MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimax2g Structured version   Unicode version

Theorem fimax2g 7668
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimax2g  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, A, y

Proof of Theorem fimax2g
StepHypRef Expression
1 sopo 4765 . . . . 5  |-  ( R  Or  A  ->  R  Po  A )
2 cnvpo 5482 . . . . 5  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  `' R  Po  A )
4 frfi 7667 . . . 4  |-  ( ( `' R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  `' R  Fr  A )
53, 4sylan 471 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  `' R  Fr  A
)
653adant3 1008 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  `' R  Fr  A )
7 ssid 3482 . . . . . . 7  |-  A  C_  A
8 fri 4789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  `' R  Fr  A
)  /\  ( A  C_  A  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
97, 8mpanr1 683 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  `' R  Fr  A
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
109an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  `' R  Fr  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
11 vex 3079 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
12 vex 3079 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1311, 12brcnv 5129 . . . . . . . 8  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
1413notbii 296 . . . . . . 7  |-  ( -.  y `' R x  <->  -.  x R y )
1514ralbii 2838 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  -.  y `' R x  <->  A. y  e.  A  -.  x R y )
1615rexbii 2858 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
1710, 16sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  `' R  Fr  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
1817ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' R  Fr  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
19183adant1 1006 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' R  Fr  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
206, 19mpd 15 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2647   A.wral 2798   E.wrex 2799    C_ wss 3435   (/)c0 3744   class class class wbr 4399    Po wpo 4746    Or wor 4747    Fr wfr 4783   `'ccnv 4946   Fincfn 7419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-om 6586  df-1o 7029  df-er 7210  df-en 7420  df-fin 7423
This theorem is referenced by:  fimaxg  7669  ordunifi  7672  npomex  9275
  Copyright terms: Public domain W3C validator