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Theorem fin1a2lem12 8791
Description: Lemma for fin1a2 8795. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem12  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -.  B  e. FinIII )

Proof of Theorem fin1a2lem12
Dummy variables  d 
e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  B  e. FinIII )
2 simpll1 1034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  C_ 
~P B )
32adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  A  C_ 
~P B )
4 ssrab2 3568 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  A
54unissi 4254 . . . . . . 7  |-  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  U. A
6 sspwuni 4398 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ~P B  <->  U. A  C_  B )
76biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  U. A  C_  B )
85, 7syl5ss 3498 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  B )
93, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  B )
10 elpw2g 4597 . . . . . 6  |-  ( B  e. FinIII  ->  ( U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  e.  ~P B  <->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  B )
)
1110ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  ( U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  e.  ~P B  <->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  B
) )
129, 11mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  e.  ~P B )
13 eqid 2441 . . . 4  |-  ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } )  =  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )
1412, 13fmptd 6037 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) : om --> ~P B
)
15 vex 3096 . . . . . . . . . . 11  |-  d  e. 
_V
1615sucex 6628 . . . . . . . . . 10  |-  suc  d  e.  _V
17 sssucid 4942 . . . . . . . . . 10  |-  d  C_  suc  d
18 ssdomg 7560 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  d  e.  _V  ->  ( d  C_  suc  d  -> 
d  ~<_  suc  d )
)
1916, 17, 18mp2 9 . . . . . . . . 9  |-  d  ~<_  suc  d
20 domtr 7567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  ~<_  d  /\  d  ~<_  suc  d )  ->  f  ~<_  suc  d )
2119, 20mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( f  ~<_  d  ->  f  ~<_  suc  d
)
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  A  ->  (
f  ~<_  d  ->  f  ~<_  suc  d ) )
2322ss2rabi 3565 . . . . . 6  |-  { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  C_  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }
24 uniss 4252 . . . . . 6  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  C_  { f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  C_  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
2523, 24mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  C_  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
26 id 22 . . . . . 6  |-  ( d  e.  om  ->  d  e.  om )
27 pwexg 4618 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. FinIII  ->  ~P B  e. 
_V )
2827adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ~P B  e.  _V )
2928, 2ssexd 4581 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  e.  _V )
30 rabexg 4584 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )
31 uniexg 6579 . . . . . . 7  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  e.  _V  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )
3229, 30, 313syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  e.  _V )
33 breq2 4438 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  d  ->  (
f  ~<_  e  <->  f  ~<_  d ) )
3433rabbidv 3085 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  d  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d } )
3534unieqd 4241 . . . . . . 7  |-  ( e  =  d  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }
)
3635, 13fvmptg 5936 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  om  /\  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )  ->  (
( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d } )
3726, 32, 36syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  (
( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d } )
38 peano2 6702 . . . . . 6  |-  ( d  e.  om  ->  suc  d  e.  om )
39 rabexg 4584 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
40 uniexg 6579 . . . . . . 7  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  e.  _V  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
4129, 39, 403syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
42 breq2 4438 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  suc  d  -> 
( f  ~<_  e  <->  f  ~<_  suc  d
) )
4342rabbidv 3085 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  suc  d  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4443unieqd 4241 . . . . . . 7  |-  ( e  =  suc  d  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4544, 13fvmptg 5936 . . . . . 6  |-  ( ( suc  d  e.  om  /\ 
U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )  ->  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 suc  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4638, 41, 45syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  (
( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  suc  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4725, 37, 463sstr4d 3530 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  (
( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  d )  C_  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d ) )
4847ralrimiva 2855 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A. d  e.  om  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 d )  C_  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d ) )
49 fin34i 8761 . . 3  |-  ( ( B  e. FinIII  /\  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) : om --> ~P B  /\  A. d  e.  om  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 d )  C_  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d ) )  ->  U. ran  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  e.  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
501, 14, 48, 49syl3anc 1227 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
51 fin1a2lem11 8790 . . . . . 6  |-  ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_ 
Fin )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
5251adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( [ C.]  Or  A  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
53523ad2antl2 1158 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
5453adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
55 simpll3 1036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. A  e.  A )
56 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  =/=  (/) )
57 sspwuni 4398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  U. A  C_  (/) )
58 ss0b 3798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. A  C_  (/)  <->  U. A  =  (/) )
5957, 58bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  U. A  =  (/) )
60 pw0 4159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
6160sseq2i 3512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  A  C_  { (/) } )
62 sssn 4170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } ) )
6361, 62bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/)
} ) )
64 df-ne 2638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
65 0ex 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  _V
6665unisn 4246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. { (/)
}  =  (/)
6765snid 4039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  { (/)
}
6866, 67eqeltri 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. { (/)
}  e.  { (/) }
69 unieq 4239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  { (/) }  ->  U. A  =  U. { (/)
} )
70 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  { (/) } )
7169, 70eleq12d 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  { (/) }  ->  ( U. A  e.  A  <->  U. { (/) }  e.  { (/)
} ) )
7268, 71mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  { (/) }  ->  U. A  e.  A )
7372orim2i 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  =  (/)  \/ 
U. A  e.  A
) )
7473ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( -.  A  =  (/)  ->  U. A  e.  A
) )
7564, 74syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7663, 75sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~P (/)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7759, 76sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  =  (/)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7877com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( U. A  =  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7978con3d 133 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( -.  U. A  e.  A  ->  -.  U. A  =  (/) ) )
8056, 55, 79sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. A  =  (/) )
81 ioran 490 . . . . . 6  |-  ( -.  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) )  <->  ( -.  U. A  e.  A  /\  -.  U. A  =  (/) ) )
8255, 80, 81sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
83 uniun 4250 . . . . . . . 8  |-  U. ( A  u.  { (/) } )  =  ( U. A  u.  U. { (/) } )
8466uneq2i 3638 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  u.  U. { (/) } )  =  ( U. A  u.  (/) )
85 un0 3793 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  u.  (/) )  = 
U. A
8683, 84, 853eqtri 2474 . . . . . . 7  |-  U. ( A  u.  { (/) } )  =  U. A
8786eleq1i 2518 . . . . . 6  |-  ( U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  U. A  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
88 elun 3628 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  ( U. A  e.  A  \/  U. A  e.  { (/) } ) )
8965elsnc2 4042 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  { (/) }  <->  U. A  =  (/) )
9089orbi2i 519 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  e.  A  \/  U. A  e.  { (/)
} )  <->  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
9187, 88, 903bitri 271 . . . . 5  |-  ( U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } )  <-> 
( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
9282, 91sylnibr 305 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. ( A  u.  { (/)
} )  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
93 unieq 4239 . . . . . 6  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } )  =  U. ( A  u.  { (/) } ) )
94 id 22 . . . . . 6  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  =  ( A  u.  { (/) } ) )
9593, 94eleq12d 2523 . . . . 5  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ( U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  <->  U. ( A  u.  {
(/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
9695notbid 294 . . . 4  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ( -.  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  <->  -.  U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  {
(/) } ) ) )
9792, 96syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  -.  U. ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) ) )
9854, 97mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U.
ran  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  e.  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
9950, 98pm2.65da 576 1  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -.  B  e. FinIII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   {crab 2795   _Vcvv 3093    u. cun 3457    C_ wss 3459   (/)c0 3768   ~Pcpw 3994   {csn 4011   U.cuni 4231   class class class wbr 4434    |-> cmpt 4492    Or wor 4786   suc csuc 4867   ran crn 4987   -->wf 5571   ` cfv 5575   [ C.] crpss 6561   omcom 6682    ~<_ cdom 7513   Fincfn 7515  FinIIIcfin3 8661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-se 4826  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-isom 5584  df-riota 6239  df-rpss 6562  df-om 6683  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-wdom 7985  df-card 8320  df-fin4 8667  df-fin3 8668
This theorem is referenced by:  fin1a2s  8794
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