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Theorem fin23lem11 8734
Description: Lemma for isfin2-2 8736. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fin23lem11.1  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
fin23lem11.2  |-  ( w  =  ( A  \ 
v )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fin23lem11.3  |-  ( ( x  C_  A  /\  v  C_  A )  -> 
( ch  <->  th )
)
Assertion
Ref Expression
fin23lem11  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  ( E. x  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B } A. w  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  -.  ph  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
)
Distinct variable groups:    v, c, w, x, z, A    B, c, v, w, x, z    ch, z    ph, v    ps, x    th, w
Allowed substitution hints:    ph( x, z, w, c)    ps( z, w, v, c)    ch( x, w, v, c)    th( x, z, v, c)

Proof of Theorem fin23lem11
StepHypRef Expression
1 difeq2 3513 . . . . 5  |-  ( c  =  x  ->  ( A  \  c )  =  ( A  \  x
) )
21eleq1d 2514 . . . 4  |-  ( c  =  x  ->  (
( A  \  c
)  e.  B  <->  ( A  \  x )  e.  B
) )
32elrab 3164 . . 3  |-  ( x  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  <->  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )
4 simp2r 1036 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  -> 
( A  \  x
)  e.  B )
5 difss 3528 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
\  v )  C_  A
6 ssun1 3565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( A  u.  x
)
7 undif1 3810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  \  x )  u.  x )  =  ( A  u.  x
)
86, 7sseqtr4i 3433 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( ( A  \  x )  u.  x
)
9 simpl2r 1063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  x )  e.  B )
10 simpl2l 1062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  ~P A )
11 unexg 6580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  B  /\  x  e.  ~P A
)  ->  ( ( A  \  x )  u.  x )  e.  _V )
129, 10, 11syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  (
( A  \  x
)  u.  x )  e.  _V )
13 ssexg 4521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  ( ( A  \  x )  u.  x )  /\  (
( A  \  x
)  u.  x )  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
148, 12, 13sylancr 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  A  e.  _V )
15 elpw2g 4539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  \  v
)  e.  ~P A  <->  ( A  \  v ) 
C_  A ) )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  (
( A  \  v
)  e.  ~P A  <->  ( A  \  v ) 
C_  A ) )
175, 16mpbiri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  v )  e. 
~P A )
18 simpl1 1012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  B  C_ 
~P A )
19 simpr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  B )
2018, 19sseldd 3401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  ~P A )
2120elpwid 3929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  v  C_  A )
22 dfss4 3645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  v
) )  =  v )
2321, 22sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  ( A  \ 
v ) )  =  v )
2423, 19eqeltrd 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  ( A  \ 
v ) )  e.  B )
25 difeq2 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( A  \ 
v )  ->  ( A  \  c )  =  ( A  \  ( A  \  v ) ) )
2625eleq1d 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( A  \ 
v )  ->  (
( A  \  c
)  e.  B  <->  ( A  \  ( A  \  v
) )  e.  B
) )
2726elrab 3164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  v )  e.  { c  e. 
~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  <->  ( ( A  \  v )  e. 
~P A  /\  ( A  \  ( A  \ 
v ) )  e.  B ) )
2817, 24, 27sylanbrc 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( A  \  v )  e. 
{ c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B } )
29 simpl3 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )
30 fin23lem11.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( A  \ 
v )  ->  ( ph 
<->  th ) )
3130notbid 300 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( A  \ 
v )  ->  ( -.  ph  <->  -.  th )
)
3231rspcva 3116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  v
)  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  /\  A. w  e.  {
c  e.  ~P A  |  ( A  \ 
c )  e.  B }  -.  ph )  ->  -.  th )
3328, 29, 32syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  -.  th )
34 simplrl 775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  x  e.  ~P A
)
3534elpwid 3929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  x  C_  A )
36 ssel2 3395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  v  e.  B
)  ->  v  e.  ~P A )
3736adantlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  ~P A
)
3837elpwid 3929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  v  C_  A )
39 fin23lem11.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  C_  A  /\  v  C_  A )  -> 
( ch  <->  th )
)
4035, 38, 39syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  ( ch  <->  th )
)
4140notbid 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B ) )  /\  v  e.  B )  ->  ( -.  ch  <->  -.  th )
)
42413adantl3 1167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  ( -.  ch  <->  -.  th )
)
4333, 42mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e. 
~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B )  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  /\  v  e.  B )  ->  -.  ch )
4443ralrimiva 2790 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  ->  A. v  e.  B  -.  ch )
45 fin23lem11.1 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
4645notbid 300 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( -.  ps  <->  -.  ch )
)
4746ralbidv 2810 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( A  \  x )  ->  ( A. v  e.  B  -.  ps  <->  A. v  e.  B  -.  ch ) )
4847rspcev 3118 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  B  /\  A. v  e.  B  -.  ch )  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
494, 44, 48syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( B  C_  ~P A  /\  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  /\  A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph )  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
50493exp 1209 . . 3  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  (
( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  { c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph 
->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps ) ) )
513, 50syl5bi 225 . 2  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  (
x  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  ->  ( A. w  e. 
{ c  e.  ~P A  |  ( A  \  c )  e.  B }  -.  ph  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
) )
5251rexlimdv 2851 1  |-  ( B 
C_  ~P A  ->  ( E. x  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B } A. w  e.  { c  e.  ~P A  | 
( A  \  c
)  e.  B }  -.  ph  ->  E. z  e.  B  A. v  e.  B  -.  ps )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 986    = wceq 1448    e. wcel 1891   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3013    \ cdif 3369    u. cun 3370    C_ wss 3372   ~Pcpw 3919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pr 4612  ax-un 6571
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3015  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3700  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-uni 4169
This theorem is referenced by:  fin2i2  8735  isfin2-2  8736
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