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Theorem fin1a2s 8806
Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2s  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinII )
Distinct variable groups:    x, A    x, V

Proof of Theorem fin1a2s
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4025 . . . 4  |-  ( c  e.  ~P ~P A  ->  c  C_  ~P A
)
2 fin12 8805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Fin  ->  x  e. FinII
)
3 fin23 8781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e. FinII  ->  x  e. FinIII )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Fin  ->  x  e. FinIII )
5 fin23 8781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  x )  e. FinII  ->  ( A  \  x )  e. FinIII )
64, 5orim12i 516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  (
x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )
76ralimi 2860 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  ~P  A ( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )
8 fin1a2lem8 8799 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e. FinIII  \/  ( A  \  x )  e. FinIII ) )  ->  A  e. FinIII )
97, 8sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinIII )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  ->  A  e. FinIII )
11 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  C_ 
~P A )
12 simprrr 764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  -> [ C.] 
Or  c )
1312adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  -> [ C.]  Or  c
)
14 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  -.  U. c  e.  c )
15 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  c  C_  ~P A )
16 ssralv 3569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  ~P A  ->  ( A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII )  ->  A. x  e.  c 
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  ( x  e.  Fin  \/  ( A 
\  x )  e. FinII ) ) )
18 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
x  e.  Fin  ->  x  e.  Fin ) )
19 fin1a2lem13 8804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c ) )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII )
2019ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
21203expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c
)  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  (
( -.  x  e. 
Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x
)  e. FinII ) )
2221adantlrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2322adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  ( -.  x  e.  Fin  /\  x  e.  c )
)  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII )
2524ancom2s 800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  ( x  e.  c  /\  -.  x  e.  Fin )
)  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII )
2625expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  ( -.  x  e.  Fin  ->  -.  ( A  \  x )  e. FinII ) )
2726con4d 105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
( A  \  x
)  e. FinII  ->  x  e.  Fin ) )
2818, 27jaod 380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  ( c 
C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  x  e.  c )  ->  (
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  x  e.  Fin ) )
2928ralimdva 2875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  c  (
x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin ) )
3017, 29syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin ) )
3130impr 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  A. x  e.  c  x  e.  Fin )
32 dfss3 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
C_  Fin  <->  A. x  e.  c  x  e.  Fin )
3331, 32sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  C_ 
Fin )
34 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  -> 
c  =/=  (/) )
3534adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  c  =/=  (/) )
36 fin1a2lem12 8803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  C_  ~P A  /\ [ C.]  Or  c  /\  -.  U. c  e.  c )  /\  (
c  C_  Fin  /\  c  =/=  (/) ) )  ->  -.  A  e. FinIII )
3711, 13, 14, 33, 35, 36syl32anc 1236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  ( -.  U. c  e.  c  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) ) )  ->  -.  A  e. FinIII )
3837expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  -.  U. c  e.  c )  ->  ( A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII )  ->  -.  A  e. FinIII ) )
3938impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  ( c  C_  ~P A  /\  ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( -.  U. c  e.  c  ->  -.  A  e. FinIII ) )
4039an32s 802 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  -> 
( -.  U. c  e.  c  ->  -.  A  e. FinIII ) )
4110, 40mt4d 138 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e. FinII ) )  /\  ( c  C_  ~P A  /\  (
c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
) ) )  ->  U. c  e.  c
)
4241exp32 605 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( c  C_  ~P A  ->  ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) ) )
431, 42syl5 32 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( c  e.  ~P ~P A  ->  ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) ) )
4443ralrimiv 2879 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) )
45 isfin2 8686 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  e. FinII 
<-> 
A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) ) )
4645adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  -> 
( A  e. FinII  <->  A. c  e.  ~P  ~P A ( ( c  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  c
)  ->  U. c  e.  c ) ) )
4744, 46mpbird 232 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  ~P  A
( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x
)  e. FinII ) )  ->  A  e. FinII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817    \ cdif 3478    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251    Or wor 4805   [ C.] crpss 6574   Fincfn 7528  FinIIcfin2 8671  FinIIIcfin3 8673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-rpss 6575  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-seqom 7125  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-wdom 7997  df-card 8332  df-fin2 8678  df-fin4 8679  df-fin3 8680
This theorem is referenced by:  fin1a2  8807
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