MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem5 Structured version   Unicode version

Theorem fin1a2lem5 8801
Description: Lemma for fin1a2 8812. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1a2lem.b  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem5  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  ran  E  <->  -.  suc  A  e.  ran  E ) )

Proof of Theorem fin1a2lem5
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nneob 7319 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. a  e.  om  A  =  ( 2o  .o  a )  <->  -.  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
2 fin1a2lem.b . . . . . 6  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
32fin1a2lem4 8800 . . . . 5  |-  E : om
-1-1-> om
4 f1fn 5788 . . . . 5  |-  ( E : om -1-1-> om  ->  E  Fn  om )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  E  Fn  om
6 fvelrnb 5920 . . . 4  |-  ( E  Fn  om  ->  ( A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  A ) )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  A )
8 eqcom 2466 . . . . 5  |-  ( ( E `  a )  =  A  <->  A  =  ( E `  a ) )
92fin1a2lem3 8799 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( E `  a )  =  ( 2o  .o  a ) )
109eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( a  e.  om  ->  ( A  =  ( E `  a )  <->  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
118, 10syl5bb 257 . . . 4  |-  ( a  e.  om  ->  (
( E `  a
)  =  A  <->  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
1211rexbiia 2958 . . 3  |-  ( E. a  e.  om  ( E `  a )  =  A  <->  E. a  e.  om  A  =  ( 2o  .o  a ) )
137, 12bitri 249 . 2  |-  ( A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  A  =  ( 2o  .o  a ) )
14 fvelrnb 5920 . . . . 5  |-  ( E  Fn  om  ->  ( suc  A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  suc  A ) )
155, 14ax-mp 5 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  suc  A )
16 eqcom 2466 . . . . . 6  |-  ( ( E `  a )  =  suc  A  <->  suc  A  =  ( E `  a
) )
179eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( suc  A  =  ( E `
 a )  <->  suc  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
1816, 17syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( a  e.  om  ->  (
( E `  a
)  =  suc  A  <->  suc 
A  =  ( 2o 
.o  a ) ) )
1918rexbiia 2958 . . . 4  |-  ( E. a  e.  om  ( E `  a )  =  suc  A  <->  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  a
) )
2015, 19bitri 249 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  a ) )
2120notbii 296 . 2  |-  ( -. 
suc  A  e.  ran  E  <->  -.  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o 
.o  a ) )
221, 13, 213bitr4g 288 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  ran  E  <->  -.  suc  A  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808    |-> cmpt 4515   suc csuc 4889   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   omcom 6699   2oc2o 7142    .o comu 7146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153
This theorem is referenced by:  fin1a2lem6  8802
  Copyright terms: Public domain W3C validator