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Theorem fiming 8019
Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiming  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  x R y ) )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, A, y

Proof of Theorem fiming
StepHypRef Expression
1 fimin2g 8018 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )
2 nesym 2682 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  y  =  x )
32imbi1i 327 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =/=  y  ->  x R y )  <->  ( -.  y  =  x  ->  x R y ) )
4 pm4.64 374 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  y  =  x  ->  x R y )  <->  ( y  =  x  \/  x R y ) )
53, 4bitri 253 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  y  ->  x R y )  <->  ( y  =  x  \/  x R y ) )
6 sotric 4784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( y  e.  A  /\  x  e.  A
) )  ->  (
y R x  <->  -.  (
y  =  x  \/  x R y ) ) )
76ancom2s 812 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
y R x  <->  -.  (
y  =  x  \/  x R y ) ) )
87con2bid 331 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( y  =  x  \/  x R y )  <->  -.  y R x ) )
95, 8syl5bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x  =/=  y  ->  x R y )  <->  -.  y R x ) )
109anassrs 654 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  =/=  y  ->  x R y )  <->  -.  y R x ) )
1110ralbidva 2826 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  x R
y )  <->  A. y  e.  A  -.  y R x ) )
1211rexbidva 2900 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  x R y )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x ) )
13123ad2ant1 1030 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  x R y )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x ) )
141, 13mpbird 236 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  x R y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 986    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   (/)c0 3733   class class class wbr 4405    Or wor 4757   Fincfn 7574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-om 6698  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578
This theorem is referenced by:  fiinfg  8020
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