MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2 Structured version   Unicode version

Theorem fin1a2 8827
Description: Every Ia-finite set is II-finite. Theorem 1 of [Levy58], p. 3. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2  |-  ( A  e. FinIa  ->  A  e. FinII )

Proof of Theorem fin1a2
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3964 . . . 4  |-  ( b  e.  ~P A  -> 
b  C_  A )
2 fin1ai 8705 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  b  C_  A )  ->  (
b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e.  Fin )
)
3 fin12 8825 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  b )  e.  Fin  ->  ( A  \  b )  e. FinII )
43orim2i 516 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e.  Fin )  ->  ( b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e. FinII ) )
52, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  b  C_  A )  ->  (
b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e. FinII ) )
61, 5sylan2 472 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  b  e.  ~P A )  ->  (
b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e. FinII ) )
76ralrimiva 2818 . 2  |-  ( A  e. FinIa  ->  A. b  e.  ~P  A ( b  e. 
Fin  \/  ( A  \  b )  e. FinII ) )
8 fin1a2s 8826 . 2  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  A. b  e.  ~P  A ( b  e.  Fin  \/  ( A  \  b )  e. FinII ) )  ->  A  e. FinII )
97, 8mpdan 666 1  |-  ( A  e. FinIa  ->  A  e. FinII )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    e. wcel 1842   A.wral 2754    \ cdif 3411    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   Fincfn 7554  FinIacfin1a 8690  FinIIcfin2 8691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-rpss 6562  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-seqom 7150  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-wdom 8019  df-card 8352  df-fin1a 8697  df-fin2 8698  df-fin4 8699  df-fin3 8700
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator