MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre Structured version   Unicode version

Theorem fimaxre 10479
Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem fimaxre
StepHypRef Expression
1 ltso 9654 . . . 4  |-  <  Or  RR
2 soss 4811 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
31, 2mpi 17 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  <  Or  A )
4 fimaxg 7756 . . 3  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  < 
x ) )
53, 4syl3an1 1256 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  < 
x ) )
6 ssel 3491 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  RR ) )
7 ssel 3491 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
86, 7anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
98imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )
10 leloe 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
1110ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
12 equcom 1738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
1312orbi2i 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <  x  \/  y  =  x )  <-> 
( y  <  x  \/  x  =  y
) )
14 orcom 387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <  x  \/  x  =  y )  <-> 
( x  =  y  \/  y  <  x
) )
15 neor 2784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  y  \/  y  <  x )  <-> 
( x  =/=  y  ->  y  <  x ) )
1613, 14, 153bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <  x  \/  y  =  x )  <-> 
( x  =/=  y  ->  y  <  x ) )
1711, 16syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( x  =/=  y  -> 
y  <  x )
) )
1817biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  =/=  y  ->  y  <  x )  ->  y  <_  x ) )
199, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  y  <_  x )
)
2019anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  y  <_  x )
)
2120ralimdva 2865 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  <  x )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
2221reximdva 2931 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
23223ad2ant1 1012 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
245, 23mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3469   (/)c0 3778   class class class wbr 4440    Or wor 4792   Fincfn 7506   RRcr 9480    < clt 9617    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623
This theorem is referenced by:  fimaxre2  10480  0ram2  14387  0ramcl  14389  ballotlemfc0  28057  ballotlemfcc  28058  filbcmb  29821
  Copyright terms: Public domain W3C validator