Theorem fin1a2lem4 8584

Description: Lemma for fin1a2 8596. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin1a2lem.b	|- E = ( x e. om |-> ( 2o .o x ) )

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem4	|- E : om -1-1-> om

Proof of Theorem fin1a2lem4

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin1a2lem.b	. . 3 |- E = ( x e. om |-> ( 2o .o x ) )
2		2onn 7091	. . . 4 |- 2o e. om
3		nnmcl 7063	. . . 4 |- ( ( 2o e. om /\ x e. om ) -> ( 2o .o x ) e. om )
4	2, 3	mpan 670	. . 3 |- ( x e. om -> ( 2o .o x ) e. om )
5	1, 4	fmpti 5878	. 2 |- E : om --> om
6	1	fin1a2lem3 8583	. . . . . 6 |- ( a e. om -> ( E ` a ) = ( 2o .o a ) )
7	1	fin1a2lem3 8583	. . . . . 6 |- ( b e. om -> ( E ` b ) = ( 2o .o b ) )
8	6, 7	eqeqan12d 2458	. . . . 5 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) <-> ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) ) )
9		2on 6940	. . . . . . 7 |- 2o e. On
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> 2o e. On )
11		nnon 6494	. . . . . . 7 |- ( a e. om -> a e. On )
12	11	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> a e. On )
13		nnon 6494	. . . . . . 7 |- ( b e. om -> b e. On )
14	13	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> b e. On )
15		0lt1o 6956	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 1o
16		elelsuc 4803	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. 1o -> (/) e. suc 1o )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (/) e. suc 1o
18		df-2o 6933	. . . . . . . 8 |- 2o = suc 1o
19	17, 18	eleqtrri 2516	. . . . . . 7 |- (/) e. 2o
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> (/) e. 2o )
21		omcan 7020	. . . . . 6 |- ( ( ( 2o e. On /\ a e. On /\ b e. On ) /\ (/) e. 2o ) -> ( ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) <-> a = b ) )
22	10, 12, 14, 20, 21	syl31anc 1221	. . . . 5 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) <-> a = b ) )
23	8, 22	bitrd 253	. . . 4 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) <-> a = b ) )
24	23	biimpd 207	. . 3 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b ) )
25	24	rgen2a 2794	. 2 |- A. a e. om A. b e. om ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b )
26		dff13 5983	. 2 |- ( E : om -1-1-> om <-> ( E : om --> om /\ A. a e. om A. b e. om ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b ) ) )
27	5, 25, 26	mpbir2an 911	1 |- E : om -1-1-> om

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2727   (/)c0 3649   e. cmpt 4362   Oncon0 4731   suc csuc 4733   -->wf 5426   -1-1->wf1 5427   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   omcom 6488   1oc1o 6925   2oc2o 6926   .o comu 6930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-omul 6937

This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8585  fin1a2lem6  8586  fin1a2lem7  8587