Theorem fin1a2lem4 8838

Description: Lemma for fin1a2 8850. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin1a2lem.b	|- E = ( x e. om |-> ( 2o .o x ) )

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem4	|- E : om -1-1-> om

Proof of Theorem fin1a2lem4

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin1a2lem.b	. . 3 |- E = ( x e. om |-> ( 2o .o x ) )
2		2onn 7346	. . . 4 |- 2o e. om
3		nnmcl 7318	. . . 4 |- ( ( 2o e. om /\ x e. om ) -> ( 2o .o x ) e. om )
4	2, 3	mpan 677	. . 3 |- ( x e. om -> ( 2o .o x ) e. om )
5	1, 4	fmpti 6050	. 2 |- E : om --> om
6	1	fin1a2lem3 8837	. . . . . 6 |- ( a e. om -> ( E ` a ) = ( 2o .o a ) )
7	1	fin1a2lem3 8837	. . . . . 6 |- ( b e. om -> ( E ` b ) = ( 2o .o b ) )
8	6, 7	eqeqan12d 2469	. . . . 5 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) <-> ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) ) )
9		2on 7195	. . . . . . 7 |- 2o e. On
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> 2o e. On )
11		nnon 6703	. . . . . . 7 |- ( a e. om -> a e. On )
12	11	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> a e. On )
13		nnon 6703	. . . . . . 7 |- ( b e. om -> b e. On )
14	13	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> b e. On )
15		0lt1o 7211	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 1o
16		elelsuc 5498	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. 1o -> (/) e. suc 1o )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (/) e. suc 1o
18		df-2o 7188	. . . . . . . 8 |- 2o = suc 1o
19	17, 18	eleqtrri 2530	. . . . . . 7 |- (/) e. 2o
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> (/) e. 2o )
21		omcan 7275	. . . . . 6 |- ( ( ( 2o e. On /\ a e. On /\ b e. On ) /\ (/) e. 2o ) -> ( ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) <-> a = b ) )
22	10, 12, 14, 20, 21	syl31anc 1272	. . . . 5 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) <-> a = b ) )
23	8, 22	bitrd 257	. . . 4 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) <-> a = b ) )
24	23	biimpd 211	. . 3 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b ) )
25	24	rgen2a 2817	. 2 |- A. a e. om A. b e. om ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b )
26		dff13 6164	. 2 |- ( E : om -1-1-> om <-> ( E : om --> om /\ A. a e. om A. b e. om ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b ) ) )
27	5, 25, 26	mpbir2an 932	1 |- E : om -1-1-> om

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   (/)c0 3733   |-> cmpt 4464   Oncon0 5426   suc csuc 5428   -->wf 5581   -1-1->wf1 5582   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   omcom 6697   1oc1o 7180   2oc2o 7181   .o comu 7185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192

This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8839  fin1a2lem6  8840  fin1a2lem7  8841