Theorem fin1a2s 8844

Description: An II-infinite set can have an I-infinite part broken off and remain II-infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2s	|- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A e. FinII )

Distinct variable groups:   x, A   x, V

Proof of Theorem fin1a2s

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 3960	. . . 4 |- ( c e. ~P ~P A -> c C_ ~P A )
2		fin12 8843	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin -> x e. FinII )
3		fin23 8819	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. FinII -> x e. FinIII )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Fin -> x e. FinIII )
5		fin23 8819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A \ x ) e. FinII -> ( A \ x ) e. FinIII )
6	4, 5	orim12i 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> ( x e. FinIII \/ ( A \ x ) e. FinIII ) )
7	6	ralimi 2781	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. ~P A ( x e. FinIII \/ ( A \ x ) e. FinIII ) )
8		fin1a2lem8 8837	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. FinIII \/ ( A \ x ) e. FinIII ) ) -> A e. FinIII )
9	7, 8	sylan2 477	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A e. FinIII )
10	9	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> A e. FinIII )
11		simplrl 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> c C_ ~P A )
12		simprrr 775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> [ C.] Or c )
13	12	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> [ C.] Or c )
14		simprl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> -. U. c e. c )
15		simplrl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> c C_ ~P A )
16		ssralv 3493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c C_ ~P A -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) )
18		idd 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( x e. Fin -> x e. Fin ) )
19		fin1a2lem13 8842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c /\ -. U. c e. c ) /\ ( -. x e. Fin /\ x e. c ) ) -> -. ( A \ x ) e. FinII )
20	19	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
21	20	3expa 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c ) /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
22	21	adantlrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
23	22	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( ( -. x e. Fin /\ x e. c ) -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
24	23	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ ( -. x e. Fin /\ x e. c ) ) -> -. ( A \ x ) e. FinII )
25	24	ancom2s 811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ ( x e. c /\ -. x e. Fin ) ) -> -. ( A \ x ) e. FinII )
26	25	expr 620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( -. x e. Fin -> -. ( A \ x ) e. FinII ) )
27	26	con4d 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( ( A \ x ) e. FinII -> x e. Fin ) )
28	18, 27	jaod 382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) /\ x e. c ) -> ( ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> x e. Fin ) )
29	28	ralimdva 2796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. c ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c x e. Fin ) )
30	17, 29	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> A. x e. c x e. Fin ) )
31	30	impr 625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> A. x e. c x e. Fin )
32		dfss3 3422	. . . . . . . . . . 11 |- ( c C_ Fin <-> A. x e. c x e. Fin )
33	31, 32	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> c C_ Fin )
34		simprrl 774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> c =/= (/) )
35	34	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> c =/= (/) )
36		fin1a2lem12 8841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c C_ ~P A /\ [ C.] Or c /\ -. U. c e. c ) /\ ( c C_ Fin /\ c =/= (/) ) ) -> -. A e. FinIII )
37	11, 13, 14, 33, 35, 36	syl32anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ ( -. U. c e. c /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) ) -> -. A e. FinIII )
38	37	expr 620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ -. U. c e. c ) -> ( A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) -> -. A e. FinIII ) )
39	38	impancom 442	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( -. U. c e. c -> -. A e. FinIII ) )
40	39	an32s 813	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> ( -. U. c e. c -> -. A e. FinIII ) )
41	10, 40	mt4d 144	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) /\ ( c C_ ~P A /\ ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) ) ) -> U. c e. c )
42	41	exp32 610	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( c C_ ~P A -> ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
43	1, 42	syl5 33	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( c e. ~P ~P A -> ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
44	43	ralrimiv 2800	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A. c e. ~P ~P A ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) )
45		isfin2 8724	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. FinII <-> A. c e. ~P ~P A ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
46	45	adantr 467	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> ( A e. FinII <-> A. c e. ~P ~P A ( ( c =/= (/) /\ [ C.] Or c ) -> U. c e. c ) ) )
47	44, 46	mpbird 236	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. ~P A ( x e. Fin \/ ( A \ x ) e. FinII ) ) -> A e. FinII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   \ cdif 3401   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   Or wor 4754   [ C.] crpss 6570   Fincfn 7569  Fin^IIcfin2 8709  Fin^IIIcfin3 8711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-rpss 6571  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-seqom 7165  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-wdom 8074  df-card 8373  df-fin2 8716  df-fin4 8717  df-fin3 8718

This theorem is referenced by:  fin1a2  8845