MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin11a Structured version   Unicode version

Theorem fin11a 8544
Description: Every I-finite set is Ia-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin11a  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinIa
)

Proof of Theorem fin11a
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3864 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
2 ssfi 7525 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
31, 2sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  e.  ~P A
)  ->  x  e.  Fin )
43orcd 392 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  e.  ~P A
)  ->  ( x  e.  Fin  \/  ( A 
\  x )  e. 
Fin ) )
54ralrimiva 2794 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. 
Fin ) )
6 isfin1a 8453 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e. FinIa 
<-> 
A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e.  Fin ) ) )
75, 6mpbird 232 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinIa
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2710    \ cdif 3320    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   Fincfn 7302  FinIacfin1a 8439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-om 6472  df-er 7093  df-en 7303  df-fin 7306  df-fin1a 8446
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator