Theorem fin23lem11 8734

Description: Lemma for isfin2-2 8736. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem11.1	|- ( z = ( A \ x ) -> ( ps <-> ch ) )
fin23lem11.2	|- ( w = ( A \ v ) -> ( ph <-> th ) )
fin23lem11.3	|- ( ( x C_ A /\ v C_ A ) -> ( ch <-> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fin23lem11	|- ( B C_ ~P A -> ( E. x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) )

Distinct variable groups:   v, c, w, x, z, A   B, c, v, w, x, z   ch, z   ph, v   ps, x   th, w

Allowed substitution hints:   ph( x, z, w, c)   ps( z, w, v, c)   ch( x, w, v, c)   th( x, z, v, c)

Proof of Theorem fin23lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3513	. . . . 5 |- ( c = x -> ( A \ c ) = ( A \ x ) )
2	1	eleq1d 2514	. . . 4 |- ( c = x -> ( ( A \ c ) e. B <-> ( A \ x ) e. B ) )
3	2	elrab 3164	. . 3 |- ( x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } <-> ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) )
4		simp2r 1036	. . . . 5 |- ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> ( A \ x ) e. B )
5		difss 3528	. . . . . . . . . 10 |- ( A \ v ) C_ A
6		ssun1 3565	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( A u. x )
7		undif1 3810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A \ x ) u. x ) = ( A u. x )
8	6, 7	sseqtr4i 3433	. . . . . . . . . . . 12 |- A C_ ( ( A \ x ) u. x )
9		simpl2r 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ x ) e. B )
10		simpl2l 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> x e. ~P A )
11		unexg 6580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A \ x ) e. B /\ x e. ~P A ) -> ( ( A \ x ) u. x ) e. _V )
12	9, 10, 11	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( ( A \ x ) u. x ) e. _V )
13		ssexg 4521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ ( ( A \ x ) u. x ) /\ ( ( A \ x ) u. x ) e. _V ) -> A e. _V )
14	8, 12, 13	sylancr 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> A e. _V )
15		elpw2g 4539	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> ( ( A \ v ) e. ~P A <-> ( A \ v ) C_ A ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( ( A \ v ) e. ~P A <-> ( A \ v ) C_ A ) )
17	5, 16	mpbiri 241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ v ) e. ~P A )
18		simpl1 1012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> B C_ ~P A )
19		simpr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> v e. B )
20	18, 19	sseldd 3401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> v e. ~P A )
21	20	elpwid 3929	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> v C_ A )
22		dfss4 3645	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ A <-> ( A \ ( A \ v ) ) = v )
23	21, 22	sylib 201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ ( A \ v ) ) = v )
24	23, 19	eqeltrd 2530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ ( A \ v ) ) e. B )
25		difeq2 3513	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( A \ v ) -> ( A \ c ) = ( A \ ( A \ v ) ) )
26	25	eleq1d 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( A \ v ) -> ( ( A \ c ) e. B <-> ( A \ ( A \ v ) ) e. B ) )
27	26	elrab 3164	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ v ) e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } <-> ( ( A \ v ) e. ~P A /\ ( A \ ( A \ v ) ) e. B ) )
28	17, 24, 27	sylanbrc 675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ v ) e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } )
29		simpl3 1014	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph )
30		fin23lem11.2	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( A \ v ) -> ( ph <-> th ) )
31	30	notbid 300	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( A \ v ) -> ( -. ph <-> -. th ) )
32	31	rspcva 3116	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ v ) e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> -. th )
33	28, 29, 32	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> -. th )
34		simplrl 775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> x e. ~P A )
35	34	elpwid 3929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> x C_ A )
36		ssel2 3395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B C_ ~P A /\ v e. B ) -> v e. ~P A )
37	36	adantlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> v e. ~P A )
38	37	elpwid 3929	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> v C_ A )
39		fin23lem11.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ A /\ v C_ A ) -> ( ch <-> th ) )
40	35, 38, 39	syl2anc 671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> ( ch <-> th ) )
41	40	notbid 300	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> ( -. ch <-> -. th ) )
42	41	3adantl3 1167	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( -. ch <-> -. th ) )
43	33, 42	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> -. ch )
44	43	ralrimiva 2790	. . . . 5 |- ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> A. v e. B -. ch )
45		fin23lem11.1	. . . . . . . 8 |- ( z = ( A \ x ) -> ( ps <-> ch ) )
46	45	notbid 300	. . . . . . 7 |- ( z = ( A \ x ) -> ( -. ps <-> -. ch ) )
47	46	ralbidv 2810	. . . . . 6 |- ( z = ( A \ x ) -> ( A. v e. B -. ps <-> A. v e. B -. ch ) )
48	47	rspcev 3118	. . . . 5 |- ( ( ( A \ x ) e. B /\ A. v e. B -. ch ) -> E. z e. B A. v e. B -. ps )
49	4, 44, 48	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> E. z e. B A. v e. B -. ps )
50	49	3exp 1209	. . 3 |- ( B C_ ~P A -> ( ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) -> ( A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) ) )
51	3, 50	syl5bi 225	. 2 |- ( B C_ ~P A -> ( x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -> ( A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) ) )
52	51	rexlimdv 2851	1 |- ( B C_ ~P A -> ( E. x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 986   = wceq 1448   e. wcel 1891   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3013   \ cdif 3369   u. cun 3370   C_ wss 3372   ~Pcpw 3919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pr 4612  ax-un 6571

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3015  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3700  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-uni 4169

This theorem is referenced by:  fin2i2  8735  isfin2-2  8736