MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fin1a2lem4 8838
Description: Lemma for fin1a2 8850. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1a2lem.b  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem4  |-  E : om
-1-1-> om

Proof of Theorem fin1a2lem4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1a2lem.b . . 3  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
2 2onn 7346 . . . 4  |-  2o  e.  om
3 nnmcl 7318 . . . 4  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( 2o  .o  x
)  e.  om )
42, 3mpan 677 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( 2o  .o  x )  e. 
om )
51, 4fmpti 6050 . 2  |-  E : om
--> om
61fin1a2lem3 8837 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( E `  a )  =  ( 2o  .o  a ) )
71fin1a2lem3 8837 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  ( E `  b )  =  ( 2o  .o  b ) )
86, 7eqeqan12d 2469 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  <-> 
( 2o  .o  a
)  =  ( 2o 
.o  b ) ) )
9 2on 7195 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  2o  e.  On )
11 nnon 6703 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  a  e.  On )
1211adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  a  e.  On )
13 nnon 6703 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
1413adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  b  e.  On )
15 0lt1o 7211 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  1o
16 elelsuc 5498 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (/)  e.  suc  1o )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  suc  1o
18 df-2o 7188 . . . . . . . 8  |-  2o  =  suc  1o
1917, 18eleqtrri 2530 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  2o
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  -> 
(/)  e.  2o )
21 omcan 7275 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2o  e.  On  /\  a  e.  On  /\  b  e.  On )  /\  (/)  e.  2o )  ->  ( ( 2o 
.o  a )  =  ( 2o  .o  b
)  <->  a  =  b ) )
2210, 12, 14, 20, 21syl31anc 1272 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( 2o  .o  a )  =  ( 2o  .o  b )  <-> 
a  =  b ) )
238, 22bitrd 257 . . . 4  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  <-> 
a  =  b ) )
2423biimpd 211 . . 3  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  ->  a  =  b ) )
2524rgen2a 2817 . 2  |-  A. a  e.  om  A. b  e. 
om  ( ( E `
 a )  =  ( E `  b
)  ->  a  =  b )
26 dff13 6164 . 2  |-  ( E : om -1-1-> om  <->  ( E : om --> om  /\  A. a  e.  om  A. b  e. 
om  ( ( E `
 a )  =  ( E `  b
)  ->  a  =  b ) ) )
275, 25, 26mpbir2an 932 1  |-  E : om
-1-1-> om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   (/)c0 3733    |-> cmpt 4464   Oncon0 5426   suc csuc 5428   -->wf 5581   -1-1->wf1 5582   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   omcom 6697   1oc1o 7180   2oc2o 7181    .o comu 7185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192
This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8839  fin1a2lem6  8840  fin1a2lem7  8841
  Copyright terms: Public domain W3C validator