MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem4 Structured version   Unicode version

Theorem fin1a2lem4 8800
Description: Lemma for fin1a2 8812. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fin1a2lem.b  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem4  |-  E : om
-1-1-> om

Proof of Theorem fin1a2lem4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin1a2lem.b . . 3  |-  E  =  ( x  e.  om  |->  ( 2o  .o  x
) )
2 2onn 7307 . . . 4  |-  2o  e.  om
3 nnmcl 7279 . . . 4  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( 2o  .o  x
)  e.  om )
42, 3mpan 670 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( 2o  .o  x )  e. 
om )
51, 4fmpti 6055 . 2  |-  E : om
--> om
61fin1a2lem3 8799 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( E `  a )  =  ( 2o  .o  a ) )
71fin1a2lem3 8799 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  ( E `  b )  =  ( 2o  .o  b ) )
86, 7eqeqan12d 2480 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  <-> 
( 2o  .o  a
)  =  ( 2o 
.o  b ) ) )
9 2on 7156 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  2o  e.  On )
11 nnon 6705 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  a  e.  On )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  a  e.  On )
13 nnon 6705 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  b  e.  On )
15 0lt1o 7172 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  1o
16 elelsuc 4959 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (/)  e.  suc  1o )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  suc  1o
18 df-2o 7149 . . . . . . . 8  |-  2o  =  suc  1o
1917, 18eleqtrri 2544 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  2o
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  -> 
(/)  e.  2o )
21 omcan 7236 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2o  e.  On  /\  a  e.  On  /\  b  e.  On )  /\  (/)  e.  2o )  ->  ( ( 2o 
.o  a )  =  ( 2o  .o  b
)  <->  a  =  b ) )
2210, 12, 14, 20, 21syl31anc 1231 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( 2o  .o  a )  =  ( 2o  .o  b )  <-> 
a  =  b ) )
238, 22bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  <-> 
a  =  b ) )
2423biimpd 207 . . 3  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( E `  a )  =  ( E `  b )  ->  a  =  b ) )
2524rgen2a 2884 . 2  |-  A. a  e.  om  A. b  e. 
om  ( ( E `
 a )  =  ( E `  b
)  ->  a  =  b )
26 dff13 6167 . 2  |-  ( E : om -1-1-> om  <->  ( E : om --> om  /\  A. a  e.  om  A. b  e. 
om  ( ( E `
 a )  =  ( E `  b
)  ->  a  =  b ) ) )
275, 25, 26mpbir2an 920 1  |-  E : om
-1-1-> om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   (/)c0 3793    |-> cmpt 4515   Oncon0 4887   suc csuc 4889   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   omcom 6699   1oc1o 7141   2oc2o 7142    .o comu 7146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153
This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8801  fin1a2lem6  8802  fin1a2lem7  8803
  Copyright terms: Public domain W3C validator