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Theorem fin1a2lem12 8792
Description: Lemma for fin1a2 8796. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem12  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -.  B  e. FinIII )

Proof of Theorem fin1a2lem12
Dummy variables  d 
e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  B  e. FinIII )
2 simpll1 1044 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  C_ 
~P B )
32adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  A  C_ 
~P B )
4 ssrab2 3489 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  A
54unissi 4185 . . . . . . 7  |-  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  U. A
6 sspwuni 4331 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ~P B  <->  U. A  C_  B )
76biimpi 197 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  U. A  C_  B )
85, 7syl5ss 3418 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  B )
93, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  B )
10 elpw2g 4530 . . . . . 6  |-  ( B  e. FinIII  ->  ( U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  e.  ~P B  <->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  B )
)
1110ad2antlr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  ( U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  e.  ~P B  <->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  B
) )
129, 11mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  e.  ~P B )
13 eqid 2428 . . . 4  |-  ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } )  =  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )
1412, 13fmptd 6005 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) : om --> ~P B
)
15 vex 3025 . . . . . . . . . . 11  |-  d  e. 
_V
1615sucex 6596 . . . . . . . . . 10  |-  suc  d  e.  _V
17 sssucid 5462 . . . . . . . . . 10  |-  d  C_  suc  d
18 ssdomg 7569 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  d  e.  _V  ->  ( d  C_  suc  d  -> 
d  ~<_  suc  d )
)
1916, 17, 18mp2 9 . . . . . . . . 9  |-  d  ~<_  suc  d
20 domtr 7576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  ~<_  d  /\  d  ~<_  suc  d )  ->  f  ~<_  suc  d )
2119, 20mpan2 675 . . . . . . . 8  |-  ( f  ~<_  d  ->  f  ~<_  suc  d
)
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  A  ->  (
f  ~<_  d  ->  f  ~<_  suc  d ) )
2322ss2rabi 3486 . . . . . 6  |-  { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  C_  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }
24 uniss 4183 . . . . . 6  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  C_  { f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  C_  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
2523, 24mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  C_  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
26 id 22 . . . . . 6  |-  ( d  e.  om  ->  d  e.  om )
27 pwexg 4551 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. FinIII  ->  ~P B  e. 
_V )
2827adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ~P B  e.  _V )
2928, 2ssexd 4514 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  e.  _V )
30 rabexg 4517 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )
31 uniexg 6546 . . . . . . 7  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  e.  _V  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )
3229, 30, 313syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  e.  _V )
33 breq2 4370 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  d  ->  (
f  ~<_  e  <->  f  ~<_  d ) )
3433rabbidv 3013 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  d  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d } )
3534unieqd 4172 . . . . . . 7  |-  ( e  =  d  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }
)
3635, 13fvmptg 5906 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  om  /\  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )  ->  (
( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d } )
3726, 32, 36syl2anr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  (
( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d } )
38 peano2 6671 . . . . . 6  |-  ( d  e.  om  ->  suc  d  e.  om )
39 rabexg 4517 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
40 uniexg 6546 . . . . . . 7  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  e.  _V  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
4129, 39, 403syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
42 breq2 4370 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  suc  d  -> 
( f  ~<_  e  <->  f  ~<_  suc  d
) )
4342rabbidv 3013 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  suc  d  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4443unieqd 4172 . . . . . . 7  |-  ( e  =  suc  d  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4544, 13fvmptg 5906 . . . . . 6  |-  ( ( suc  d  e.  om  /\ 
U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )  ->  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 suc  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4638, 41, 45syl2anr 480 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  (
( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  suc  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4725, 37, 463sstr4d 3450 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  (
( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  d )  C_  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d ) )
4847ralrimiva 2779 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A. d  e.  om  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 d )  C_  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d ) )
49 fin34i 8762 . . 3  |-  ( ( B  e. FinIII  /\  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) : om --> ~P B  /\  A. d  e.  om  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 d )  C_  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d ) )  ->  U. ran  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  e.  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
501, 14, 48, 49syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
51 fin1a2lem11 8791 . . . . . 6  |-  ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_ 
Fin )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
5251adantrr 721 . . . . 5  |-  ( ( [ C.]  Or  A  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
53523ad2antl2 1168 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
5453adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
55 simpll3 1046 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. A  e.  A )
56 simplrr 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  =/=  (/) )
57 sspwuni 4331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  U. A  C_  (/) )
58 ss0b 3737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. A  C_  (/)  <->  U. A  =  (/) )
5957, 58bitri 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  U. A  =  (/) )
60 pw0 4090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
6160sseq2i 3432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  A  C_  { (/) } )
62 sssn 4101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } ) )
6361, 62bitri 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/)
} ) )
64 df-ne 2601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
65 0ex 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  _V
6665unisn 4177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. { (/)
}  =  (/)
6765snid 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  { (/)
}
6866, 67eqeltri 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. { (/)
}  e.  { (/) }
69 unieq 4170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  { (/) }  ->  U. A  =  U. { (/)
} )
70 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  { (/) } )
7169, 70eleq12d 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  { (/) }  ->  ( U. A  e.  A  <->  U. { (/) }  e.  { (/)
} ) )
7268, 71mpbiri 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  { (/) }  ->  U. A  e.  A )
7372orim2i 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  =  (/)  \/ 
U. A  e.  A
) )
7473ord 378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( -.  A  =  (/)  ->  U. A  e.  A
) )
7564, 74syl5bi 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7663, 75sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~P (/)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7759, 76sylbir 216 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  =  (/)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7877com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( U. A  =  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7978con3d 138 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( -.  U. A  e.  A  ->  -.  U. A  =  (/) ) )
8056, 55, 79sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. A  =  (/) )
81 ioran 492 . . . . . 6  |-  ( -.  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) )  <->  ( -.  U. A  e.  A  /\  -.  U. A  =  (/) ) )
8255, 80, 81sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
83 uniun 4181 . . . . . . . 8  |-  U. ( A  u.  { (/) } )  =  ( U. A  u.  U. { (/) } )
8466uneq2i 3560 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  u.  U. { (/) } )  =  ( U. A  u.  (/) )
85 un0 3732 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  u.  (/) )  = 
U. A
8683, 84, 853eqtri 2454 . . . . . . 7  |-  U. ( A  u.  { (/) } )  =  U. A
8786eleq1i 2497 . . . . . 6  |-  ( U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  U. A  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
88 elun 3549 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  ( U. A  e.  A  \/  U. A  e.  { (/) } ) )
8965elsnc2 3972 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  { (/) }  <->  U. A  =  (/) )
9089orbi2i 521 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  e.  A  \/  U. A  e.  { (/)
} )  <->  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
9187, 88, 903bitri 274 . . . . 5  |-  ( U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } )  <-> 
( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
9282, 91sylnibr 306 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. ( A  u.  { (/)
} )  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
93 unieq 4170 . . . . . 6  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } )  =  U. ( A  u.  { (/) } ) )
94 id 22 . . . . . 6  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  =  ( A  u.  { (/) } ) )
9593, 94eleq12d 2500 . . . . 5  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ( U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  <->  U. ( A  u.  {
(/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
9695notbid 295 . . . 4  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ( -.  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  <->  -.  U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  {
(/) } ) ) )
9792, 96syl5ibrcom 225 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  -.  U. ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) ) )
9854, 97mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U.
ran  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  e.  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
9950, 98pm2.65da 578 1  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -.  B  e. FinIII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   {crab 2718   _Vcvv 3022    u. cun 3377    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ~Pcpw 3924   {csn 3941   U.cuni 4162   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425    Or wor 4716   ran crn 4797   suc csuc 5387   -->wf 5540   ` cfv 5544   [ C.] crpss 6528   omcom 6650    ~<_ cdom 7522   Fincfn 7524  FinIIIcfin3 8662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-rpss 6529  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-wdom 8027  df-card 8325  df-fin4 8668  df-fin3 8669
This theorem is referenced by:  fin1a2s  8795
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