Theorem fin23lem11 8589

Description: Lemma for isfin2-2 8591. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fin23lem11.1	|- ( z = ( A \ x ) -> ( ps <-> ch ) )
fin23lem11.2	|- ( w = ( A \ v ) -> ( ph <-> th ) )
fin23lem11.3	|- ( ( x C_ A /\ v C_ A ) -> ( ch <-> th ) )

Assertion

Ref	Expression
fin23lem11	|- ( B C_ ~P A -> ( E. x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) )

Distinct variable groups:   v, c, w, x, z, A   B, c, v, w, x, z   ch, z   ph, v   ps, x   th, w

Allowed substitution hints:   ph( x, z, w, c)   ps( z, w, v, c)   ch( x, w, v, c)   th( x, z, v, c)

Proof of Theorem fin23lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3568	. . . . 5 |- ( c = x -> ( A \ c ) = ( A \ x ) )
2	1	eleq1d 2520	. . . 4 |- ( c = x -> ( ( A \ c ) e. B <-> ( A \ x ) e. B ) )
3	2	elrab 3216	. . 3 |- ( x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } <-> ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) )
4		simp2r 1015	. . . . 5 |- ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> ( A \ x ) e. B )
5		difss 3583	. . . . . . . . . 10 |- ( A \ v ) C_ A
6		ssun1 3619	. . . . . . . . . . . . 13 |- A C_ ( A u. x )
7		undif1 3854	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A \ x ) u. x ) = ( A u. x )
8	6, 7	sseqtr4i 3489	. . . . . . . . . . . 12 |- A C_ ( ( A \ x ) u. x )
9		simpl2r 1042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ x ) e. B )
10		simpl2l 1041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> x e. ~P A )
11		unexg 6483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A \ x ) e. B /\ x e. ~P A ) -> ( ( A \ x ) u. x ) e. _V )
12	9, 10, 11	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( ( A \ x ) u. x ) e. _V )
13		ssexg 4538	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ ( ( A \ x ) u. x ) /\ ( ( A \ x ) u. x ) e. _V ) -> A e. _V )
14	8, 12, 13	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> A e. _V )
15		elpw2g 4555	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> ( ( A \ v ) e. ~P A <-> ( A \ v ) C_ A ) )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( ( A \ v ) e. ~P A <-> ( A \ v ) C_ A ) )
17	5, 16	mpbiri 233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ v ) e. ~P A )
18		simpl1 991	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> B C_ ~P A )
19		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> v e. B )
20	18, 19	sseldd 3457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> v e. ~P A )
21	20	elpwid 3970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> v C_ A )
22		dfss4 3684	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ A <-> ( A \ ( A \ v ) ) = v )
23	21, 22	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ ( A \ v ) ) = v )
24	23, 19	eqeltrd 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ ( A \ v ) ) e. B )
25		difeq2 3568	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( A \ v ) -> ( A \ c ) = ( A \ ( A \ v ) ) )
26	25	eleq1d 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( A \ v ) -> ( ( A \ c ) e. B <-> ( A \ ( A \ v ) ) e. B ) )
27	26	elrab 3216	. . . . . . . . 9 |- ( ( A \ v ) e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } <-> ( ( A \ v ) e. ~P A /\ ( A \ ( A \ v ) ) e. B ) )
28	17, 24, 27	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( A \ v ) e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } )
29		simpl3 993	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph )
30		fin23lem11.2	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( A \ v ) -> ( ph <-> th ) )
31	30	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( A \ v ) -> ( -. ph <-> -. th ) )
32	31	rspcva 3169	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ v ) e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> -. th )
33	28, 29, 32	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> -. th )
34		simplrl 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> x e. ~P A )
35	34	elpwid 3970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> x C_ A )
36		ssel2 3451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B C_ ~P A /\ v e. B ) -> v e. ~P A )
37	36	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> v e. ~P A )
38	37	elpwid 3970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> v C_ A )
39		fin23lem11.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ A /\ v C_ A ) -> ( ch <-> th ) )
40	35, 38, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> ( ch <-> th ) )
41	40	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) ) /\ v e. B ) -> ( -. ch <-> -. th ) )
42	41	3adantl3 1146	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> ( -. ch <-> -. th ) )
43	33, 42	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) /\ v e. B ) -> -. ch )
44	43	ralrimiva 2822	. . . . 5 |- ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> A. v e. B -. ch )
45		fin23lem11.1	. . . . . . . 8 |- ( z = ( A \ x ) -> ( ps <-> ch ) )
46	45	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( z = ( A \ x ) -> ( -. ps <-> -. ch ) )
47	46	ralbidv 2838	. . . . . 6 |- ( z = ( A \ x ) -> ( A. v e. B -. ps <-> A. v e. B -. ch ) )
48	47	rspcev 3171	. . . . 5 |- ( ( ( A \ x ) e. B /\ A. v e. B -. ch ) -> E. z e. B A. v e. B -. ps )
49	4, 44, 48	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( B C_ ~P A /\ ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) /\ A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph ) -> E. z e. B A. v e. B -. ps )
50	49	3exp 1187	. . 3 |- ( B C_ ~P A -> ( ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. B ) -> ( A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) ) )
51	3, 50	syl5bi 217	. 2 |- ( B C_ ~P A -> ( x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -> ( A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) ) )
52	51	rexlimdv 2938	1 |- ( B C_ ~P A -> ( E. x e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } A. w e. { c e. ~P A | ( A \ c ) e. B } -. ph -> E. z e. B A. v e. B -. ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3070   \ cdif 3425   u. cun 3426   C_ wss 3428   ~Pcpw 3960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pr 4631  ax-un 6474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-uni 4192

This theorem is referenced by:  fin2i2  8590  isfin2-2  8591