Theorem fin1a2s 8697

Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2s	|- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A e. FinII )

Distinct variable groups:   x, A   x, V

Proof of Theorem fin1a2s

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3980	. . . 4 |- ( c e. ~P ~P A -> c C_ ~P A )
2		fin12 8696	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin -> x e. FinII )
3		fin23 8672	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. FinII -> x e. FinIII )
4	2, 3	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Fin -> x e. FinIII )
5		fin23 8672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ x ) e. FinII -> ( A \ x ) e. FinIII )
6	4, 5	orim12i 516	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> ( x e. FinIII \/ ( A \ x ) e. FinIII ) )
7	6	ralimi 2819	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. ~P A ( x e. FinIII \/ ( A \ x ) e. FinIII ) )
8		fin1a2lem8 8690	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. FinIII \/ ( A \ x ) e. FinIII ) ) -> A e. FinIII )
9	7, 8	sylan2 474	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A e. FinIII )
10	9	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> A e. FinIII )
11		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> c C_ ~P A )
12		simprrr 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> [ C.] Or c )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> [ C.] Or c )
14		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> -. U. c e. c )
15		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> c C_ ~P A )
16		ssralv 3527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c C_ ~P A -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) )
18		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( x e. Fin -> x e. Fin ) )
19		fin1a2lem13 8695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c /\ -. U. c e. c ) /\ ( -. x e. Fin /\ x e. c ) ) -> -. ( A \ x ) e. FinII )
20	19	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
21	20	3expa 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c ) /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
22	21	adantlrl 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
23	22	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
24	23	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ ( -. x e. Fin /\ x e. c ) ) -> -. ( A \ x ) e. FinII )
25	24	ancom2s 800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ ( x e. c /\ -. x e. Fin ) ) -> -. ( A \ x ) e. FinII )
26	25	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( -. x e. Fin -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
27	26	con4d 105	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( ( A \ x ) e. FinII -> x e. Fin ) )
28	18, 27	jaod 380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> x e. Fin ) )
29	28	ralimdva 2832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. c ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c x e. Fin ) )
30	17, 29	syld 44	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c x e. Fin ) )
31	30	impr 619	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> A. x e. c x e. Fin )
32		dfss3 3457	. . . . . . . . . . 11 |- ( c C_ Fin <-> A. x e. c x e. Fin )
33	31, 32	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> c C_ Fin )
34		simprrl 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> c =/= (/) )
35	34	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> c =/= (/) )
36		fin1a2lem12 8694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c /\ -. U. c e. c ) /\ ( c C_ Fin /\ c =/= (/) ) ) -> -. A e. FinIII )
37	11, 13, 14, 33, 35, 36	syl32anc 1227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> -. A e. FinIII )
38	37	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> -. A e. FinIII ) )
39	38	impancom 440	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( -. U. c e. c -> -. A e. FinIII ) )
40	39	an32s 802	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> ( -. U. c e. c -> -. A e. FinIII ) )
41	10, 40	mt4d 138	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> U. c e. c )
42	41	exp32 605	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( c C_ ~P A -> ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
43	1, 42	syl5 32	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( c e. ~P ~P A -> ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
44	43	ralrimiv 2828	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A. c e. ~P ~P A ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) )
45		isfin2 8577	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. FinII <-> A. c e. ~P ~P A ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
46	45	adantr 465	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( A e. FinII <-> A. c e. ~P ~P A ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
47	44, 46	mpbird 232	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A e. FinII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   \ cdif 3436   C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   U.cuni 4202   Or wor 4751   [ C.] crpss 6472   Fincfn 7423  Fin^IIcfin2 8562  Fin^IIIcfin3 8564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-rpss 6473  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-seqom 7016  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-wdom 7888  df-card 8223  df-fin2 8569  df-fin4 8570  df-fin3 8571

This theorem is referenced by:  fin1a2  8698