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Theorem fin1a2lem11 8789
Description: Lemma for fin1a2 8794. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem11  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  ran  ( b  e.  om  |->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
Distinct variable group:    b, c, A

Proof of Theorem fin1a2lem11
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( b  e.  om  |->  U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  b } )  =  ( b  e. 
om  |->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )
21rnmpt 5247 . 2  |-  ran  (
b  e.  om  |->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
)  =  { d  |  E. b  e. 
om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } }
3 unieq 4253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  =  (/) 
->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  U. (/) )
4 uni0 4272 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
53, 4syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  =  (/) 
->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )
65adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )
7 0ex 4577 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
87elsnc2 4058 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/) }  <->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )
96, 8sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/) } )
109olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )  -> 
( U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  A  \/  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/) } ) )
11 ssrab2 3585 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  C_  A
12 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )
13 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  A )
14 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  ->  A  C_  Fin )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  -> 
b  e.  om )
16 fin1a2lem9 8787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin  /\  b  e.  om )  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  Fin )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  Fin )
18 soss 4818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  C_  A  ->  ( [ C.]  Or  A  -> [ C.]  Or  { c  e.  A  |  c  ~<_  b } ) )
1911, 13, 18mpsyl 63 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )
20 fin1a2lem10 8788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/)  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )  ->  U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  e.  { c  e.  A  | 
c  ~<_  b } )
2112, 17, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
)
2211, 21sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  A )
2322orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  -> 
( U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  A  \/  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/) } ) )
2410, 23pm2.61dane 2785 . . . . . . 7  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  e.  A  \/  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/)
} ) )
25 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  ->  (
d  e.  A  <->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  A
) )
26 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  ->  (
d  e.  { (/) }  <->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/) } ) )
2725, 26orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  ->  (
( d  e.  A  \/  d  e.  { (/) } )  <->  ( U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  e.  A  \/  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/)
} ) ) )
2824, 27syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( d  = 
U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  ->  ( d  e.  A  \/  d  e.  { (/) } ) ) )
2928rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( E. b  e. 
om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  ->  ( d  e.  A  \/  d  e.  { (/) } ) ) )
30 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  A  C_  Fin )
3130sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  e.  Fin )
32 ficardom 8341 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  Fin  ->  ( card `  d )  e. 
om )
3331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  ( card `  d )  e.  om )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  e.  A )
35 ficardid 8342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  Fin  ->  ( card `  d )  ~~  d )
3631, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  ( card `  d )  ~~  d
)
37 ensym 7564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
card `  d )  ~~  d  ->  d  ~~  ( card `  d )
)
38 endom 7542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d 
~~  ( card `  d
)  ->  d  ~<_  ( card `  d ) )
3936, 37, 383syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  ~<_  ( card `  d ) )
40 breq1 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  d  ->  (
c  ~<_  ( card `  d
)  <->  d  ~<_  ( card `  d ) ) )
4140elrab 3261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  (
card `  d ) } 
<->  ( d  e.  A  /\  d  ~<_  ( card `  d ) ) )
4234, 39, 41sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  e.  { c  e.  A  | 
c  ~<_  ( card `  d
) } )
43 elssuni 4275 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  (
card `  d ) }  ->  d  C_  U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  ( card `  d
) } )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  C_  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) } )
45 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
c  ~<_  ( card `  d
)  <->  b  ~<_  ( card `  d ) ) )
4645elrab 3261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  (
card `  d ) } 
<->  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d ) ) )
47 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  b  ~<_  ( card `  d )
)
4836adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  ( card `  d )  ~~  d )
49 domentr 7574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  ~<_  ( card `  d
)  /\  ( card `  d )  ~~  d
)  ->  b  ~<_  d )
5047, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  b  ~<_  d )
51 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  A  C_ 
Fin )
52 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  b  e.  A )
5351, 52sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  b  e.  Fin )
5431adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  d  e.  Fin )
55 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  -> [ C.]  Or  A )
56 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  d  e.  A )
57 sorpssi 6569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( b  e.  A  /\  d  e.  A
) )  ->  (
b  C_  d  \/  d  C_  b ) )
5855, 52, 56, 57syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  (
b  C_  d  \/  d  C_  b ) )
59 fincssdom 8702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  d  e.  Fin  /\  (
b  C_  d  \/  d  C_  b ) )  ->  ( b  ~<_  d  <-> 
b  C_  d )
)
6053, 54, 58, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  (
b  ~<_  d  <->  b  C_  d ) )
6150, 60mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  b  C_  d )
6261ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  ( (
b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d
) )  ->  b  C_  d ) )
6346, 62syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  ( b  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) }  ->  b 
C_  d ) )
6463ralrimiv 2876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  A. b  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) } b 
C_  d )
65 unissb 4277 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) }  C_  d 
<-> 
A. b  e.  {
c  e.  A  | 
c  ~<_  ( card `  d
) } b  C_  d )
6664, 65sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d
) }  C_  d
)
6744, 66eqssd 3521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) } )
68 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( card `  d
)  ->  ( c  ~<_  b 
<->  c  ~<_  ( card `  d
) ) )
6968rabbidv 3105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( card `  d
)  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  {
c  e.  A  | 
c  ~<_  ( card `  d
) } )
7069unieqd 4255 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( card `  d
)  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) } )
7170eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( card `  d
)  ->  ( d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) } ) )
7271rspcev 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( card `  d
)  e.  om  /\  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d
) } )  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )
7333, 67, 72syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
)
7473ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( d  e.  A  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } ) )
75 elsn 4041 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { (/) }  <->  d  =  (/) )
76 peano1 6698 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
77 dom0 7645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  ~<_  (/) 
<->  b  =  (/) )
7877biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  ~<_  (/)  ->  b  =  (/) )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  A  /\  b  ~<_  (/) )  ->  b  =  (/) )
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( b  e.  A  /\  b  ~<_  (/) )  ->  b  =  (/) ) )
81 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  b  ->  (
c  ~<_  (/)  <->  b  ~<_  (/) ) )
8281elrab 3261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) }  <-> 
( b  e.  A  /\  b  ~<_  (/) ) )
83 elsn 4041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { (/) }  <->  b  =  (/) )
8480, 82, 833imtr4g 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( b  e.  {
c  e.  A  | 
c  ~<_  (/) }  ->  b  e.  { (/) } ) )
8584ssrdv 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) }  C_  {
(/) } )
86 uni0b 4270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) }  =  (/)  <->  { c  e.  A  | 
c  ~<_  (/) }  C_  { (/) } )
8785, 86sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) }  =  (/) )
8887eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) } )
89 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  (/)  ->  ( c  ~<_  b  <->  c  ~<_  (/) ) )
9089rabbidv 3105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  (/)  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  {
c  e.  A  | 
c  ~<_  (/) } )
9190unieqd 4255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  (/)  ->  U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) } )
9291eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  (/)  ->  ( (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  (/)  =  U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  (/) } ) )
9392rspcev 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) } )  ->  E. b  e.  om  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )
9476, 88, 93sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  E. b  e.  om  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )
95 eqeq1 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  (/)  ->  ( d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
) )
9695rexbidv 2973 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  (/)  ->  ( E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  E. b  e.  om  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } ) )
9794, 96syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( d  =  (/)  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } ) )
9875, 97syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( d  e.  { (/)
}  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
) )
9974, 98jaod 380 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( d  e.  A  \/  d  e. 
{ (/) } )  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } ) )
10029, 99impbid 191 . . . 4  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( E. b  e. 
om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  ( d  e.  A  \/  d  e.  { (/) } ) ) )
101 elun 3645 . . . 4  |-  ( d  e.  ( A  u.  {
(/) } )  <->  ( d  e.  A  \/  d  e.  { (/) } ) )
102100, 101syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( E. b  e. 
om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  d  e.  ( A  u.  {
(/) } ) ) )
103102abbi1dv 2605 . 2  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  { d  |  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } }  =  ( A  u.  { (/) } ) )
1042, 103syl5eq 2520 1  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  ran  ( b  e.  om  |->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    Or wor 4799   ran crn 5000   ` cfv 5587   [ C.] crpss 6562   omcom 6679    ~~ cen 7513    ~<_ cdom 7514   Fincfn 7516   cardccrd 8315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-rpss 6563  df-om 6680  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8319
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