MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimax2g Structured version   Unicode version

Theorem fimax2g 7550
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimax2g  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, A, y

Proof of Theorem fimax2g
StepHypRef Expression
1 sopo 4653 . . . . 5  |-  ( R  Or  A  ->  R  Po  A )
2 cnvpo 5370 . . . . 5  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  `' R  Po  A )
4 frfi 7549 . . . 4  |-  ( ( `' R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  `' R  Fr  A )
53, 4sylan 471 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  `' R  Fr  A
)
653adant3 1008 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  `' R  Fr  A )
7 ssid 3370 . . . . . . 7  |-  A  C_  A
8 fri 4677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  `' R  Fr  A
)  /\  ( A  C_  A  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
97, 8mpanr1 683 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  `' R  Fr  A
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
109an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  `' R  Fr  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
11 vex 2970 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
12 vex 2970 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1311, 12brcnv 5017 . . . . . . . 8  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
1413notbii 296 . . . . . . 7  |-  ( -.  y `' R x  <->  -.  x R y )
1514ralbii 2734 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  -.  y `' R x  <->  A. y  e.  A  -.  x R y )
1615rexbii 2735 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
1710, 16sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  `' R  Fr  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
1817ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' R  Fr  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
19183adant1 1006 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' R  Fr  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
206, 19mpd 15 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   (/)c0 3632   class class class wbr 4287    Po wpo 4634    Or wor 4635    Fr wfr 4671   `'ccnv 4834   Fincfn 7302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-om 6472  df-1o 6912  df-er 7093  df-en 7303  df-fin 7306
This theorem is referenced by:  fimaxg  7551  ordunifi  7554  npomex  9157
  Copyright terms: Public domain W3C validator