Theorem fin1a2lem12 8583

Description: Lemma for fin1a2 8587. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem12	|- ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) -> -. B e. FinIII )

Proof of Theorem fin1a2lem12

Dummy variables d e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . 3 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> B e. FinIII )
2		simpll1 1027	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> A C_ ~P B )
3	2	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ e e. om ) -> A C_ ~P B )
4		ssrab2 3440	. . . . . . . 8 |- { f e. A | f ~<_ e } C_ A
5	4	unissi 4117	. . . . . . 7 |- U. { f e. A | f ~<_ e } C_ U. A
6		sspwuni 4259	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ~P B <-> U. A C_ B )
7	6	biimpi 194	. . . . . . 7 |- ( A C_ ~P B -> U. A C_ B )
8	5, 7	syl5ss 3370	. . . . . 6 |- ( A C_ ~P B -> U. { f e. A | f ~<_ e } C_ B )
9	3, 8	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ e e. om ) -> U. { f e. A | f ~<_ e } C_ B )
10		elpw2g 4458	. . . . . 6 |- ( B e. FinIII -> ( U. { f e. A | f ~<_ e } e. ~P B <-> U. { f e. A | f ~<_ e } C_ B ) )
11	10	ad2antlr 726	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ e e. om ) -> ( U. { f e. A | f ~<_ e } e. ~P B <-> U. { f e. A | f ~<_ e } C_ B ) )
12	9, 11	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ e e. om ) -> U. { f e. A | f ~<_ e } e. ~P B )
13		eqid 2443	. . . 4 |- ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } )
14	12, 13	fmptd 5870	. . 3 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) : om --> ~P B )
15		vex 2978	. . . . . . . . . . 11 |- d e. _V
16	15	sucex 6425	. . . . . . . . . 10 |- suc d e. _V
17		sssucid 4799	. . . . . . . . . 10 |- d C_ suc d
18		ssdomg 7358	. . . . . . . . . 10 |- ( suc d e. _V -> ( d C_ suc d -> d ~<_ suc d ) )
19	16, 17, 18	mp2 9	. . . . . . . . 9 |- d ~<_ suc d
20		domtr 7365	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ~<_ d /\ d ~<_ suc d ) -> f ~<_ suc d )
21	19, 20	mpan2 671	. . . . . . . 8 |- ( f ~<_ d -> f ~<_ suc d )
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( f e. A -> ( f ~<_ d -> f ~<_ suc d ) )
23	22	ss2rabi 3437	. . . . . 6 |- { f e. A | f ~<_ d } C_ { f e. A | f ~<_ suc d }
24		uniss 4115	. . . . . 6 |- ( { f e. A | f ~<_ d } C_ { f e. A | f ~<_ suc d } -> U. { f e. A | f ~<_ d } C_ U. { f e. A | f ~<_ suc d } )
25	23, 24	mp1i 12	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ d e. om ) -> U. { f e. A | f ~<_ d } C_ U. { f e. A | f ~<_ suc d } )
26		id 22	. . . . . 6 |- ( d e. om -> d e. om )
27		pwexg 4479	. . . . . . . . 9 |- ( B e. FinIII -> ~P B e. _V )
28	27	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> ~P B e. _V )
29	28, 2	ssexd 4442	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> A e. _V )
30		rabexg 4445	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> { f e. A | f ~<_ d } e. _V )
31		uniexg 6380	. . . . . . 7 |- ( { f e. A | f ~<_ d } e. _V -> U. { f e. A | f ~<_ d } e. _V )
32	29, 30, 31	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> U. { f e. A | f ~<_ d } e. _V )
33		breq2 4299	. . . . . . . . 9 |- ( e = d -> ( f ~<_ e <-> f ~<_ d ) )
34	33	rabbidv 2967	. . . . . . . 8 |- ( e = d -> { f e. A | f ~<_ e } = { f e. A | f ~<_ d } )
35	34	unieqd 4104	. . . . . . 7 |- ( e = d -> U. { f e. A | f ~<_ e } = U. { f e. A | f ~<_ d } )
36	35, 13	fvmptg 5775	. . . . . 6 |- ( ( d e. om /\ U. { f e. A | f ~<_ d } e. _V ) -> ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` d ) = U. { f e. A | f ~<_ d } )
37	26, 32, 36	syl2anr 478	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ d e. om ) -> ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` d ) = U. { f e. A | f ~<_ d } )
38		peano2 6499	. . . . . 6 |- ( d e. om -> suc d e. om )
39		rabexg 4445	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> { f e. A | f ~<_ suc d } e. _V )
40		uniexg 6380	. . . . . . 7 |- ( { f e. A | f ~<_ suc d } e. _V -> U. { f e. A | f ~<_ suc d } e. _V )
41	29, 39, 40	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> U. { f e. A | f ~<_ suc d } e. _V )
42		breq2 4299	. . . . . . . . 9 |- ( e = suc d -> ( f ~<_ e <-> f ~<_ suc d ) )
43	42	rabbidv 2967	. . . . . . . 8 |- ( e = suc d -> { f e. A | f ~<_ e } = { f e. A | f ~<_ suc d } )
44	43	unieqd 4104	. . . . . . 7 |- ( e = suc d -> U. { f e. A | f ~<_ e } = U. { f e. A | f ~<_ suc d } )
45	44, 13	fvmptg 5775	. . . . . 6 |- ( ( suc d e. om /\ U. { f e. A | f ~<_ suc d } e. _V ) -> ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` suc d ) = U. { f e. A | f ~<_ suc d } )
46	38, 41, 45	syl2anr 478	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ d e. om ) -> ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` suc d ) = U. { f e. A | f ~<_ suc d } )
47	25, 37, 46	3sstr4d 3402	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) /\ d e. om ) -> ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` d ) C_ ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` suc d ) )
48	47	ralrimiva 2802	. . 3 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> A. d e. om ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` d ) C_ ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` suc d ) )
49		fin34i 8553	. . 3 |- ( ( B e. FinIII /\ ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) : om --> ~P B /\ A. d e. om ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` d ) C_ ( ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ` suc d ) ) -> U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) )
50	1, 14, 48, 49	syl3anc 1218	. 2 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) )
51		fin1a2lem11 8582	. . . . . 6 |- ( ( [ C.] Or A /\ A C_ Fin ) -> ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) )
52	51	adantrr 716	. . . . 5 |- ( ( [ C.] Or A /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) -> ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) )
53	52	3ad2antl2 1151	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) -> ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) )
54	53	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) )
55		simpll3 1029	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> -. U. A e. A )
56		simplrr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> A =/= (/) )
57		sspwuni 4259	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ ~P (/) <-> U. A C_ (/) )
58		ss0b 3670	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. A C_ (/) <-> U. A = (/) )
59	57, 58	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ ~P (/) <-> U. A = (/) )
60		pw0 4023	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P (/) = { (/) }
61	60	sseq2i 3384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ ~P (/) <-> A C_ { (/) } )
62		sssn 4034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ { (/) } <-> ( A = (/) \/ A = { (/) } ) )
63	61, 62	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ ~P (/) <-> ( A = (/) \/ A = { (/) } ) )
64		df-ne 2611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A =/= (/) <-> -. A = (/) )
65		0ex 4425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (/) e. _V
66	65	unisn 4109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U. { (/) } = (/)
67	65	snid 3908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (/) e. { (/) }
68	66, 67	eqeltri 2513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. { (/) } e. { (/) }
69		unieq 4102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A = { (/) } -> U. A = U. { (/) } )
70		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A = { (/) } -> A = { (/) } )
71	69, 70	eleq12d 2511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = { (/) } -> ( U. A e. A <-> U. { (/) } e. { (/) } ) )
72	68, 71	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A = { (/) } -> U. A e. A )
73	72	orim2i 518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A = (/) \/ A = { (/) } ) -> ( A = (/) \/ U. A e. A ) )
74	73	ord 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A = (/) \/ A = { (/) } ) -> ( -. A = (/) -> U. A e. A ) )
75	64, 74	syl5bi 217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A = (/) \/ A = { (/) } ) -> ( A =/= (/) -> U. A e. A ) )
76	63, 75	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ ~P (/) -> ( A =/= (/) -> U. A e. A ) )
77	59, 76	sylbir 213	. . . . . . . . 9 |- ( U. A = (/) -> ( A =/= (/) -> U. A e. A ) )
78	77	com12 31	. . . . . . . 8 |- ( A =/= (/) -> ( U. A = (/) -> U. A e. A ) )
79	78	con3d 133	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( -. U. A e. A -> -. U. A = (/) ) )
80	56, 55, 79	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> -. U. A = (/) )
81		ioran 490	. . . . . 6 |- ( -. ( U. A e. A \/ U. A = (/) ) <-> ( -. U. A e. A /\ -. U. A = (/) ) )
82	55, 80, 81	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> -. ( U. A e. A \/ U. A = (/) ) )
83		uniun 4113	. . . . . . . 8 |- U. ( A u. { (/) } ) = ( U. A u. U. { (/) } )
84	66	uneq2i 3510	. . . . . . . 8 |- ( U. A u. U. { (/) } ) = ( U. A u. (/) )
85		un0 3665	. . . . . . . 8 |- ( U. A u. (/) ) = U. A
86	83, 84, 85	3eqtri 2467	. . . . . . 7 |- U. ( A u. { (/) } ) = U. A
87	86	eleq1i 2506	. . . . . 6 |- ( U. ( A u. { (/) } ) e. ( A u. { (/) } ) <-> U. A e. ( A u. { (/) } ) )
88		elun 3500	. . . . . 6 |- ( U. A e. ( A u. { (/) } ) <-> ( U. A e. A \/ U. A e. { (/) } ) )
89	65	elsnc2 3911	. . . . . . 7 |- ( U. A e. { (/) } <-> U. A = (/) )
90	89	orbi2i 519	. . . . . 6 |- ( ( U. A e. A \/ U. A e. { (/) } ) <-> ( U. A e. A \/ U. A = (/) ) )
91	87, 88, 90	3bitri 271	. . . . 5 |- ( U. ( A u. { (/) } ) e. ( A u. { (/) } ) <-> ( U. A e. A \/ U. A = (/) ) )
92	82, 91	sylnibr 305	. . . 4 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> -. U. ( A u. { (/) } ) e. ( A u. { (/) } ) )
93		unieq 4102	. . . . . 6 |- ( ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) -> U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = U. ( A u. { (/) } ) )
94		id 22	. . . . . 6 |- ( ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) -> ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) )
95	93, 94	eleq12d 2511	. . . . 5 |- ( ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) -> ( U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) <-> U. ( A u. { (/) } ) e. ( A u. { (/) } ) ) )
96	95	notbid 294	. . . 4 |- ( ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) -> ( -. U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) <-> -. U. ( A u. { (/) } ) e. ( A u. { (/) } ) ) )
97	92, 96	syl5ibrcom 222	. . 3 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> ( ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) = ( A u. { (/) } ) -> -. U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) ) )
98	54, 97	mpd 15	. 2 |- ( ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) /\ B e. FinIII ) -> -. U. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) e. ran ( e e. om |-> U. { f e. A | f ~<_ e } ) )
99	50, 98	pm2.65da 576	1 |- ( ( ( A C_ ~P B /\ [ C.] Or A /\ -. U. A e. A ) /\ ( A C_ Fin /\ A =/= (/) ) ) -> -. B e. FinIII )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2609   A.wral 2718   {crab 2722   _Vcvv 2975   u. cun 3329   C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   {csn 3880   U.cuni 4094   class class class wbr 4295   e. cmpt 4353   Or wor 4643   suc csuc 4724   ran crn 4844   -->wf 5417   ` cfv 5421   [ C.] crpss 6362   omcom 6479   ~<_ cdom 7311   Fincfn 7313  Fin^IIIcfin3 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-rpss 6363  df-om 6480  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-wdom 7777  df-card 8112  df-fin4 8459  df-fin3 8460

This theorem is referenced by:  fin1a2s  8586