Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fimact Structured version   Unicode version

Theorem fimact 26169
Description: The image by a function of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fimact  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  Fun  F
)  ->  ( F " A )  ~<_  om )

Proof of Theorem fimact
StepHypRef Expression
1 ctex 26160 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
2 imadomg 8813 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Fun  F  ->  ( F " A )  ~<_  A ) )
32imp 429 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Fun  F )  ->  ( F " A )  ~<_  A )
41, 3sylan 471 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  Fun  F
)  ->  ( F " A )  ~<_  A )
5 simpl 457 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  Fun  F
)  ->  A  ~<_  om )
6 domtr 7473 . 2  |-  ( ( ( F " A
)  ~<_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  ( F
" A )  ~<_  om )
74, 5, 6syl2anc 661 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  Fun  F
)  ->  ( F " A )  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   class class class wbr 4401   "cima 4952   Fun wfun 5521   omcom 6587    ~<_ cdom 7419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-ac2 8744
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-card 8221  df-acn 8224  df-ac 8398
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator