Theorem fin1a2lem4 8800

Description: Lemma for fin1a2 8812. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin1a2lem.b	|- E = ( x e. om |-> ( 2o .o x ) )

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem4	|- E : om -1-1-> om

Proof of Theorem fin1a2lem4

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin1a2lem.b	. . 3 |- E = ( x e. om |-> ( 2o .o x ) )
2		2onn 7307	. . . 4 |- 2o e. om
3		nnmcl 7279	. . . 4 |- ( ( 2o e. om /\ x e. om ) -> ( 2o .o x ) e. om )
4	2, 3	mpan 670	. . 3 |- ( x e. om -> ( 2o .o x ) e. om )
5	1, 4	fmpti 6055	. 2 |- E : om --> om
6	1	fin1a2lem3 8799	. . . . . 6 |- ( a e. om -> ( E ` a ) = ( 2o .o a ) )
7	1	fin1a2lem3 8799	. . . . . 6 |- ( b e. om -> ( E ` b ) = ( 2o .o b ) )
8	6, 7	eqeqan12d 2480	. . . . 5 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) <-> ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) ) )
9		2on 7156	. . . . . . 7 |- 2o e. On
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> 2o e. On )
11		nnon 6705	. . . . . . 7 |- ( a e. om -> a e. On )
12	11	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> a e. On )
13		nnon 6705	. . . . . . 7 |- ( b e. om -> b e. On )
14	13	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> b e. On )
15		0lt1o 7172	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 1o
16		elelsuc 4959	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. 1o -> (/) e. suc 1o )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (/) e. suc 1o
18		df-2o 7149	. . . . . . . 8 |- 2o = suc 1o
19	17, 18	eleqtrri 2544	. . . . . . 7 |- (/) e. 2o
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> (/) e. 2o )
21		omcan 7236	. . . . . 6 |- ( ( ( 2o e. On /\ a e. On /\ b e. On ) /\ (/) e. 2o ) -> ( ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) <-> a = b ) )
22	10, 12, 14, 20, 21	syl31anc 1231	. . . . 5 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) <-> a = b ) )
23	8, 22	bitrd 253	. . . 4 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) <-> a = b ) )
24	23	biimpd 207	. . 3 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b ) )
25	24	rgen2a 2884	. 2 |- A. a e. om A. b e. om ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b )
26		dff13 6167	. 2 |- ( E : om -1-1-> om <-> ( E : om --> om /\ A. a e. om A. b e. om ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b ) ) )
27	5, 25, 26	mpbir2an 920	1 |- E : om -1-1-> om

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   (/)c0 3793   |-> cmpt 4515   Oncon0 4887   suc csuc 4889   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   omcom 6699   1oc1o 7141   2oc2o 7142   .o comu 7146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153

This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8801  fin1a2lem6  8802  fin1a2lem7  8803