MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxg Structured version   Unicode version

Theorem fimaxg 7820
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxg  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x ) )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, A, y

Proof of Theorem fimaxg
StepHypRef Expression
1 fimax2g 7819 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
2 df-ne 2620 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
32imbi1i 326 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =/=  y  -> 
y R x )  <-> 
( -.  x  =  y  ->  y R x ) )
4 pm4.64 373 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  y R x )  <->  ( x  =  y  \/  y R x ) )
53, 4bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  y  -> 
y R x )  <-> 
( x  =  y  \/  y R x ) )
6 sotric 4796 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x R y  <->  -.  (
x  =  y  \/  y R x ) ) )
76con2bid 330 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x  =  y  \/  y R x )  <->  -.  x R
y ) )
85, 7syl5bb 260 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  -.  x R y ) )
98anassrs 652 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  -.  x R y ) )
109ralbidva 2861 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
1110rexbidva 2936 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
12113ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
131, 12mpbird 235 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   (/)c0 3761   class class class wbr 4420    Or wor 4769   Fincfn 7573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-om 6703  df-1o 7186  df-er 7367  df-en 7574  df-fin 7577
This theorem is referenced by:  fisupg  7821  fimaxre  10551
  Copyright terms: Public domain W3C validator