |^| ( S \ suc b ) )
100	94, 99	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) /\ b e. suc j ) -> b e. |^| ( S \ suc j ) )
101	87, 100	impbida 843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b e. S /\ S C_ On /\ Ord suc j ) -> ( b e. |^| ( S \ suc j ) <-> b e. suc j ) )
102	72, 74, 77, 101	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> ( b e. |^| ( S \ suc j ) <-> b e. suc j ) )
103		df-suc 5429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc j = ( j u. { j } )
104	103	eleq2i 2521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. suc j <-> b e. ( j u. { j } ) )
105	102, 104	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) /\ b e. S ) ) -> ( b e. |^| ( S \ suc j ) <-> b e. ( j u. { j } ) ) )
106	105	expr 620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( b e. S -> ( b e. |^| ( S \ suc j ) <-> b e. ( j u. { j } ) ) ) )
107	106	pm5.32rd 646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( ( b e. |^| ( S \ suc j ) /\ b e. S ) <-> ( b e. ( j u. { j } ) /\ b e. S ) ) )
108		elin 3617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) <-> ( b e. |^| ( S \ suc j ) /\ b e. S ) )
109		elin 3617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ( ( j u. { j } ) i^i S ) <-> ( b e. ( j u. { j } ) /\ b e. S ) )
110	107, 108, 109	3bitr4g 292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( b e. ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) <-> b e. ( ( j u. { j } ) i^i S ) ) )
111	110	eqrdv 2449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) = ( ( j u. { j } ) i^i S ) )
112		indir 3691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j u. { j } ) i^i S ) = ( ( j i^i S ) u. ( { j } i^i S ) )
113	111, 112	syl6eq 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) = ( ( j i^i S ) u. ( { j } i^i S ) ) )
114		snssi 4116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. S -> { j } C_ S )
115		df-ss 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { j } C_ S <-> ( { j } i^i S ) = { j } )
116	114, 115	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. S -> ( { j } i^i S ) = { j } )
117	116	uneq2d 3588	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. S -> ( ( j i^i S ) u. ( { j } i^i S ) ) = ( ( j i^i S ) u. { j } ) )
118	117	ad2antrl 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( ( j i^i S ) u. ( { j } i^i S ) ) = ( ( j i^i S ) u. { j } ) )
119	113, 118	eqtrd 2485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) = ( ( j i^i S ) u. { j } ) )
120		df-suc 5429	. . . . . . . . 9 |- suc a = ( a u. { a } )
121	120	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> suc a = ( a u. { a } ) )
122	71, 119, 121	3brtr4d 4433	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) ~~ suc a )
123		ineq1 3627	. . . . . . . . 9 |- ( b = |^| ( S \ suc j ) -> ( b i^i S ) = ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) )
124	123	breq1d 4412	. . . . . . . 8 |- ( b = |^| ( S \ suc j ) -> ( ( b i^i S ) ~~ suc a <-> ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) ~~ suc a ) )
125	124	rspcev 3150	. . . . . . 7 |- ( ( |^| ( S \ suc j ) e. S /\ ( |^| ( S \ suc j ) i^i S ) ~~ suc a ) -> E. b e. S ( b i^i S ) ~~ suc a )
126	46, 122, 125	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) /\ ( j e. S /\ ( j i^i S ) ~~ a ) ) -> E. b e. S ( b i^i S ) ~~ suc a )
127	126	rexlimdvaa 2880	. . . . 5 |- ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ a -> E. b e. S ( b i^i S ) ~~ suc a ) )
128		ineq1 3627	. . . . . . 7 |- ( b = j -> ( b i^i S ) = ( j i^i S ) )
129	128	breq1d 4412	. . . . . 6 |- ( b = j -> ( ( b i^i S ) ~~ suc a <-> ( j i^i S ) ~~ suc a ) )
130	129	cbvrexv 3020	. . . . 5 |- ( E. b e. S ( b i^i S ) ~~ suc a <-> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ suc a )
131	127, 130	syl6ib 230	. . . 4 |- ( ( a e. om /\ ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) ) -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ a -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ suc a ) )
132	131	ex 436	. . 3 |- ( a e. om -> ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> ( E. j e. S ( j i^i S ) ~~ a -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ suc a ) ) )
133	2, 4, 6, 22, 132	finds2 6721	. 2 |- ( i e. om -> ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i ) )
134	133	impcom 432	1 |- ( ( ( S C_ om /\ -. S e. Fin ) /\ i e. om ) -> E. j e. S ( j i^i S ) ~~ i )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   |^|cint 4234   class class class wbr 4402   Ord word 5422   Oncon0 5423   suc csuc 5425   omcom 6692   ~~ cen 7566   Fincfn 7569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573

This theorem is referenced by:  fin23lem23  8756