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Theorem fin23lem11 8589
Description: Lemma for isfin2-2 8591. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem11.1  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
fin23lem11.2  |-  ( w  =  ( A  \ 
v )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fin23lem11.3  |-  ( ( x  C_  A  /\  v  C_  A )  -> 
( ch  <->  th )
)
Assertion
Ref Expression
fin23lem11  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  ( E. x  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B } A. w  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  -.  ph  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
)
Distinct variable groups:    v, c, w, x, z, A    B, c, v, w, x, z    ch, z    ph, v    ps, x    th, w
Allowed substitution hints:    ph( x, z, w, c)    ps( z, w, v, c)    ch( x, w, v, c)    th( x, z, v, c)

Proof of Theorem fin23lem11
StepHypRef Expression
1 difeq2 3568 . . . . 5  |-  ( c  =  x  ->  ( A  \  c )  =  ( A  \  x
) )
21eleq1d 2520 . . . 4  |-  ( c  =  x  ->  (
( A  \  c
)  e.  B  <->  ( A  \  x )  e.  B
) )
32elrab 3216 . . 3  |-  ( x  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  <->  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )
4 simp2r 1015 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  -> 
( A  \  x
)  e.  B )
5 difss 3583 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
\  v )  C_  A
6 ssun1 3619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( A  u.  x
)
7 undif1 3854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  x )  u.  x )  =  ( A  u.  x
)
86, 7sseqtr4i 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( ( A  \  x )  u.  x
)
9 simpl2r 1042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  x )  e.  B )
10 simpl2l 1041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  ~P A )
11 unexg 6483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  B  /\  x  e.  ~P A
)  ->  ( ( A  \  x )  u.  x )  e.  _V )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  (
( A  \  x
)  u.  x )  e.  _V )
13 ssexg 4538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  ( ( A  \  x )  u.  x )  /\  (
( A  \  x
)  u.  x )  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
148, 12, 13sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  A  e.  _V )
15 elpw2g 4555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  \  v
)  e.  ~P A  <->  ( A  \  v ) 
C_  A ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  (
( A  \  v
)  e.  ~P A  <->  ( A  \  v ) 
C_  A ) )
175, 16mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  v )  e. 
~P A )
18 simpl1 991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  B  C_ 
~P A )
19 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  B )
2018, 19sseldd 3457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  ~P A )
2120elpwid 3970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  v  C_  A )
22 dfss4 3684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  v
) )  =  v )
2321, 22sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  ( A  \ 
v ) )  =  v )
2423, 19eqeltrd 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  ( A  \ 
v ) )  e.  B )
25 difeq2 3568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( A  \ 
v )  ->  ( A  \  c )  =  ( A  \  ( A  \  v ) ) )
2625eleq1d 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( A  \ 
v )  ->  (
( A  \  c
)  e.  B  <->  ( A  \  ( A  \  v
) )  e.  B
) )
2726elrab 3216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  v )  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  <->  ( ( A  \  v )  e. 
~P A  /\  ( A  \  ( A  \ 
v ) )  e.  B ) )
2817, 24, 27sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  v )  e. 
{ c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B } )
29 simpl3 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )
30 fin23lem11.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( A  \ 
v )  ->  ( ph 
<->  th ) )
3130notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( A  \ 
v )  ->  ( -.  ph  <->  -.  th )
)
3231rspcva 3169 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  v
)  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  /\  A. w  e.  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  B }  -.  ph )  ->  -.  th )
3328, 29, 32syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  -.  th )
34 simplrl 759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  ~P A
)
3534elpwid 3970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  x  C_  A )
36 ssel2 3451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  v  e.  B
)  ->  v  e.  ~P A )
3736adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  ~P A
)
3837elpwid 3970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  v  C_  A )
39 fin23lem11.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  A  /\  v  C_  A )  -> 
( ch  <->  th )
)
4035, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  ( ch  <->  th )
)
4140notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  ( -.  ch  <->  -.  th )
)
42413adantl3 1146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( -.  ch  <->  -.  th )
)
4333, 42mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  -.  ch )
4443ralrimiva 2822 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  ->  A. v  e.  B  -.  ch )
45 fin23lem11.1 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
4645notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( -.  ps  <->  -.  ch )
)
4746ralbidv 2838 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( A. v  e.  B  -.  ps  <->  A. v  e.  B  -.  ch ) )
4847rspcev 3171 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  B  /\  A. v  e.  B  -.  ch )  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
494, 44, 48syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
50493exp 1187 . . 3  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  (
( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph 
->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps ) ) )
513, 50syl5bi 217 . 2  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  (
x  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  ->  ( A. w  e. 
{ c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
) )
5251rexlimdv 2938 1  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  ( E. x  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B } A. w  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  -.  ph  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3070    \ cdif 3425    u. cun 3426    C_ wss 3428   ~Pcpw 3960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-uni 4192
This theorem is referenced by:  fin2i2  8590  isfin2-2  8591
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