Theorem fin1a2lem12 8792

Description: Lemma for fin1a2 8796. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem12	|- ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) -> -. B e. FinIII )

Proof of Theorem fin1a2lem12

Dummy variables d e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 462	. . 3 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> B e. FinIII )
2		simpll1 1044	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> A C_ ~P B )
3	2	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ e e. om ) -> A C_ ~P B )
4		ssrab2 3489	. . . . . . . 8 |- { f e. A | f ~<_ e } C_ A
5	4	unissi 4185	. . . . . . 7 |- U. { f e. A | f ~<_ e } C_ U. A
6		sspwuni 4331	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ~P B <-> U. A C_ B )
7	6	biimpi 197	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~P B -> U. A C_ B )
8	5, 7	syl5ss 3418	. . . . . 6 |- ( A C_ ~P B -> U. { f e. A | f ~<_ e } C_ B )
9	3, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ e e. om ) -> U. { f e. A | f ~<_ e } C_ B )
10		elpw2g 4530	. . . . . 6 |- ( B e. FinIII -> ( U. { f e. A | f ~<_ e } e. ~P B <-> U. { f e. A | f ~<_ e } C_ B ) )
11	10	ad2antlr 731	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ e e. om ) -> ( U. { f e. A | f ~<_ e } e. ~P B <-> U. { f e. A | f ~<_ e } C_ B ) )
12	9, 11	mpbird 235	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ e e. om ) -> U. { f e. A | f ~<_ e } e. ~P B )
13		eqid 2428	. . . 4 |- ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } )
14	12, 13	fmptd 6005	. . 3 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) : om --> ~P B )
15		vex 3025	. . . . . . . . . . 11 |- d e. _V
16	15	sucex 6596	. . . . . . . . . 10 |- suc d e. _V
17		sssucid 5462	. . . . . . . . . 10 |- d C_ suc d
18		ssdomg 7569	. . . . . . . . . 10 |- ( suc d e. _V -> ( d C_ suc d -> d ~<_ suc d ) )
19	16, 17, 18	mp2 9	. . . . . . . . 9 |- d ~<_ suc d
20		domtr 7576	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ~<_ d /\ d ~<_ suc d ) -> f ~<_ suc d )
21	19, 20	mpan2 675	. . . . . . . 8 |- ( f ~<_ d -> f ~<_ suc d )
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( f e. A -> ( f ~<_ d -> f ~<_ suc d ) )
23	22	ss2rabi 3486	. . . . . 6 |- { f e. A | f ~<_ d } C_ { f e. A | f ~<_ suc d }
24		uniss 4183	. . . . . 6 |- ( { f e. A | f ~<_ d } C_ { f e. A | f ~<_ suc d } -> U. { f e. A | f ~<_ d } C_ U. { f e. A | f ~<_ suc d } )
25	23, 24	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ d e. om ) -> U. { f e. A | f ~<_ d } C_ U. { f e. A | f ~<_ suc d } )
26		id 22	. . . . . 6 |- ( d e. om -> d e. om )
27		pwexg 4551	. . . . . . . . 9 |- ( B e. FinIII -> ~P B e. _V )
28	27	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> ~P B e. _V )
29	28, 2	ssexd 4514	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> A e. _V )
30		rabexg 4517	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> { f e. A | f ~<_ d } e. _V )
31		uniexg 6546	. . . . . . 7 |- ( { f e. A | f ~<_ d } e. _V -> U. { f e. A | f ~<_ d } e. _V )
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> U. { f e. A | f ~<_ d } e. _V )
33		breq2 4370	. . . . . . . . 9 |- ( e = d -> ( f ~<_ e <-> f ~<_ d ) )
34	33	rabbidv 3013	. . . . . . . 8 |- ( e = d -> { f e. A | f ~<_ e } = { f e. A | f ~<_ d } )
35	34	unieqd 4172	. . . . . . 7 |- ( e = d -> U. { f e. A | f ~<_ e } = U. { f e. A | f ~<_ d } )
36	35, 13	fvmptg 5906	. . . . . 6 |- ( ( d e. om /\ U. { f e. A | f ~<_ d } e. _V ) -> ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` d ) = U. { f e. A | f ~<_ d } )
37	26, 32, 36	syl2anr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ d e. om ) -> ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` d ) = U. { f e. A | f ~<_ d } )
38		peano2 6671	. . . . . 6 |- ( d e. om -> suc d e. om )
39		rabexg 4517	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> { f e. A | f ~<_ suc d } e. _V )
40		uniexg 6546	. . . . . . 7 |- ( { f e. A | f ~<_ suc d } e. _V -> U. { f e. A | f ~<_ suc d } e. _V )
41	29, 39, 40	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> U. { f e. A | f ~<_ suc d } e. _V )
42		breq2 4370	. . . . . . . . 9 |- ( e = suc d -> ( f ~<_ e <-> f ~<_ suc d ) )
43	42	rabbidv 3013	. . . . . . . 8 |- ( e = suc d -> { f e. A | f ~<_ e } = { f e. A | f ~<_ suc d } )
44	43	unieqd 4172	. . . . . . 7 |- ( e = suc d -> U. { f e. A | f ~<_ e } = U. { f e. A | f ~<_ suc d } )
45	44, 13	fvmptg 5906	. . . . . 6 |- ( ( suc d e. om /\ U. { f e. A | f ~<_ suc d } e. _V ) -> ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` suc d ) = U. { f e. A | f ~<_ suc d } )
46	38, 41, 45	syl2anr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ d e. om ) -> ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` suc d ) = U. { f e. A | f ~<_ suc d } )
47	25, 37, 46	3sstr4d 3450	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ d e. om ) -> ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` d ) C_ ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` suc d ) )
48	47	ralrimiva 2779	. . 3 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> A. d e. om ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` d ) C_ ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` suc d ) )
49		fin34i 8762	. . 3 |- ( ( B e. FinIII /\ ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) : om --> ~P B /\ A. d e. om ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` d ) C_ ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` suc d ) ) -> U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) )
50	1, 14, 48, 49	syl3anc 1264	. 2 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) )
51		fin1a2lem11 8791	. . . . . 6 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) )
52	51	adantrr 721	. . . . 5 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) -> ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) )
53	52	3ad2antl2 1168	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) -> ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) )
54	53	adantr 466	. . 3 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) )
55		simpll3 1046	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> -. U. A e. A )
56		simplrr 769	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> A =/= (/) )
57		sspwuni 4331	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ ~P (/) <-> U. A C_ (/) )
58		ss0b 3737	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. A C_ (/) <-> U. A = (/) )
59	57, 58	bitri 252	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ ~P (/) <-> U. A = (/) )
60		pw0 4090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P (/) = { (/) }
61	60	sseq2i 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ ~P (/) <-> A C_ { (/) } )
62		sssn 4101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ { (/) } <-> ( A = (/) \/ A = { (/) } ) )
63	61, 62	bitri 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ ~P (/) <-> ( A = (/) \/ A = { (/) } ) )
64		df-ne 2601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= (/) <-> -. A = (/) )
65		0ex 4499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (/) e. _V
66	65	unisn 4177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. { (/) } = (/)
67	65	snid 3969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. { (/) }
68	66, 67	eqeltri 2502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. { (/) } e. { (/) }
69		unieq 4170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A = { (/) } -> U. A = U. { (/) } )
70		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A = { (/) } -> A = { (/) } )
71	69, 70	eleq12d 2500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = { (/) } -> ( U. A e. A <-> U. { (/) } e. { (/) } ) )
72	68, 71	mpbiri 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = { (/) } -> U. A e. A )
73	72	orim2i 520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = (/) \/ A = { (/) } ) -> ( A = (/) \/ U. A e. A ) )
74	73	ord 378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A = (/) \/ A = { (/) } ) -> ( -. A = (/) -> U. A e. A ) )
75	64, 74	syl5bi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A = (/) \/ A = { (/) } ) -> ( A =/= (/) -> U. A e. A ) )
76	63, 75	sylbi 198	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ ~P (/) -> ( A =/= (/) -> U. A e. A ) )
77	59, 76	sylbir 216	. . . . . . . . 9 |- ( U. A = (/) -> ( A =/= (/) -> U. A e. A ) )
78	77	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( A =/= (/) -> ( U. A = (/) -> U. A e. A ) )
79	78	con3d 138	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( -. U. A e. A -> -. U. A = (/) ) )
80	56, 55, 79	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> -. U. A = (/) )
81		ioran 492	. . . . . 6 |- ( -. ( U. A e. A \/ U. A = (/) ) <-> ( -. U. A e. A /\ -. U. A = (/) ) )
82	55, 80, 81	sylanbrc 668	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> -. ( U. A e. A \/ U. A = (/) ) )
83		uniun 4181	. . . . . . . 8 |- U. ( A u. { (/) } ) = ( U. A u. U. { (/) } )
84	66	uneq2i 3560	. . . . . . . 8 |- ( U. A u. U. { (/) } ) = ( U. A u. (/) )
85		un0 3732	. . . . . . . 8 |- ( U. A u. (/) ) = U. A
86	83, 84, 85	3eqtri 2454	. . . . . . 7 |- U. ( A u. { (/) } ) = U. A
87	86	eleq1i 2497	. . . . . 6 |- ( U. ( A u. { (/) } ) e. ( A u. { (/) } ) <-> U. A e. ( A u. { (/) } ) )
88		elun 3549	. . . . . 6 |- ( U. A e. ( A u. { (/) } ) <-> ( U. A e. A \/ U. A e. { (/) } ) )
89	65	elsnc2 3972	. . . . . . 7 |- ( U. A e. { (/) } <-> U. A = (/) )
90	89	orbi2i 521	. . . . . 6 |- ( ( U. A e. A \/ U. A e. { (/) } ) <-> ( U. A e. A \/ U. A = (/) ) )
91	87, 88, 90	3bitri 274	. . . . 5 |- ( U. ( A u. { (/) } ) e. ( A u. { (/) } ) <-> ( U. A e. A \/ U. A = (/) ) )
92	82, 91	sylnibr 306	. . . 4 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> -. U. ( A u. { (/) } ) e. ( A u. { (/) } ) )
93		unieq 4170	. . . . . 6 |- ( ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) -> U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = U. ( A u. { (/) } ) )
94		id 22	. . . . . 6 |- ( ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) -> ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) )
95	93, 94	eleq12d 2500	. . . . 5 |- ( ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) -> ( U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) <-> U. ( A u. { (/) } ) e. ( A u. { (/) } ) ) )
96	95	notbid 295	. . . 4 |- ( ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) -> ( -. U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) <-> -. U. ( A u. { (/) } ) e. ( A u. { (/) } ) ) )
97	92, 96	syl5ibrcom 225	. . 3 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> ( ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) -> -. U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ) )
98	54, 97	mpd 15	. 2 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> -. U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) )
99	50, 98	pm2.65da 578	1 |- ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) -> -. B e. FinIII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2599   A.wral 2714   {crab 2718   _Vcvv 3022   u. cun 3377   C_ wss 3379   (/)c0 3704   ~Pcpw 3924   {csn 3941   U.cuni 4162   class class class wbr 4366   |-> cmpt 4425   Or wor 4716   ran crn 4797   suc csuc 5387   -->wf 5540   ` cfv 5544   [ C.] crpss 6528   omcom 6650   ~<_ cdom 7522   Fincfn 7524  Fin^IIIcfin3 8662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-rpss 6529  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-wdom 8027  df-card 8325  df-fin4 8668  df-fin3 8669

This theorem is referenced by:  fin1a2s  8795