MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem5 Structured version   Unicode version

Theorem fin1a2lem5 8578
Description: Lemma for fin1a2 8589. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1a2lem.b  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem5  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  ran  E  <->  -.  suc  A  e.  ran  E ) )

Proof of Theorem fin1a2lem5
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nneob 7096 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. a  e.  om  A  =  ( 2o  .o  a )  <->  -.  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
2 fin1a2lem.b . . . . . 6  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
32fin1a2lem4 8577 . . . . 5  |-  E : om
-1-1-> om
4 f1fn 5612 . . . . 5  |-  ( E : om -1-1-> om  ->  E  Fn  om )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  E  Fn  om
6 fvelrnb 5744 . . . 4  |-  ( E  Fn  om  ->  ( A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  A ) )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  A )
8 eqcom 2445 . . . . 5  |-  ( ( E `  a )  =  A  <->  A  =  ( E `  a ) )
92fin1a2lem3 8576 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( E `  a )  =  ( 2o  .o  a ) )
109eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( a  e.  om  ->  ( A  =  ( E `  a )  <->  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
118, 10syl5bb 257 . . . 4  |-  ( a  e.  om  ->  (
( E `  a
)  =  A  <->  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
1211rexbiia 2753 . . 3  |-  ( E. a  e.  om  ( E `  a )  =  A  <->  E. a  e.  om  A  =  ( 2o  .o  a ) )
137, 12bitri 249 . 2  |-  ( A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  A  =  ( 2o  .o  a ) )
14 fvelrnb 5744 . . . . 5  |-  ( E  Fn  om  ->  ( suc  A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  suc  A ) )
155, 14ax-mp 5 . . . 4  |-  ( suc 
A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  ( E `  a )  =  suc  A )
16 eqcom 2445 . . . . . 6  |-  ( ( E `  a )  =  suc  A  <->  suc  A  =  ( E `  a
) )
179eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( suc  A  =  ( E `
 a )  <->  suc  A  =  ( 2o  .o  a
) ) )
1816, 17syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( a  e.  om  ->  (
( E `  a
)  =  suc  A  <->  suc 
A  =  ( 2o 
.o  a ) ) )
1918rexbiia 2753 . . . 4  |-  ( E. a  e.  om  ( E `  a )  =  suc  A  <->  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  a
) )
2015, 19bitri 249 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  ran  E  <->  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  a ) )
2120notbii 296 . 2  |-  ( -. 
suc  A  e.  ran  E  <->  -.  E. a  e.  om  suc  A  =  ( 2o 
.o  a ) )
221, 13, 213bitr4g 288 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  ran  E  <->  -.  suc  A  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721    e. cmpt 4355   suc csuc 4726   ran crn 4846    Fn wfn 5418   -1-1->wf1 5420   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   omcom 6481   2oc2o 6919    .o comu 6923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930
This theorem is referenced by:  fin1a2lem6  8579
  Copyright terms: Public domain W3C validator