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Theorem fimaxg 7815
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxg  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x ) )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, A, y

Proof of Theorem fimaxg
StepHypRef Expression
1 fimax2g 7814 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
2 df-ne 2623 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
32imbi1i 327 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =/=  y  -> 
y R x )  <-> 
( -.  x  =  y  ->  y R x ) )
4 pm4.64 374 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  y R x )  <->  ( x  =  y  \/  y R x ) )
53, 4bitri 253 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  y  -> 
y R x )  <-> 
( x  =  y  \/  y R x ) )
6 sotric 4780 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x R y  <->  -.  (
x  =  y  \/  y R x ) ) )
76con2bid 331 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x  =  y  \/  y R x )  <->  -.  x R
y ) )
85, 7syl5bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  -.  x R y ) )
98anassrs 653 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  -.  x R y ) )
109ralbidva 2823 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
1110rexbidva 2897 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
12113ad2ant1 1028 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
131, 12mpbird 236 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 984    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   (/)c0 3730   class class class wbr 4401    Or wor 4753   Fincfn 7566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6690  df-1o 7179  df-er 7360  df-en 7567  df-fin 7570
This theorem is referenced by:  fisupg  7816  fimaxre  10548
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