MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimax2g Structured version   Unicode version

Theorem fimax2g 7766
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimax2g  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, A, y

Proof of Theorem fimax2g
StepHypRef Expression
1 sopo 4817 . . . . 5  |-  ( R  Or  A  ->  R  Po  A )
2 cnvpo 5545 . . . . 5  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  `' R  Po  A )
4 frfi 7765 . . . 4  |-  ( ( `' R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  `' R  Fr  A )
53, 4sylan 471 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  `' R  Fr  A
)
653adant3 1016 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  `' R  Fr  A )
7 ssid 3523 . . . . . . 7  |-  A  C_  A
8 fri 4841 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  `' R  Fr  A
)  /\  ( A  C_  A  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
97, 8mpanr1 683 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  `' R  Fr  A
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
109an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  `' R  Fr  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
11 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
12 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1311, 12brcnv 5185 . . . . . . . 8  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
1413notbii 296 . . . . . . 7  |-  ( -.  y `' R x  <->  -.  x R y )
1514ralbii 2895 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  -.  y `' R x  <->  A. y  e.  A  -.  x R y )
1615rexbii 2965 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
1710, 16sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  `' R  Fr  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
1817ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' R  Fr  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
19183adant1 1014 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' R  Fr  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
206, 19mpd 15 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    Po wpo 4798    Or wor 4799    Fr wfr 4835   `'ccnv 4998   Fincfn 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520
This theorem is referenced by:  fimaxg  7767  ordunifi  7770  npomex  9374
  Copyright terms: Public domain W3C validator