MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre Structured version   Unicode version

Theorem fimaxre 10496
Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem fimaxre
StepHypRef Expression
1 ltso 9668 . . . 4  |-  <  Or  RR
2 soss 4808 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
31, 2mpi 17 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  <  Or  A )
4 fimaxg 7769 . . 3  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  < 
x ) )
53, 4syl3an1 1262 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  < 
x ) )
6 ssel 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  RR ) )
7 ssel 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
86, 7anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
98imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )
10 leloe 9674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
1110ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
12 equcom 1780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
1312orbi2i 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <  x  \/  y  =  x )  <-> 
( y  <  x  \/  x  =  y
) )
14 orcom 387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <  x  \/  x  =  y )  <-> 
( x  =  y  \/  y  <  x
) )
15 neor 2767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  y  \/  y  <  x )  <-> 
( x  =/=  y  ->  y  <  x ) )
1613, 14, 153bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <  x  \/  y  =  x )  <-> 
( x  =/=  y  ->  y  <  x ) )
1711, 16syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( x  =/=  y  -> 
y  <  x )
) )
1817biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  =/=  y  ->  y  <  x )  ->  y  <_  x ) )
199, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  y  <_  x )
)
2019anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  y  <_  x )
)
2120ralimdva 2851 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  <  x )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
2221reximdva 2918 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
23223ad2ant1 1018 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
245, 23mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437    Or wor 4789   Fincfn 7518   RRcr 9494    < clt 9631    <_ cle 9632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637
This theorem is referenced by:  fimaxre2  10497  0ram2  14416  0ramcl  14418  ballotlemfc0  28304  ballotlemfcc  28305  filbcmb  30206
  Copyright terms: Public domain W3C validator