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Theorem fin1a2lem13 8248
Description: Lemma for fin1a2 8251. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem13  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  ->  -.  ( B  \  C )  e. FinII )

Proof of Theorem fin1a2lem13
Dummy variables  e 
f  g  h  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  ( B  \  C )  e. FinII )
2 simpll1 996 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  A  C_  ~P B )
3 ssel2 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ~P B  /\  g  e.  A
)  ->  g  e.  ~P B )
43elpwid 3768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ~P B  /\  g  e.  A
)  ->  g  C_  B )
54ssdifd 3443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ~P B  /\  g  e.  A
)  ->  ( g  \  C )  C_  ( B  \  C ) )
6 sseq1 3329 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g  \  C )  ->  (
f  C_  ( B  \  C )  <->  ( g  \  C )  C_  ( B  \  C ) ) )
75, 6syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ~P B  /\  g  e.  A
)  ->  ( f  =  ( g  \  C )  ->  f  C_  ( B  \  C
) ) )
87rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  ( E. g  e.  A  f  =  ( g  \  C )  ->  f  C_  ( B  \  C
) ) )
9 vex 2919 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
10 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )
1110elrnmpt 5076 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. g  e.  A  f  =  ( g  \  C ) ) )
129, 11ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  <->  E. g  e.  A  f  =  ( g  \  C ) )
139elpw 3765 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ~P ( B 
\  C )  <->  f  C_  ( B  \  C ) )
148, 12, 133imtr4g 262 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  (
f  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  ->  f  e.  ~P ( B  \  C
) ) )
1514ssrdv 3314 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  C_  ~P ( B  \  C ) )
162, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) ) 
C_  ~P ( B  \  C ) )
17 simplrr 738 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  C  e.  A
)
18 difid 3656 . . . . . . 7  |-  ( C 
\  C )  =  (/)
1918eqcomi 2408 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( C  \  C )
20 difeq1 3418 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  C  ->  (
g  \  C )  =  ( C  \  C ) )
2120eqeq2d 2415 . . . . . . 7  |-  ( g  =  C  ->  ( (/)  =  ( g  \  C )  <->  (/)  =  ( C  \  C ) ) )
2221rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  (/)  =  ( C  \  C ) )  ->  E. g  e.  A  (/)  =  ( g  \  C ) )
2319, 22mpan2 653 . . . . 5  |-  ( C  e.  A  ->  E. g  e.  A  (/)  =  ( g  \  C ) )
24 0ex 4299 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
2510elrnmpt 5076 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  <->  E. g  e.  A  (/)  =  ( g  \  C ) ) )
2624, 25ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. g  e.  A  (/)  =  ( g  \  C ) )
2723, 26sylibr 204 . . . 4  |-  ( C  e.  A  ->  (/)  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) )
28 ne0i 3594 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  ->  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =/=  (/) )
2917, 27, 283syl 19 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =/=  (/) )
30 simpll2 997 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  -> [ C.]  Or  A
)
31 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3210elrnmpt 5076 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. g  e.  A  x  =  ( g  \  C ) ) )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  <->  E. g  e.  A  x  =  ( g  \  C ) )
34 difeq1 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  e  ->  (
g  \  C )  =  ( e  \  C ) )
3534eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  e  ->  (
x  =  ( g 
\  C )  <->  x  =  ( e  \  C
) ) )
3635cbvrexv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( E. g  e.  A  x  =  ( g  \  C )  <->  E. e  e.  A  x  =  ( e  \  C
) )
37 sorpssi 6487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( e  e.  A  /\  g  e.  A
) )  ->  (
e  C_  g  \/  g  C_  e ) )
38 ssdif 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e 
C_  g  ->  (
e  \  C )  C_  ( g  \  C
) )
39 ssdif 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g 
C_  e  ->  (
g  \  C )  C_  ( e  \  C
) )
4038, 39orim12i 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( e  C_  g  \/  g  C_  e )  -> 
( ( e  \  C )  C_  (
g  \  C )  \/  ( g  \  C
)  C_  ( e  \  C ) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( e  e.  A  /\  g  e.  A
) )  ->  (
( e  \  C
)  C_  ( g  \  C )  \/  (
g  \  C )  C_  ( e  \  C
) ) )
42 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( g  \  C )  ->  (
( e  \  C
)  C_  f  <->  ( e  \  C )  C_  (
g  \  C )
) )
43 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( g  \  C )  ->  (
f  C_  ( e  \  C )  <->  ( g  \  C )  C_  (
e  \  C )
) )
4442, 43orbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( g  \  C )  ->  (
( ( e  \  C )  C_  f  \/  f  C_  ( e 
\  C ) )  <-> 
( ( e  \  C )  C_  (
g  \  C )  \/  ( g  \  C
)  C_  ( e  \  C ) ) ) )
4541, 44syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( e  e.  A  /\  g  e.  A
) )  ->  (
f  =  ( g 
\  C )  -> 
( ( e  \  C )  C_  f  \/  f  C_  ( e 
\  C ) ) ) )
4645expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  e  e.  A )  ->  ( g  e.  A  ->  ( f  =  ( g  \  C )  ->  ( ( e 
\  C )  C_  f  \/  f  C_  ( e  \  C
) ) ) ) )
4746rexlimdv 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  e  e.  A )  ->  ( E. g  e.  A  f  =  ( g  \  C )  ->  ( ( e 
\  C )  C_  f  \/  f  C_  ( e  \  C
) ) ) )
4812, 47syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  e  e.  A )  ->  ( f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  ->  (
( e  \  C
)  C_  f  \/  f  C_  ( e  \  C ) ) ) )
4948ralrimiv 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  e  e.  A )  ->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) ( ( e  \  C ) 
C_  f  \/  f  C_  ( e  \  C
) ) )
50 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( e  \  C )  ->  (
x  C_  f  <->  ( e  \  C )  C_  f
) )
51 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( e  \  C )  ->  (
f  C_  x  <->  f  C_  ( e  \  C
) ) )
5250, 51orbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( e  \  C )  ->  (
( x  C_  f  \/  f  C_  x )  <-> 
( ( e  \  C )  C_  f  \/  f  C_  ( e 
\  C ) ) ) )
5352ralbidv 2686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( e  \  C )  ->  ( A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) ( x 
C_  f  \/  f  C_  x )  <->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) ( ( e  \  C
)  C_  f  \/  f  C_  ( e  \  C ) ) ) )
5449, 53syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  e  e.  A )  ->  ( x  =  ( e  \  C )  ->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) ( x 
C_  f  \/  f  C_  x ) ) )
5554rexlimdva 2790 . . . . . . . 8  |-  ( [ C.]  Or  A  ->  ( E. e  e.  A  x  =  ( e  \  C )  ->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) ( x  C_  f  \/  f  C_  x ) ) )
5636, 55syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( [ C.]  Or  A  ->  ( E. g  e.  A  x  =  ( g  \  C )  ->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) ( x  C_  f  \/  f  C_  x ) ) )
5733, 56syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( [ C.]  Or  A  ->  ( x  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  ->  A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) ( x 
C_  f  \/  f  C_  x ) ) )
5857ralrimiv 2748 . . . . 5  |-  ( [ C.]  Or  A  ->  A. x  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) ) ( x  C_  f  \/  f  C_  x ) )
59 sorpss 6486 . . . . 5  |-  ( [ C.]  Or  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  A. x  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) A. f  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) ) ( x  C_  f  \/  f  C_  x ) )
6058, 59sylibr 204 . . . 4  |-  ( [ C.]  Or  A  -> [ C.]  Or  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) )
6130, 60syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  -> [ C.]  Or  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) )
62 fin2i 8131 . . 3  |-  ( ( ( ( B  \  C )  e. FinII  /\  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  C_  ~P ( B  \  C ) )  /\  ( ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) ) )  ->  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
631, 16, 29, 61, 62syl22anc 1185 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) ) )
64 simpll3 998 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  -.  U. A  e.  A )
65 difeq1 3418 . . . . . . 7  |-  ( g  =  f  ->  (
g  \  C )  =  ( f  \  C ) )
6665cbvmptv 4260 . . . . . 6  |-  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  e.  A  |->  ( f  \  C ) )
6766elrnmpt 5076 . . . . 5  |-  ( U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  ->  ( U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  e. 
ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. f  e.  A  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  =  ( f 
\  C ) ) )
6867ibi 233 . . . 4  |-  ( U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  ->  E. f  e.  A  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  =  ( f 
\  C ) )
69 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h 
\  C )  =  ( h  \  C
)
70 difeq1 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  h  ->  (
g  \  C )  =  ( h  \  C ) )
7170eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (
( h  \  C
)  =  ( g 
\  C )  <->  ( h  \  C )  =  ( h  \  C ) ) )
7271rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( h  e.  A  /\  ( h  \  C )  =  ( h  \  C ) )  ->  E. g  e.  A  ( h  \  C )  =  ( g  \  C ) )
7369, 72mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  A  ->  E. g  e.  A  ( h  \  C )  =  ( g  \  C ) )
7473adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  h  e.  A )  ->  E. g  e.  A  ( h  \  C )  =  ( g  \  C ) )
75 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  h  e. 
_V
76 difexg 4311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  _V  ->  (
h  \  C )  e.  _V )
7710elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h  \  C )  e.  _V  ->  (
( h  \  C
)  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. g  e.  A  ( h  \  C )  =  ( g  \  C ) ) )
7875, 76, 77mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( h  \  C )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  <->  E. g  e.  A  ( h  \  C )  =  ( g  \  C ) )
7974, 78sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  h  e.  A )  ->  ( h  \  C
)  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
80 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( h  \  C )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  ->  ( h  \  C )  C_  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  h  e.  A )  ->  ( h  \  C
)  C_  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
82 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  h  e.  A )  ->  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )
8381, 82sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  h  e.  A )  ->  ( h  \  C
)  C_  ( f  \  C ) )
8483adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
h  \  C )  C_  ( f  \  C
) )
85 unss2 3478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h  \  C ) 
C_  ( f  \  C )  ->  ( C  u.  ( h  \  C ) )  C_  ( C  u.  (
f  \  C )
) )
86 uncom 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  u.  ( h  \  C ) )  =  ( ( h  \  C )  u.  C
)
87 undif1 3663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h  \  C )  u.  C )  =  ( h  u.  C
)
8886, 87eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  u.  ( h  \  C ) )  =  ( h  u.  C
)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  ( C  u.  ( h  \  C ) )  =  ( h  u.  C
) )
9064ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  -.  U. A  e.  A )
9117ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  C  e.  A )
92 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )
93 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x 
\  C )  =  ( x  \  C
)
94 difeq1 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( g  =  x  ->  (
g  \  C )  =  ( x  \  C ) )
9594eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( g  =  x  ->  (
( x  \  C
)  =  ( g 
\  C )  <->  ( x  \  C )  =  ( x  \  C ) ) )
9695rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( x  \  C )  =  ( x  \  C ) )  ->  E. g  e.  A  ( x  \  C )  =  ( g  \  C ) )
9793, 96mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  A  ->  E. g  e.  A  ( x  \  C )  =  ( g  \  C ) )
98 difexg 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  C )  e.  _V )
9910elrnmpt 5076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  \  C )  e.  _V  ->  (
( x  \  C
)  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  <->  E. g  e.  A  ( x  \  C )  =  ( g  \  C ) ) )
10031, 98, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  \  C )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  <->  E. g  e.  A  ( x  \  C )  =  ( g  \  C ) )
10197, 100sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  \  C )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  \  C )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
103 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )
104 ssdif0 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f 
C_  C  <->  ( f  \  C )  =  (/) )
105104biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f 
C_  C  ->  (
f  \  C )  =  (/) )
106105ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  (
f  \  C )  =  (/) )
107103, 106eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  (/) )
108 uni0c 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  (/)  <->  A. e  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) ) e  =  (/) )
109107, 108sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  A. e  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) e  =  (/) )
110 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( e  =  ( x  \  C )  ->  (
e  =  (/)  <->  ( x  \  C )  =  (/) ) )
111110rspcva 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  \  C
)  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  /\  A. e  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) e  =  (/) )  ->  (
x  \  C )  =  (/) )
112102, 109, 111syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  \  C )  =  (/) )
113 ssdif0 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x 
C_  C  <->  ( x  \  C )  =  (/) )
114112, 113sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  C )
115114ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  A. x  e.  A  x  C_  C )
116 unissb 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U. A  C_  C  <->  A. x  e.  A  x  C_  C
)
117115, 116sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  U. A  C_  C )
118 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( C  e.  A  ->  C  C_ 
U. A )
119118ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  C  C_  U. A )
120117, 119eqssd 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  U. A  =  C
)
121 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  C  e.  A )
122120, 121eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g 
\  C ) )  =  ( f  \  C ) )  /\  f  C_  C )  ->  U. A  e.  A
)
123122ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  A  /\  U.
ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  =  ( f  \  C
) )  ->  (
f  C_  C  ->  U. A  e.  A ) )
12491, 92, 123syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
f  C_  C  ->  U. A  e.  A ) )
12590, 124mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  -.  f  C_  C )
12630ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  -> [ C.]  Or  A )
127 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  f  e.  A )
128 sorpssi 6487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( f  e.  A  /\  C  e.  A
) )  ->  (
f  C_  C  \/  C  C_  f ) )
129126, 127, 91, 128syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
f  C_  C  \/  C  C_  f ) )
130 orel1 372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  f  C_  C  ->  ( ( f  C_  C  \/  C  C_  f )  ->  C  C_  f
) )
131125, 129, 130sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  C  C_  f )
132 undif 3668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C 
C_  f  <->  ( C  u.  ( f  \  C
) )  =  f )
133131, 132sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  ( C  u.  ( f  \  C ) )  =  f )
13489, 133sseq12d 3337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
( C  u.  (
h  \  C )
)  C_  ( C  u.  ( f  \  C
) )  <->  ( h  u.  C )  C_  f
) )
135 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  h  C_  ( h  u.  C
)
136 sstr 3316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( h  C_  ( h  u.  C )  /\  (
h  u.  C ) 
C_  f )  ->  h  C_  f )
137135, 136mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( h  u.  C ) 
C_  f  ->  h  C_  f )
138134, 137syl6bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
( C  u.  (
h  \  C )
)  C_  ( C  u.  ( f  \  C
) )  ->  h  C_  f ) )
13985, 138syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  (
( h  \  C
)  C_  ( f  \  C )  ->  h  C_  f ) )
14084, 139mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A
)  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  /\  h  e.  A )  ->  h  C_  f )
141140ralrimiva 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  A. h  e.  A  h  C_  f
)
142 unissb 4005 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  f  <->  A. h  e.  A  h  C_  f
)
143141, 142sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  U. A  C_  f )
144 elssuni 4003 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  A  ->  f  C_ 
U. A )
145144ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  f  C_ 
U. A )
146143, 145eqssd 3325 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  U. A  =  f )
147 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  f  e.  A )
148146, 147eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e. 
Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B  \  C )  e. FinII )  /\  ( f  e.  A  /\  U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  =  ( f  \  C ) ) )  ->  U. A  e.  A )
149148rexlimdvaa 2791 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  ( E. f  e.  A  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  =  ( f 
\  C )  ->  U. A  e.  A
) )
15068, 149syl5 30 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  ( U. ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  e.  ran  ( g  e.  A  |->  ( g  \  C
) )  ->  U. A  e.  A ) )
15164, 150mtod 170 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  /\  ( B 
\  C )  e. FinII )  ->  -.  U. ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) )  e.  ran  (
g  e.  A  |->  ( g  \  C ) ) )
15263, 151pm2.65da 560 1  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( -.  C  e.  Fin  /\  C  e.  A ) )  ->  -.  ( B  \  C )  e. FinII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975    e. cmpt 4226    Or wor 4462   ran crn 4838   [ C.] crpss 6480   Fincfn 7068  FinIIcfin2 8115
This theorem is referenced by:  fin1a2s  8250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-rpss 6481  df-fin2 8122
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