Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem17 Structured version   Unicode version

Theorem fin23lem17 8735
 Description: Lemma for fin23 8786. By ? Fin3DS ? , achieves its minimum ( in the synopsis above, but we will not be assigning a symbol here). TODO: Fix comment; math symbol Fin3DS does not exist. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem.a seq𝜔
fin23lem17.f
Assertion
Ref Expression
fin23lem17
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem fin23lem17
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem.a . . . . . 6 seq𝜔
21fnseqom 7138 . . . . 5
3 dffn3 5744 . . . . 5
42, 3mpbi 208 . . . 4
5 pwuni 4687 . . . . 5
61fin23lem16 8732 . . . . . 6
76pweqi 4019 . . . . 5
85, 7sseqtri 3531 . . . 4
9 fss 5745 . . . 4
104, 8, 9mp2an 672 . . 3
11 vex 3112 . . . . . . 7
1211rnex 6733 . . . . . 6
1312uniex 6595 . . . . 5
1413pwex 4639 . . . 4
15 f1f 5787 . . . . . 6
16 dmfex 6757 . . . . . 6
1711, 15, 16sylancr 663 . . . . 5
1817adantl 466 . . . 4
19 elmapg 7451 . . . 4
2014, 18, 19sylancr 663 . . 3
2110, 20mpbiri 233 . 2
22 fin23lem17.f . . . . 5
2322isfin3ds 8726 . . . 4
2423ibi 241 . . 3
2524adantr 465 . 2
261fin23lem13 8729 . . . 4
2726rgen 2817 . . 3
2827a1i 11 . 2
29 fveq1 5871 . . . . . 6
30 fveq1 5871 . . . . . 6
3129, 30sseq12d 3528 . . . . 5
3231ralbidv 2896 . . . 4
33 rneq 5238 . . . . . 6
3433inteqd 4293 . . . . 5
3534, 33eleq12d 2539 . . . 4
3632, 35imbi12d 320 . . 3
3736rspcv 3206 . 2
3821, 25, 28, 37syl3c 61 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  cab 2442  wral 2807  cvv 3109   cin 3470   wss 3471  c0 3793  cif 3944  cpw 4015  cuni 4251  cint 4288   csuc 4889   crn 5009   wfn 5589  wf 5590  wf1 5591  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  com 6699  seq𝜔cseqom 7130   cmap 7438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seqom 7131  df-map 7440 This theorem is referenced by:  fin23lem21  8736
 Copyright terms: Public domain W3C validator