Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem22 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fin23lem22 8757
 Description: Lemma for fin23 8819 but could be used elsewhere if we find a good name for it. Explicit construction of a bijection (actually an isomorphism, see fin23lem27 8758) between an infinite subset of and itself. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin23lem22.b
Assertion
Ref Expression
fin23lem22
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem fin23lem22
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem22.b . 2
2 fin23lem23 8756 . . 3
3 riotacl 6266 . . 3
42, 3syl 17 . 2
5 simpll 760 . . . 4
6 simpr 463 . . . 4
75, 6sseldd 3433 . . 3
8 nnfi 7765 . . 3
9 infi 7795 . . 3
10 ficardom 8395 . . 3
117, 8, 9, 104syl 19 . 2
12 cardnn 8397 . . . . . . 7
1312eqcomd 2457 . . . . . 6
1413eqeq1d 2453 . . . . 5
15 eqcom 2458 . . . . 5
1614, 15syl6bb 265 . . . 4
18 simpll 760 . . . . . . 7
19 simprr 766 . . . . . . 7
2018, 19sseldd 3433 . . . . . 6
21 nnon 6698 . . . . . 6
22 onenon 8383 . . . . . 6
2320, 21, 223syl 18 . . . . 5
24 inss1 3652 . . . . 5
25 ssnum 8470 . . . . 5
2623, 24, 25sylancl 668 . . . 4
27 nnon 6698 . . . . . 6
2827ad2antrl 734 . . . . 5
29 onenon 8383 . . . . 5
3028, 29syl 17 . . . 4
31 carden2 8421 . . . 4
3226, 30, 31syl2anc 667 . . 3
332adantrr 723 . . . . 5
34 ineq1 3627 . . . . . . 7
3534breq1d 4412 . . . . . 6
3635riota2 6274 . . . . 5
3719, 33, 36syl2anc 667 . . . 4
38 eqcom 2458 . . . 4
3937, 38syl6bb 265 . . 3
4017, 32, 393bitrd 283 . 2
411, 4, 11, 40f1o2d 6521 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wreu 2739   cin 3403   wss 3404   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cdm 4834  con0 5423  wf1o 5581  cfv 5582  crio 6251  com 6692   cen 7566  cfn 7569  ccrd 8369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373 This theorem is referenced by:  fin23lem27  8758  fin23lem28  8770  fin23lem30  8772  isf32lem6  8788  isf32lem7  8789  isf32lem8  8790
 Copyright terms: Public domain W3C validator