Theorem fiming 8019

Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiming	|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, A, y

Proof of Theorem fiming

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimin2g 8018	. 2 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A -. y R x )
2		nesym 2682	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y <-> -. y = x )
3	2	imbi1i 327	. . . . . . . 8 |- ( ( x =/= y -> x R y ) <-> ( -. y = x -> x R y ) )
4		pm4.64 374	. . . . . . . 8 |- ( ( -. y = x -> x R y ) <-> ( y = x \/ x R y ) )
5	3, 4	bitri 253	. . . . . . 7 |- ( ( x =/= y -> x R y ) <-> ( y = x \/ x R y ) )
6		sotric 4784	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> ( y R x <-> -. ( y = x \/ x R y ) ) )
7	6	ancom2s 812	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( y R x <-> -. ( y = x \/ x R y ) ) )
8	7	con2bid 331	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( y = x \/ x R y ) <-> -. y R x ) )
9	5, 8	syl5bb 261	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x =/= y -> x R y ) <-> -. y R x ) )
10	9	anassrs 654	. . . . 5 |- ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x =/= y -> x R y ) <-> -. y R x ) )
11	10	ralbidva 2826	. . . 4 |- ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> A. y e. A -. y R x ) )
12	11	rexbidva 2900	. . 3 |- ( R Or A -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> E. x e. A A. y e. A -. y R x ) )
13	12	3ad2ant1 1030	. 2 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> E. x e. A A. y e. A -. y R x ) )
14	1, 13	mpbird 236	1 |- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 986   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   (/)c0 3733   class class class wbr 4405   Or wor 4757   Fincfn 7574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-om 6698  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578

This theorem is referenced by:  fiinfg  8020